Случайная матрица - Random matrix

В теория вероятности и математическая физика, а случайная матрица это матрица -ценный случайная переменная - то есть матрица, в которой некоторые или все элементы являются случайными величинами. Многие важные свойства физические системы математически можно представить в виде матричных задач. Например, теплопроводность из решетка может быть вычислен из динамической матрицы взаимодействий частица-частица внутри решетки.

Приложения

Физика

В ядерная физика, случайные матрицы были введены Юджин Вигнер для моделирования ядер тяжелых атомов.^[1] Он предположил, что расстояния между линиями в спектре ядра тяжелого атома должны напоминать расстояния между линиями. собственные значения случайной матрицы и должен зависеть только от класса симметрии основной эволюции.^[2] В физика твердого тела, случайные матрицы моделируют поведение больших неупорядоченных Гамильтонианы в среднее поле приближение.

В квантовый хаос гипотеза Бохигаса – Джаннони – Шмита (БГС) утверждает, что спектральная статистика квантовых систем, классические аналоги которых демонстрируют хаотическое поведение, описывается теорией случайных матриц.^[3]

В квантовая оптика, преобразования, описываемые случайными унитарными матрицами, имеют решающее значение для демонстрации преимущества квантовых вычислений над классическими (см., например, выборка бозонов модель).^[4] Более того, такие случайные унитарные преобразования могут быть непосредственно реализованы в оптической схеме, путем сопоставления их параметров с компонентами оптической схемы (то есть светоделители и фазовращатели).^[5]

Теория случайных матриц также нашла приложения к киральному оператору Дирака в квантовая хромодинамика,^[6] квантовая гравитация в двух измерениях,^[7] мезоскопическая физика,^[8]крутящий момент передачи вращения,^[9] то дробный квантовый эффект Холла,^[10] Локализация Андерсона,^[11] квантовые точки,^[12] и сверхпроводники^[13]

Математическая статистика и численный анализ

В многомерная статистика, случайные матрицы были введены Джон Уишарт для статистического анализа больших выборок;^[14] увидеть оценка ковариационных матриц.

Были показаны важные результаты, расширяющие классический скалярный Чернов, Бернштейн, и Hoeffding неравенства на наибольшие собственные значения конечных сумм случайных Эрмитовы матрицы.^[15] Выводятся следующие результаты для максимальных сингулярных значений прямоугольных матриц.

В численный анализ, случайные матрицы использовались со времен работы Джон фон Нейман и Герман Голдстайн^[16] для описания ошибок вычислений в таких операциях, как матричное умножение. Смотрите также^[17][18] для более свежих результатов.

Теория чисел

В теория чисел, распределение нулей Дзета-функция Римана (и другие L-функции ) моделируется распределением собственных значений некоторых случайных матриц.^[19] Связь была впервые обнаружена Хью Монтгомери и Фримен Дж. Дайсон. Это связано с Гипотеза Гильберта – Полиа.

Теоретическая неврология

В области теоретической нейробиологии случайные матрицы все чаще используются для моделирования сети синаптических связей между нейронами мозга. Показано, что динамические модели нейронных сетей со случайной матрицей связности демонстрируют фазовый переход к хаосу.^[20] когда дисперсия синаптических весов пересекает критическое значение на пределе бесконечного размера системы. Связь статистических свойств спектра моделей случайных матриц, основанных на биологической природе, с динамическим поведением случайно связанных нейронных сетей - тема интенсивных исследований.^{[21][22][23][24][25]}

Оптимальный контроль

В оптимальный контроль теория, эволюция п переменные состояния во времени в любой момент зависят от их собственных значений и от значений k управляющие переменные. При линейной эволюции матрицы коэффициентов появляются в уравнении состояния (уравнении эволюции). В некоторых задачах значения параметров в этих матрицах неизвестны с уверенностью, и в этом случае в уравнении состояния присутствуют случайные матрицы, и проблема известна как одна из стохастический контроль.^{[26]:гл. 13[27][28]} Ключевой результат в случае линейно-квадратичное управление со стохастическими матрицами состоит в том, что принцип эквивалентности достоверности не применяется: при отсутствии неопределенность множителя (то есть только с аддитивной неопределенностью) оптимальная стратегия с квадратичной функцией потерь совпадает с тем, что было бы принято, если бы неопределенность не принималась во внимание, это больше не выполняется при наличии случайных коэффициентов в уравнении состояния.

Гауссовские ансамбли

Распределение на комплексной плоскости большого количества случайных матриц 2x2 из 4 различных гауссовских ансамблей.

Наиболее изученными ансамблями случайных матриц являются ансамбли Гаусса.

В Гауссовский унитарный ансамбль GUE (п) описывается Гауссова мера с плотностью

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GUE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}}}$

на пространстве ${\displaystyle n\times n}$ Эрмитовы матрицы ${\displaystyle H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}}$. Вот${\displaystyle Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}}$ - нормировочная константа, выбранная так, чтобы интеграл от плотности был равен единице. Период, термин унитарный относится к тому факту, что распределение инвариантно относительно унитарного сопряжения. Гауссовские модели унитарного ансамбля Гамильтонианы отсутствие симметрии относительно обращения времени.

В Гауссов ортогональный ансамбль GOE (п) описывается гауссовой мерой с плотностью

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GOE}}(n)}}}e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}}$

на пространстве п × п вещественные симметричные матрицы ЧАС = (ЧАС_ij)^п
_я,j=1. Его распределение инвариантно относительно ортогонального сопряжения и моделирует гамильтонианы с симметрией относительно обращения времени.

В Гауссов симплектический ансамбль GSE (п) описывается гауссовой мерой с плотностью

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{{\text{GSE}}(n)}}}e^{-n\mathrm {tr} H^{2}}\,}$

на пространстве п × п Эрмитский кватернионные матрицы, например симметричные квадратные матрицы, состоящие из кватернионы, ЧАС = (ЧАС_ij)^п
_я,j=1. Его распределение инвариантно относительно сопряжения симплектическая группа, и он моделирует гамильтонианы с симметрией относительно обращения времени, но без симметрии вращения.

Гауссовы ансамбли GOE, GUE и GSE часто обозначают их Дайсон показатель, β = 1 для GOE, β = 2 для GUE и β = 4 для GSE. Этот индекс подсчитывает количество реальных компонентов на элемент матрицы. Определенные здесь ансамбли имеют гауссовские распределенные матричные элементы со средним значениемЧАС_ij⟩ = 0, а двухточечные корреляции

${\displaystyle \langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}}$,

из которого следуют все высшие корреляции Теорема Иссерлиса.

Сустав плотность вероятности для собственные значения λ₁,λ₂,...,λ_п GUE / GOE / GSE предоставлено

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}\prod _{k=1}^{n}e^{-{\frac {\beta n}{4}}\lambda _{k}^{2}}\prod _{i<j}\left|\lambda _{j}-\lambda _{i}\right|^{\beta }~,\quad (1)}$

где Z_β,п - нормировочная константа, которую можно явно вычислить, см. Интеграл Сельберга. В случае GUE (β = 2) формула (1) описывает детерминантный точечный процесс. Собственные значения отталкиваются, поскольку совместная плотность вероятности имеет нуль ( ${\displaystyle \beta }$й порядок) для совпадающих собственных значений ${\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$.

О распределении наибольшего собственного значения для матриц GOE, GUE и Wishart конечных размеров см.^[29]

Распределение расстояний между уровнями

Из упорядоченной последовательности собственных значений ${\displaystyle \lambda _{1}<\ldots <\lambda _{n}<\lambda _{n+1}<\ldots }$, определяется нормализованная интервалы ${\displaystyle s=(\lambda _{n+1}-\lambda _{n})/\langle s\rangle }$, где ${\displaystyle \langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle }$ это средний интервал. Распределение вероятностей расстояний приблизительно определяется выражением

${\displaystyle p_{1}(s)={\frac {\pi }{2}}s\,\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi }{4}}s^{2}}}$

для ортогонального ансамбля GOE ${\displaystyle \beta =1}$,

${\displaystyle p_{2}(s)={\frac {32}{\pi ^{2}}}s^{2}\mathrm {e} ^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}}$

для унитарного ансамбля ГУЭ ${\displaystyle \beta =2}$, и

${\displaystyle p_{4}(s)={\frac {2^{18}}{3^{6}\pi ^{3}}}s^{4}\mathrm {e} ^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}}}$

для симплектического ансамбля GSE ${\displaystyle \beta =4}$.

Числовые константы таковы, что ${\displaystyle p_{\beta }(s)}$ нормализовано:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,p_{\beta }(s)=1}$

и средний интервал,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds\,s\,p_{\beta }(s)=1,}$

для ${\displaystyle \beta =1,2,4}$.

Обобщения

Матрицы Вигнера случайные эрмитовы матрицы ${\displaystyle \textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}}$ так что записи

${\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,\,1\leq i\leq j\leq n\right\}}$

над главной диагональю расположены независимые случайные величины с нулевым средним и идентичными вторыми моментами.

Ансамбли инвариантных матриц случайные эрмитовы матрицы с плотностью на пространстве вещественных симметричных / эрмитовых / кватернионных эрмитовых матриц, которое имеет вид${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-n\mathrm {tr} V(H)}~,}$где функция V называется потенциалом.

Гауссовы ансамбли - единственные частные частные случаи этих двух классов случайных матриц.

Спектральная теория случайных матриц

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных значений при стремлении размера матрицы к бесконечности.

Глобальный режим

в глобальный режим, нас интересует распределение линейной статистики вида N_{f, H} = п⁻¹ tr f (H).

Эмпирическая спектральная мера

В эмпирическая спектральная мера μ_ЧАС из ЧАС определяется

${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$

Обычно предел ${\displaystyle \mu _{H}}$ - детерминированная мера; это частный случай самоусредняющийся. В кумулятивная функция распределения предельной меры называется интегральная плотность состояний и обозначается N(λ). Если интегральная плотность состояний дифференцируема, ее производная называется плотность состояний и обозначаетсяρ(λ).

Предел эмпирической спектральной меры для матриц Вигнера описан формулой Юджин Вигнер; увидеть Распределение полукруга Вигнера и Предположение Вигнера. Что касается выборочных ковариационных матриц, теория была развита Марченко и Пастуром.^[30][31]

Предел эмпирической спектральной меры ансамблей инвариантных матриц описывается некоторым интегральным уравнением, которое возникает из теория потенциала.^[32]

Колебания

Для линейной статистики N_ж,ЧАС = п⁻¹ ∑ ж(λ_j), также интересны флуктуации околож(λ) dN(λ). Для многих классов случайных матриц центральная предельная теорема вида

${\displaystyle {\frac {N_{f,H}-\int f(\lambda )\,dN(\lambda )}{\sigma _{f,n}}}{\overset {D}{\longrightarrow }}N(0,1)}$

известно, смотри,^[33][34] и т.п.

Местный режим

в местный режим, нас интересуют промежутки между собственными значениями и, в более общем плане, совместное распределение собственных значений в интервале длины порядка 1 /п. Различают массовая статистика, относящиеся к интервалам внутри носителя предельной спектральной меры, и статистика края, относящиеся к интервалам вблизи границы опоры.

Массовая статистика

Формально исправить ${\displaystyle \lambda _{0}}$ в интерьер из поддержка из ${\displaystyle N(\lambda )}$. Тогда рассмотрим точечный процесс

${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})=\sum _{j}\delta {\Big (}{\cdot }-n\rho (\lambda _{0})(\lambda _{j}-\lambda _{0}){\Big )}~,}$

где ${\displaystyle \lambda _{j}}$ - собственные значения случайной матрицы.

Точечный процесс ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$ фиксирует статистические свойства собственных значений в окрестности ${\displaystyle \lambda _{0}}$. Для Гауссовские ансамбли, предел ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$ известен;^[2] таким образом, для GUE это детерминантный точечный процесс с ядром

${\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}}}$

(в синусоидальное ядро).

В универсальность принцип постулирует, что предел ${\displaystyle \Xi (\lambda _{0})}$ так как ${\displaystyle n\to \infty }$ должен зависеть только от класса симметрии случайной матрицы (и ни от конкретной модели случайных матриц, ни от ${\displaystyle \lambda _{0}}$). Это было строго доказано для нескольких моделей случайных матриц: для ансамблей инвариантных матриц,^[35][36]для матриц Вигнера,^[37][38]et cet.

Статистика Edge

Увидеть Распределение Трейси – Уидома.

Корреляционные функции

Совместная плотность вероятности собственных значений ${\displaystyle n\times n}$ случайные эрмитовы матрицы ${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$, с статистическими суммами вида

${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}}$

где

${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$

и ${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$ стандартная мера Лебега на пространстве ${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$ эрмитского ${\displaystyle n\times n}$ matricrs, дается

${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$

В ${\displaystyle k}$-точечные корреляционные функции (или маржинальные распределения) определяются как

${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\dots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$

которые являются кососимметричными функциями своих переменных. В частности, одноточечная корреляционная функция, или плотность состояний, является

${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\dots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

Его интеграл по борелевскому множеству ${\displaystyle B\subset \mathbf {R} }$ дает ожидаемое количество собственных значений, содержащихся в ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).}$

Следующий результат выражает эти корреляционные функции как детерминанты матриц, сформированных в результате вычисления соответствующего интегрального ядра в парах ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ точек, входящих в коррелятор.

Теорема [Dyson-Mehta] Для любого ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ то ${\displaystyle k}$-точечная корреляционная функция ${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$ можно записать как определитель

${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),}$

где ${\displaystyle K_{n,V}(x,y)}$ это ${\displaystyle n}$ядро Кристоффеля-Дарбу

${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y),}$

связаны с ${\displaystyle V}$, записанные в терминах квазиполиномов

${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,{\rm {e}}^{-{1 \over 2}V(z)},}$

где ${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$ представляет собой полную последовательность монических многочленов указанных степеней, удовлетворяющих условиям ортогональности

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$

Другие классы случайных матриц

Матрицы Уишарта

Основная статья: Распределение Уишарта

Матрицы Уишарта находятся п × п случайные матрицы вида ЧАС = Икс Икс^*, где Икс является п × м случайная матрица (м ≥ п) с независимыми записями, и Икс^* это его сопряженный транспонировать. В важном частном случае, рассмотренном Уишартом, записи Икс являются одинаково распределенными гауссовскими случайными величинами (действительными или комплексными).

Найден предел эмпирической спектральной меры матриц Уишарта.^[30] от Владимир Марченко и Леонид Пастур, увидеть Марченко – Пастур раздача.

Случайные унитарные матрицы

Увидеть круговые ансамбли.

Неэрмитовы случайные матрицы

Увидеть циркулярный закон.

Справочник по ссылкам

• Книги по теории случайных матриц:^[2][39][40]
• Обзорные статьи по теории случайных матриц:^{[17][31][41][42]}
• Исторические произведения:^[1][14][16]

использованная литература

1. Вигнер, Э. (1955). «Характеристические векторы матриц с краями бесконечной размерности». Анналы математики. 62 (3): 548–564. Дои:10.2307/1970079. JSTOR  1970079.
2. Мехта, М. (2004). Случайные матрицы. Амстердам: Elsevier / Academic Press. ISBN  0-12-088409-7.
3. Bohigas, O .; Giannoni, M.J .; Шмит, Шмит (1984). «Характеристика хаотических квантовых спектров и универсальность законов флуктуации уровней». Phys. Rev. Lett. 52 (1): 1–4. Bibcode:1984ПхРвЛ..52 .... 1Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.52.1.
4. Ааронсон, Скотт; Архипов, Алексей (2013). «Вычислительная сложность линейной оптики». Теория вычислений. 9: 143–252. Дои:10.4086 / toc.2013.v009a004.
5. Рассел, Николас; Чахмахчян, Левон; О'Брайен, Джереми; Лэйнг, Энтони (2017). «Прямой набор случайных унитарных матриц Хаара». Новый J. Phys. 19 (3): 033007. arXiv:1506.06220. Bibcode:2017NJPh ... 19c3007R. Дои:10.1088 / 1367-2630 / aa60ed. S2CID  46915633.
6. Вербааршот Дж. Дж., Веттиг Т. (2000). «Теория случайных матриц и киральная симметрия в КХД». Анну. Rev. Nucl. Часть. Наука. 50: 343–410. arXiv:hep-ph / 0003017. Bibcode:2000АРНПС..50..343В. Дои:10.1146 / annurev.nucl.50.1.343. S2CID  119470008.
7. Франчини Ф., Кравцов В.Е. (октябрь 2009 г.). «Горизонт в теории случайных матриц, излучение Хокинга и поток холодных атомов». Phys. Rev. Lett. 103 (16): 166401. arXiv:0905.3533. Bibcode:2009ПхРвЛ.103п6401Ф. Дои:10.1103 / PhysRevLett.103.166401. PMID  19905710. S2CID  11122957.
8. Санчес Д., Бюттикер М. (сентябрь 2004 г.). «Магнитополевая асимметрия нелинейного мезоскопического переноса». Phys. Rev. Lett. 93 (10): 106802. arXiv:cond-mat / 0404387. Bibcode:2004PhRvL..93j6802S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.93.106802. PMID  15447435. S2CID  11686506.
9. Рычков VS, Borlenghi S, Jaffres H, Fert A, Waintal X (август 2009 г.). «Спиновый момент и волнистость в магнитных мультислоях: мост между теорией Вале-Ферта и квантовыми подходами». Phys. Rev. Lett. 103 (6): 066602. arXiv:0902.4360. Bibcode:2009ПхРвЛ.103ф6602Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.103.066602. PMID  19792592. S2CID  209013.
10. Callaway DJE (Апрель 1991 г.). «Случайные матрицы, дробная статистика и квантовый эффект Холла». Phys. Ред. B. 43 (10): 8641–8643. Bibcode:1991ПхРвБ..43.8641С. Дои:10.1103 / PhysRevB.43.8641. PMID  9996505.
11. Янссен М., Прач К. (июнь 2000 г.). «Коррелированные случайные зонные матрицы: переходы локализация-делокализация». Phys. Ред. E. 61 (6 Pt A): 6278–86. arXiv:cond-mat / 9911467. Bibcode:2000PhRvE..61.6278J. Дои:10.1103 / PhysRevE.61.6278. PMID  11088301. S2CID  34140447.
12. Zumbühl DM, Miller JB, Marcus CM, Campman K, Gossard AC (декабрь 2002 г.). «Спин-орбитальная связь, антилокализация и параллельные магнитные поля в квантовых точках». Phys. Rev. Lett. 89 (27): 276803. arXiv:cond-mat / 0208436. Bibcode:2002PhRvL..89A6803Z. Дои:10.1103 / PhysRevLett.89.276803. PMID  12513231. S2CID  9344722.
13. Bahcall SR (декабрь 1996 г.). «Случайная матричная модель сверхпроводников в магнитном поле». Phys. Rev. Lett. 77 (26): 5276–5279. arXiv:cond-mat / 9611136. Bibcode:1996ПхРвЛ..77.5276Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.77.5276. PMID  10062760. S2CID  206326136.
14. Уишарт, Дж. (1928). «Обобщенное распределение моментов продукта в образцах». Биометрика. 20А (1–2): 32–52. Дои:10.1093 / biomet / 20a.1-2.32.
15. Тропп, Дж. (2011). «Удобные хвостовые границы для сумм случайных матриц». Основы вычислительной математики. 12 (4): 389–434. arXiv:1004.4389. Дои:10.1007 / s10208-011-9099-z. S2CID  17735965.
16. von Neumann, J .; Голдстайн, HH (1947). «Численное обращение матриц высокого порядка». Бык. Амер. Математика. Soc. 53 (11): 1021–1099. Дои:10.1090 / S0002-9904-1947-08909-6.
17. Эдельман, А .; Рао, Н.Р. (2005). «Теория случайных матриц». Acta Numerica. 14: 233–297. Bibcode:2005AcNum..14..233E. Дои:10.1017 / S0962492904000236.
18. Шен, Дж. (2001). «О сингулярных значениях гауссовских случайных матриц». Linear Alg. Приложение. 326 (1–3): 1–14. Дои:10.1016 / S0024-3795 (00) 00322-0.
19. Китинг, Джон (1993). «Дзета-функция Римана и квантовая хаология». Proc. Междунар. Школа физ. Энрико Ферми. CXIX: 145–185. Дои:10.1016 / b978-0-444-81588-0.50008-0. ISBN  9780444815880.
20. Сомполинский, Н .; Crisanti, A .; Соммерс, Х. (июль 1988 г.). «Хаос в случайных нейронных сетях». Письма с физическими проверками. 61 (3): 259–262. Bibcode:1988ПхРвЛ..61..259С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.61.259. PMID  10039285.
21. Гарсиа дель Молино, Луис Карлос; Пакдаман, Хашаяр; Тубуль, Джонатан; Уэйнриб, Жиль (октябрь 2013 г.). «Синхронизация в случайно сбалансированных сетях». Физический обзор E. 88 (4): 042824. arXiv:1306.2576. Bibcode:2013PhRvE..88d2824G. Дои:10.1103 / PhysRevE.88.042824. PMID  24229242. S2CID  14550831.
22. Раджан, Канака; Эбботт, Л. (ноябрь 2006 г.). «Спектры собственных значений случайных матриц для нейронных сетей». Письма с физическими проверками. 97 (18): 188104. Bibcode:2006ПхРвЛ..97р8104Р. Дои:10.1103 / PhysRevLett.97.188104. PMID  17155583.
23. Уайнриб, Жиль; Тубуль, Джонатан (март 2013 г.). «Топологическая и динамическая сложность случайных нейронных сетей». Письма с физическими проверками. 110 (11): 118101. arXiv:1210.5082. Bibcode:2013PhRvL.110k8101W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.110.118101. PMID  25166580. S2CID  1188555.
24. Тимме, Марк; Вольф, Фред; Гейзель, Тео (февраль 2004 г.). «Топологические ограничения скорости сетевой синхронизации». Письма с физическими проверками. 92 (7): 074101. arXiv:cond-mat / 0306512. Bibcode:2004ПхРвЛ..92г4101Т. Дои:10.1103 / PhysRevLett.92.074101. PMID  14995853. S2CID  5765956.
25. Мьюир, Дилан; Миссис-Флогель, Томас (2015). «Оценки собственного спектра для полуслучайных матриц с модульной и пространственной структурой для нейронных сетей» (PDF). Phys. Ред. E. 91 (4): 042808. Bibcode:2015ПхРвЭ..91д2808М. Дои:10.1103 / PhysRevE.91.042808. PMID  25974548.
26. Чоу, Грегори П. (1976). Анализ и управление динамическими экономическими системами. Нью-Йорк: Вили. ISBN  0-471-15616-7.
27. Турновский, Стивен (1976). «Оптимальная политика стабилизации для стохастических линейных систем: случай коррелированных мультипликативных и аддитивных возмущений». Обзор экономических исследований. 43 (1): 191–194. Дои:10.2307/2296614. JSTOR  2296741.
28. Турновский, Стивен (1974). «Свойства устойчивости оптимальной экономической политики». Американский экономический обзор. 64 (1): 136–148. JSTOR  1814888.
29. Чиани М (2014). «Распределение наибольшего собственного значения для реальных Wishart и гауссовских случайных матриц и простое приближение для распределения Tracy-Widom». Журнал многомерного анализа. 129: 69–81. arXiv:1209.3394. Дои:10.1016 / j.jmva.2014.04.002. S2CID  15889291.
30. .Марченко, В А; Пастур, Л. А. (1967). «Распределение собственных значений для некоторых наборов случайных матриц». Математика СССР-Сборник. 1 (4): 457–483. Bibcode:1967SbMat ... 1..457M. Дои:10.1070 / SM1967v001n04ABEH001994.
31. Пастур, Л.А. (1973). «Спектры случайных самосопряженных операторов». Русь. Математика. Surv. 28 (1): 1–67. Bibcode:1973РуМаС..28 .... 1П. Дои:10.1070 / RM1973v028n01ABEH001396.
32. Пастур, Л .; Щербина, М. (1995). «О подходе статистической механики в теории случайных матриц: интегральная плотность состояний». J. Stat. Phys. 79 (3–4): 585–611. Bibcode:1995JSP .... 79..585D. Дои:10.1007 / BF02184872. S2CID  120731790.
33. Йоханссон, К. (1998). «О флуктуациях собственных значений случайных эрмитовых матриц». Duke Math. J. 91 (1): 151–204. Дои:10.1215 / S0012-7094-98-09108-6.
34. Пастур, Л.А. (2005). «Простой подход к глобальному режиму гауссовских ансамблей случайных матриц». Украинская математика. J. 57 (6): 936–966. Дои:10.1007 / s11253-005-0241-4. S2CID  121531907.
35. Пастур, Л .; Щербина, М. (1997). «Универсальность локальной статистики собственных значений для класса унитарных инвариантных ансамблей случайных матриц». Журнал статистической физики. 86 (1–2): 109–147. Bibcode:1997JSP .... 86..109P. Дои:10.1007 / BF02180200. S2CID  15117770.
36. Deift, P .; Kriecherbauer, T .; McLaughlin, K.T.-R .; Venakides, S .; Чжоу, X. (1997). «Асимптотика для многочленов, ортогональных относительно переменных экспоненциальных весов». Уведомления о международных математических исследованиях. 1997 (16): 759–782. Дои:10.1155 / S1073792897000500.
37. Erdős, L .; Пече, С.; Ramírez, J.A .; Schlein, B .; Яу, Х. (2010). «Массовая универсальность матриц Вигнера». Сообщения по чистой и прикладной математике. 63 (7): 895–925.
38. Тао, Теренс; Ву, Ван Х. (2010). «Случайные матрицы: универсальность локальной статистики собственных значений с точностью до края». Коммуникации по математической физике. 298 (2): 549–572. arXiv:0908.1982. Bibcode:2010CMaPh.298..549T. Дои:10.1007 / s00220-010-1044-5. S2CID  16594369.
39. Андерсон, G.W .; Guionnet, A .; Зейтуни, О. (2010). Введение в случайные матрицы. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19452-5.
40. Akemann, G .; Baik, J .; Ди Франческо, П. (2011). Оксфордский справочник по теории случайных матриц. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-957400-1.
41. Диаконис, Перси (2003). «Паттерны в собственных значениях: 70-я лекция Джозии Уилларда Гиббса». Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия. 40 (2): 155–178. Дои:10.1090 / S0273-0979-03-00975-3. Г-Н  1962294.
42. Диаконис, Перси (2005). "Что такое ... случайная матрица?". Уведомления Американского математического общества. 52 (11): 1348–1349. ISSN  0002-9920. Г-Н  2183871.

внешние ссылки

• Федоров Ю. (2011). «Теория случайных матриц». Scholarpedia. 6 (3): 9886. Bibcode:2011SchpJ ... 6.9886F. Дои:10.4249 / scholarpedia.9886.
• Вайсштейн, Э. «Случайная матрица». Wolfram MathWorld.