Вектор (математика и физика) - Vector (mathematics and physics)

В математика и физика, а вектор является элементом векторное пространство.

Для многих конкретных векторных пространств векторы получили определенные имена, которые перечислены ниже.

Исторически векторы были введены в геометрия и физика (обычно в механика ) до формализации понятия векторного пространства. Поэтому часто говорят о векторах без указания векторного пространства, которому они принадлежат. В частности, в Евклидово пространство, считается пространственные векторы, также называется Евклидовы векторы которые используются для представления величин, имеющих как величину, так и направление, и могут быть добавлено, вычитается и масштабированный (т.е. умноженный на настоящий номер ) для формирования векторного пространства.^[1]

Векторы в евклидовой геометрии

В классической Евклидова геометрия (т.е. синтетическая геометрия ), векторы были введены (в 19 веке) как классы эквивалентности под равноправие, из заказанные пары очков; две пары $(А, B)$ и $(C, D)$ быть равноправным, если точки $А, B, D, C$ в этом порядке формируем параллелограмм. Такой класс эквивалентности называется вектор, точнее, a Евклидов вектор.^[2] Класс эквивалентности $(А, B)$ часто обозначается ${displaystyle {overrightarrow {AB}}.}$

А Евклидов вектор таким образом, класс эквивалентности направленных сегментов одинаковой величины (например, длины отрезок $(А, B)$ ) и того же направления (например, направление от $А$ к $B$ ).^[3] В физике евклидовы векторы используются для представления физических величин, которые имеют как величину, так и направление, но не расположены в определенном месте, в отличие от скаляры, у которых нет направления.^[4] Например, скорость, силы и ускорение представлены векторами.

В современной геометрии евклидовы пространства часто определяются из линейная алгебра. Точнее, евклидово пространство $E$ определяется как набор, с которым связан внутреннее пространство продукта конечной размерности над действительными ${displaystyle {overrightarrow {E}},}$ и групповое действие из аддитивная группа из ${displaystyle {overrightarrow {E}},}$ который свободный и переходный (Увидеть Аффинное пространство для деталей этой конструкции). Элементы ${displaystyle {overrightarrow {E}}}$ называются переводы.

Было доказано, что два определения евклидовых пространств эквивалентны, и что классы эквивалентности при равносильности могут быть отождествлены с переводами.

Иногда евклидовы векторы рассматриваются без ссылки на евклидово пространство. В этом случае евклидов вектор является элементом нормированного векторного пространства конечной размерности над вещественными числами или, как правило, элементом ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ оснащен скалярное произведение. Это имеет смысл, поскольку сложение в таком векторном пространстве действует свободно и транзитивно в самом векторном пространстве. Это, ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ является евклидовым пространством с самим собой в качестве связанного векторного пространства и скалярным произведением в качестве внутреннего продукта.

Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ часто представляется как то Евклидово пространство размерности $п$ . Это мотивировано тем фактом, что каждое евклидово пространство размерности $п$ является изоморфный в евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Точнее, для такого евклидова пространства можно выбрать любую точку $О$ как происхождение. От Процесс Грама – Шмидта, можно также найти ортонормированный базис связанного векторного пространства (такой базис, что скалярное произведение двух базисных векторов равно 0, если они разные, и 1, если они равны). Это определяет Декартовы координаты любой точки $п$ пространства, как координаты на этой основе вектора ${displaystyle {overrightarrow {OP}}.}$ Эти выборы определяют изоморфизм данного евклидова пространства на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ путем сопоставления любой точки с $п$ пара его декартовых координат, а каждый вектор - его вектор координат.

Конкретные векторы в векторном пространстве

Нулевой вектор (иногда также называют нулевой вектор и обозначается ${displaystyle mathbf {0}}$ ^[5]), аддитивная идентичность в векторном пространстве. В нормированное векторное пространство, это единственный вектор с нулевой нормой. В Евклидово векторное пространство, это единственный вектор нулевой длины.^[6]
Базисный вектор, элемент данного основа векторного пространства.
Единичный вектор, вектор в нормированном векторном пространстве, норма равно 1, или Евклидов вектор длины один.^[6]
Изотропный вектор или нулевой вектор, в векторном пространстве с квадратичная форма, ненулевой вектор, форма которого равна нулю. Если нулевой вектор существует, квадратичная форма называется изотропная квадратичная форма.

Векторы в определенных векторных пространствах

Столбец вектор, матрица только с одним столбцом. Векторы-столбцы с фиксированным числом строк образуют векторное пространство.
Вектор строки, матрица только с одной строкой. Векторы-строки с фиксированным числом столбцов образуют векторное пространство.
Координатный вектор, то $п$ пара из координаты вектора на основа из $п$ элементы. Для векторного пространства над поле $F$ эти $п$ -наборы образуют векторное пространство ${displaystyle F ^ {n}}$ (где операции - поточечное сложение и скалярное умножение).
Вектор смещения, вектор, определяющий изменение положения точки относительно предыдущей позиции. Векторы смещения принадлежат векторному пространству переводы.
Вектор положения точки, то вектор смещения от опорной точки (так называемый происхождение) к точке. Вектор положения представляет положение точки в Евклидово пространство или аффинное пространство.
Вектор скорости, производная по времени вектора положения. Он не зависит от выбора начала координат и, следовательно, принадлежит векторному пространству переводов.
Псевдовектор, также называется осевой вектор, элемент двойной векторного пространства. В внутреннее пространство продукта, внутреннее произведение определяет изоморфизм между пространством и его двойником, что может затруднить различение псевдовектора от вектора. Различие становится очевидным при изменении координат: матрица, используемая для изменения координат псевдовекторов, является транспонировать векторов.
Касательный вектор, элемент касательное пространство из кривая, а поверхность или, в более общем смысле, дифференциальный коллектор в данной точке (эти касательные пространства естественным образом наделены структурой векторного пространства)
Нормальный вектор или просто нормальный, в евклидовом пространстве или, в более общем смысле, во внутреннем пространстве продукта, вектор, перпендикулярный касательному пространству в точке. Нормали - это псевдовекторы, принадлежащие двойственному к касательному пространству.
Градиент, вектор координат частных производных функция нескольких действительных переменных. В евклидовом пространстве градиент определяет величину и направление максимального увеличения скалярное поле. Градиент - это псевдовектор, нормальный к кривая уровня.
Четыре вектора, в теории относительности, вектор в четырехмерном вещественном векторном пространстве, называемом пространством Минковского.

Кортежи, которые на самом деле не являются векторами

Набор ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ из кортежи из $п$ вещественные числа имеют естественную структуру векторного пространства, определяемую покомпонентным сложением и скалярное умножение. Когда такие кортежи используются для представления некоторых данных, их принято называть векторов, даже если добавление вектора ничего не значит для этих данных, что может запутать терминологию. Точно так же некоторые физические явления включают направление и величину. Они часто представлены векторами, даже если операции над векторными пространствами к ним не применяются.

Вектор вращения, а Евклидов вектор чье направление совпадает с направлением оси вращение а величина - угол поворота.
Вектор гамбургеров, вектор, который представляет величину и направление искажения решетки дислокации в кристаллической решетке.
Вектор интервала, в теории музыкальных множеств, массив, который выражает интервальное содержание множества питч-класса.
Вектор вероятности в статистике - вектор с неотрицательными элементами, сумма которых равна единице.
Случайный вектор или многомерная случайная величина, в статистика, набор настоящий -значен случайные переменные это может быть коррелированный. Однако случайный вектор может также относиться к случайная переменная который принимает значения в векторном пространстве.
Векторное отношение, бинарное отношение, определяемое логическим вектором.

Векторы в алгебрах

Каждые алгебра над полем является векторным пространством, но элементы алгебры обычно не называют векторами. Однако в некоторых случаях их называют векторов, в основном по историческим причинам.

Векторный кватернион, а кватернион с нулевой действительной частью
Мультивектор или $п$ -вектор, элемент внешняя алгебра векторного пространства.
Спиноры, также называется векторы вращения, были введены для расширения понятия вектор вращения. Фактически, векторы вращения представляют собой вращения скважины. локально, но не глобально, потому что замкнутый цикл в пространстве вращений векторы могут вызвать кривую в пространстве вращений, которая не является петлей. Так же многообразие векторов вращения ориентируемый, а многообразие вращений - нет. Спиноры - это элементы векторного подпространства некоторого Алгебра Клиффорда.
Вектор Витта, бесконечная последовательность элементов коммутативного кольца, принадлежащая алгебра над этим кольцом, и был введен для обработки нести распространение в операциях на p-адические числа.

Смотрите также

Вектор (значения)

Векторные пространства с большей структурой

Градуированное векторное пространство, тип векторного пространства, который включает дополнительную структуру градации
Нормированное векторное пространство, векторное пространство, на котором задана норма
Гильбертово пространство
Упорядоченное векторное пространство, векторное пространство с частичным порядком
Супер векторное пространство, имя для Z₂-градуированное векторное пространство
Симплектическое векторное пространство, векторное пространство V с невырожденной кососимметричной билинейной формой
Топологическое векторное пространство, смесь топологической структуры с алгебраической концепцией векторного пространства

Векторные поля

А векторное поле это вектор-функция который, как правило, имеет область того же измерения (как многообразие ) в качестве его кодомена,

Консервативное векторное поле, векторное поле, являющееся градиентом скалярного потенциального поля
Гамильтоново векторное поле, векторное поле, определенное для любой энергетической функции или гамильтониана
Векторное поле убийства, векторное поле на римановом многообразии
Соленоидальное векторное поле, векторное поле с нулевой расходимостью
Векторный потенциал, векторное поле, ротор которого является заданным векторным полем
Векторный поток, совокупность тесно связанных понятий потока, определяемого векторным полем

Разное

Исчисление Риччи
Векторный анализ, учебник по векторному исчислению Уилсон, впервые опубликованный в 1901 году, который во многом способствовал стандартизации обозначений и словаря трехмерной линейной алгебры и векторного исчисления.
Векторный набор, топологическая конструкция, уточняющая идею семейства векторных пространств, параметризованных другим пространством
Векторное исчисление, раздел математики, связанный с дифференцированием и интегрированием векторных полей.
Векторный дифференциал, или дель, векторный дифференциальный оператор, представленный символом набла ${displaystyle abla}$
Векторный лапласиан, векторный оператор Лапласа, обозначаемый ${displaystyle abla ^ {2}}$ , - дифференциальный оператор, определенный над векторным полем
Векторное обозначение, общепринятое обозначение, используемое при работе с векторами
Векторный оператор, тип дифференциального оператора, используемый в векторном исчислении
Векторный продукт, или перекрестное произведение, операция над двумя векторами в трехмерном евклидовом пространстве, производящая третий трехмерный евклидов вектор
Векторная проекция, также известен как вектор решительный или компонент вектора, линейное отображение, производящее вектор, параллельный второму вектору
Вектор-функция, а функция который имеет векторное пространство как codomain
Векторизация (математика), линейное преобразование, которое преобразует матрицу в вектор-столбец
Векторная авторегрессия, эконометрическая модель, используемая для отражения эволюции и взаимозависимостей между несколькими временными рядами
Векторный бозон, бозон со спиновым квантовым числом, равным 1
Векторная мера, функция, определенная на семействе множеств и принимающая векторные значения, удовлетворяющие определенным свойствам
Векторный мезон, мезон с полным спином 1 и нечетной четностью
Векторное квантование, метод квантования, используемый при обработке сигналов.
Векторный солитон, уединенная волна с несколькими компонентами, соединенными вместе, которая сохраняет свою форму во время распространения
Векторный синтез, тип аудиосинтеза

Заметки

^ "вектор | Определение и факты". Энциклопедия Британника. Получено 2020-08-19.
^ В некоторых старых текстах пара $(А, B)$ называется связанный вектор, а его класс эквивалентности называется бесплатный вектор.
^ «1.1: Векторы». Математика LibreTexts. 2013-11-07. Получено 2020-08-19.
^ "Векторы". www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-19.
^ «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-19.
^ ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. "Вектор". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-19.

[1] "вектор | Определение и факты". Энциклопедия Британника. Получено 2020-08-19.

[2] В некоторых старых текстах пара $(А, B)$ называется связанный вектор, а его класс эквивалентности называется бесплатный вектор.

[3] «1.1: Векторы». Математика LibreTexts. 2013-11-07. Получено 2020-08-19.

[4] "Векторы". www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-19.

[5] «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-19.

[:0-6] а ^б Вайсштейн, Эрик В. "Вектор". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-19.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]