Многомерная случайная величина - Multivariate random variable

В вероятность, и статистика, а многомерная случайная величина или же случайный вектор список математических переменные значение каждого из которых неизвестно либо потому, что значение еще не возникло, либо потому, что его значение известно не полностью. Отдельные переменные в случайном векторе сгруппированы вместе, потому что все они являются частью единой математической системы - часто они представляют разные свойства человека. статистическая единица. Например, если у конкретного человека есть определенный возраст, рост и вес, представление этих характеристик неустановленное лицо изнутри группы будет случайным вектором. Обычно каждый элемент случайного вектора представляет собой настоящий номер.

Случайные векторы часто используются в качестве базовой реализации различных типов агрегатов. случайные переменные, например а случайная матрица, случайное дерево, случайная последовательность, случайный процесс, так далее.

Более формально многомерная случайная величина - это вектор столбца ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ (или его транспонировать, который является вектор строки ), компоненты которого скаляр -значен случайные переменные на том же вероятностное пространство как друг друга, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, куда ${\displaystyle \Omega }$ это пространство образца, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это сигма-алгебра (сборник всех событий), и ${\displaystyle P}$ это вероятностная мера (функция, возвращающая каждое событие вероятность ).

Распределение вероятностей

Основная статья: Многомерное распределение вероятностей

Каждый случайный вектор порождает вероятностную меру на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с Борелевская алгебра как лежащая в основе сигма-алгебра. Эта мера также известна как совместное распределение вероятностей, совместное распределение или многомерное распределение случайного вектора.

В распределения каждой из составляющих случайных величин ${\displaystyle X_{i}}$ называются маржинальные распределения. В условное распределение вероятностей из ${\displaystyle X_{i}}$ данный ${\displaystyle X_{j}}$ это распределение вероятностей ${\displaystyle X_{i}}$ когда ${\displaystyle X_{j}}$ как известно, имеет особое значение.

В кумулятивная функция распределения ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }:\mathbb {R} ^{n}\mapsto [0,1]}$ случайного вектора ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ определяется как^{[1]:стр.15}

${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})}$

(Уравнение 1)

куда ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},...,x_{n})^{T}}$.

Операции над случайными векторами

Случайные векторы могут подвергаться тем же видам алгебраические операции как и неслучайные векторы: сложение, вычитание, умножение на скаляр, и взятие внутренние продукты.

Аффинные преобразования

Точно так же новый случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ можно определить, применяя аффинное преобразование ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ к случайному вектору ${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle \mathbf {Y} ={\mathcal {A}}\mathbf {X} +b}$, куда ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ является ${\displaystyle n\times n}$ матрица и ${\displaystyle b}$ является ${\displaystyle n\times 1}$ вектор-столбец.

Если ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ - обратимая матрица и ${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$ имеет функцию плотности вероятности ${\displaystyle f_{\mathbf {X} }}$, то плотность вероятности ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ является

${\displaystyle f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }({\mathcal {A}}^{-1}(y-b))}{|\det {\mathcal {A}}|}}}$.

Обратимые отображения

В более общем плане мы можем изучать обратимые отображения случайных векторов.^{[2]:стр.290–291}

Позволять ${\displaystyle g}$ быть взаимно-однозначным отображением из открытого подмножества ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ на подмножество ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, позволять ${\displaystyle g}$ имеют непрерывные частные производные по ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ и пусть Определитель якобиана из ${\displaystyle g}$ быть нулевым ни в одной точке ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. Предположим, что действительный случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {X} }$ имеет функцию плотности вероятности ${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$ и удовлетворяет ${\displaystyle P(\mathbf {X} \in {\mathcal {D}})=1}$. Тогда случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {Y} =g(\mathbf {X} )}$ имеет плотность вероятности

${\displaystyle \left.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left|\det {\frac {\partial g(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right|}}\right|_{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}$

куда ${\displaystyle \mathbf {1} }$ обозначает индикаторная функция и установить ${\displaystyle R_{\mathbf {Y} }=\{\mathbf {y} =g(\mathbf {x} ):f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )>0\}\subseteq {\mathcal {R}}}$ означает поддержку ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Ожидаемое значение

В ожидаемое значение или среднее значение случайного вектора ${\displaystyle \mathbf {X} }$ фиксированный вектор ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ]}$ элементы которого являются ожидаемыми значениями соответствующих случайных величин.^{[3]:стр.333}

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],...,\operatorname {E} [X_{n}])^{\mathrm {T} }}$

(Уравнение 2)

Ковариация и кросс-ковариация

Определения

В ковариационная матрица (также называемый второй центральный момент или ковариационная матрица) ${\displaystyle n\times 1}$ случайный вектор - это ${\displaystyle n\times n}$ матрица чей (я, j)^th элемент - это ковариация между я ^th и j ^th случайные переменные. Ковариационная матрица - это ожидаемое значение, элемент за элементом, ${\displaystyle n\times n}$ матрица вычисляется как ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T}}$, где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора:^{[2]:п. 464[3]:стр.335}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {Var} [\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$

(Уравнение 3)

В более широком смысле матрица кросс-ковариации между двумя случайными векторами ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ (${\displaystyle \mathbf {X} }$ имея ${\displaystyle n}$ элементы и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ имея ${\displaystyle p}$ элементов) является ${\displaystyle n\times p}$ матрица^{[3]:стр.336}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

(Уравнение 4)

где снова матричное ожидание берется поэлементно в матрице. Здесь (я, j)^th элемент - ковариация между я ^th элемент ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и j ^th элемент ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Характеристики

Ковариационная матрица - это симметричная матрица, т.е.^{[2]:п. 466}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{T}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$.

Ковариационная матрица - это положительно полуопределенная матрица, т.е.^{[2]:п. 465}

${\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$.

Матрица кросс-ковариации ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}$ это просто транспонирование матрицы ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$, т.е.

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }^{T}}$.

Некоррелированность

Два случайных вектора ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{m})^{T}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}$ называются некоррелированный если

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$.

Они некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица кросс-ковариации ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ равно нулю.^{[3]:стр.337}

Корреляция и взаимная корреляция

Определения

В корреляционная матрица (также называемый второй момент) из ${\displaystyle n\times 1}$ случайный вектор - это ${\displaystyle n\times n}$ матрица, чья (я, j)^th элемент - это соотношение между я ^th и j ^th случайные переменные. Матрица корреляции - это ожидаемое значение, элемент за элементом, ${\displaystyle n\times n}$ матрица вычисляется как ${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}$, где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора^{[4]:стр.190[3]:стр.334}:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }]}$

(Уравнение 5)

В более широком смысле матрица взаимной корреляции между двумя случайными векторами ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ (${\displaystyle \mathbf {X} }$ имея ${\displaystyle n}$ элементы и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ имея ${\displaystyle p}$ элементов) является ${\displaystyle n\times p}$ матрица

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]}$

(Уравнение 6)

Характеристики

Корреляционная матрица связана с ковариационной матрицей соотношением

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$.

Аналогично для матрицы взаимной корреляции и матрицы кросс-ковариации:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

Ортогональность

Два случайных вектора одинакового размера ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}$ называются ортогональный если

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}\mathbf {Y} ]=0}$.

Независимость

Основная статья: Независимость (теория вероятностей)

Два случайных вектора ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ называются независимый если для всех ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )=F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}$

куда ${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$ и ${\displaystyle F_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )}$ обозначают кумулятивные функции распределения ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ и${\displaystyle F_{\mathbf {X,Y} }(\mathbf {x,y} )}$ обозначает их совместную кумулятивную функцию распределения. Независимость ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ часто обозначается как ${\displaystyle \mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} }$. Написано покомпонентно, ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ называются независимыми, если для всех ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}}$

${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n})=F_{X_{1},\ldots ,X_{m}}(x_{1},\ldots ,x_{m})\cdot F_{Y_{1},\ldots ,Y_{n}}(y_{1},\ldots ,y_{n})}$.

Характеристическая функция

В характеристическая функция случайного вектора ${\displaystyle \mathbf {X} }$ с ${\displaystyle n}$ компоненты - это функция ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ который отображает каждый вектор ${\displaystyle \mathbf {\omega } =(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})^{T}}$ в комплексное число. Это определяется^{[2]:п. 468}

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i(\mathbf {\omega } ^{T}\mathbf {X} )}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\omega _{1}X_{1}+\ldots +\omega _{n}X_{n})}\right]}$.

Другие свойства

Ожидание квадратичной формы

Можно ожидать квадратичная форма в случайном векторе ${\displaystyle \mathbf {X} }$ следующее:^{[5]:стр.170–171}

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\mathbf {X} ]+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}$

куда ${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ ковариационная матрица ${\displaystyle \mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ относится к след матрицы, то есть к сумме элементов на ее главной диагонали (сверху слева направо вниз). Поскольку квадратичная форма является скаляром, ее математическое ожидание тоже.

Доказательство: Позволять ${\displaystyle \mathbf {z} }$ быть ${\displaystyle m\times 1}$ случайный вектор с ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }$ и ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}$ и разреши ${\displaystyle A}$ быть ${\displaystyle m\times m}$ нестохастическая матрица.

Тогда на основании формулы ковариации, если обозначить ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}=\mathbf {X} }$ и ${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}A^{T}=\mathbf {Y} }$, Мы видим, что:

${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]^{T}\\\operatorname {E} [z^{T}Az]&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\operatorname {E} [z^{T}]\operatorname {E} [z^{T}A^{T}]^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu ,\end{aligned}}}$

что оставляет нам показать, что

${\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr} (AV).}$

Это правда, потому что можно циклически переставлять матрицы при выполнении трассировки без изменения конечного результата (например: ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$).

Мы видим который

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]&=\operatorname {E} \left[\left(z^{T}-E(z^{T})\right)\left(z^{T}A^{T}-E\left(z^{T}A^{T}\right)\right)^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T})^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}}$

И с тех пор

${\displaystyle \left({z-\mu }\right)^{T}\left({Az-A\mu }\right)}$

это скаляр, тогда

${\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left((z-\mu )^{T}A(z-\mu )\right)}$

тривиально. Используя перестановку, получаем:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left({A(z-\mu )(z-\mu )^{T}}\right),}$

и вставив это в исходную формулу, мы получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left[{z^{T},z^{T}A^{T}}\right]&=E\left[{\left({z-\mu }\right)^{T}(Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A(z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)\right]\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}$

Ожидание произведения двух различных квадратичных форм

Можно рассчитать произведение двух различных квадратичных форм с нулевым средним Гауссовский случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {X} }$ следующее:^{[5]:стр. 162–176}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}$

где снова ${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$ ковариационная матрица ${\displaystyle \mathbf {X} }$. Опять же, поскольку обе квадратичные формы являются скалярами и, следовательно, их произведение является скаляром, математическое ожидание их произведения также является скаляром.

Приложения

Теория портфолио

В теория портфеля в финансы, цель часто состоит в том, чтобы выбрать портфель рискованных активов так, чтобы распределение случайной доходности портфеля имело желаемые свойства. Например, можно выбрать доходность портфеля, имеющую наименьшую дисперсию для данного ожидаемого значения. Здесь случайный вектор - это вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ случайной доходности отдельных активов, а доходность портфеля п (случайный скаляр) - это внутреннее произведение вектора случайных доходов на вектор ш весов портфеля - доли портфеля, размещенные в соответствующих активах. С п = ш^Т${\displaystyle \mathbf {r} }$, ожидаемое значение доходности портфеля составляет ш^ТE (${\displaystyle \mathbf {r} }$), а дисперсия доходности портфеля может быть показана как ш^ТCш, где C - ковариационная матрица ${\displaystyle \mathbf {r} }$.

Теория регрессии

В линейная регрессия теория, у нас есть данные о п наблюдения за зависимой переменной у и п наблюдения по каждому из k независимые переменные Икс_j. Наблюдения за зависимой переменной складываются в вектор-столбец у; наблюдения по каждой независимой переменной также складываются в векторы-столбцы, и эти последние векторы-столбцы объединяются в матрица дизайна Икс (не обозначающий случайный вектор в этом контексте) наблюдений за независимыми переменными. Затем постулируется следующее уравнение регрессии как описание процесса, в результате которого были получены данные:

${\displaystyle y=X\beta +e,}$

где β - постулируемый фиксированный, но неизвестный вектор k коэффициенты отклика, и е - неизвестный случайный вектор, отражающий случайные влияния на зависимую переменную. По какой-то выбранной технике, такой как обыкновенный метод наименьших квадратов, вектор ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ выбирается в качестве оценки β, а оценка вектора е, обозначенный ${\displaystyle {\hat {e}}}$, вычисляется как

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}.}$

Затем статистик должен проанализировать свойства ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$ и ${\displaystyle {\hat {e}}}$, которые рассматриваются как случайные векторы, поскольку случайным образом другой выбор п случаи для наблюдения привели бы к другим значениям для них.

Векторный временной ряд

Эволюция k× 1 случайный вектор ${\displaystyle \mathbf {X} }$ через время можно смоделировать как векторная авторегрессия (VAR) следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t},\,}$

где яНаблюдение за вектором периодов ${\displaystyle \mathbf {X} _{t-i}}$ называется я-я отставание ${\displaystyle \mathbf {X} }$, c это k × 1 вектор констант (перехватывает ), А_я инвариантен во времени k × k матрица и ${\displaystyle \mathbf {e} _{t}}$ это k × 1 случайный вектор ошибка термины.

Рекомендации

1. Галлагер, Роберт Г. (2013). Теория случайных процессов для приложений. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-03975-9.
2. Лапидот, Амос (2009). Фонд цифровых коммуникаций. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19395-5.
3. Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и компьютерщиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86470-1.
4. Папулис, Афанасий (1991). Вероятность, случайные величины и случайные процессы (Третье изд.). Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-048477-5.
5. Кендрик, Дэвид (1981). Стохастическое управление для экономических моделей. Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-033962-7.

дальнейшее чтение

• Старк, Генри; Вудс, Джон В. (2012). «Случайные векторы». Вероятность, статистика и случайные процессы для инженеров (Четвертое изд.). Пирсон. С. 295–339. ISBN  978-0-13-231123-6.