Комплексная матрица Адамара - Complex Hadamard matrix

А комплексная матрица Адамара есть ли сложный${displaystyle N imes N}$ матрица ${displaystyle H}$ удовлетворяющие двум условиям:

• унимодулярность (модуль каждой записи равен единице): ${displaystyle |H_{jk}|=1{quad {m {forquad }}}j,k=1,2,dots ,N}$
• ортогональность: ${displaystyle HH^{dagger }=NI}$,

куда ${displaystyle {dagger }}$ обозначает Эрмитово транспонирование из ${displaystyle H}$ и ${displaystyle I}$ - единичная матрица. Концепция является обобщением Матрица Адамара. Обратите внимание, что любая комплексная матрица Адамара ${displaystyle H}$ можно превратить в унитарная матрица умножив это на ${displaystyle {frac {1}{sqrt {N}}}}$; наоборот, любая унитарная матрица, все элементы которой имеют модуль ${displaystyle {frac {1}{sqrt {N}}}}$ становится сложным Адамаром при умножении на ${displaystyle {sqrt {N}}}$.

Комплексные матрицы Адамара возникают при изучении операторные алгебры и теория квантовые вычисления. Реальные матрицы Адамара и Матрицы Адамара типа Бутсона образуют частные случаи комплексных матриц Адамара.

Комплексные матрицы Адамара существуют для любых естественных ${displaystyle N}$ (сравните реальный случай, в котором существование неизвестно для каждого ${displaystyle N}$). Например, матрицы Фурье (комплексно сопряженные матрицы Матрицы ДПФ без нормирующего множителя),

${displaystyle [F_{N}]_{jk}:=exp[(2pi i(j-1)(k-1)/N]{quad {m {forquad }}}j,k=1,2,dots ,N}$

принадлежат к этому классу.

Эквивалентность

Две комплексные матрицы Адамара называются эквивалентными, записываются ${displaystyle H_{1}simeq H_{2}}$, если существуют диагональ унитарные матрицы ${displaystyle D_{1},D_{2}}$ и матрицы перестановок ${displaystyle P_{1},P_{2}}$ такой, что

${displaystyle H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.}$

Любая комплексная матрица Адамара эквивалентна дефазированный Матрица Адамара, в которой все элементы в первой строке и первом столбце равны единице.

За ${displaystyle N=2,3}$ и ${displaystyle 5}$ все комплексные матрицы Адамара эквивалентны матрице Фурье ${displaystyle F_{N}}$. За ${displaystyle N=4}$ существует непрерывное однопараметрическое семейство неэквивалентных комплексных матриц Адамара,

${displaystyle F_{4}^{(1)}(a):={egin{bmatrix}1&1&1&11&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}1&-1&1&-11&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}end{bmatrix}}{quad {m {withquad }}}ain [0,pi ).}$

За ${displaystyle N=6}$ известны следующие семейства комплексных матриц Адамара:

• единое двухпараметрическое семейство, которое включает ${displaystyle F_{6}}$,
• единое однопараметрическое семейство ${displaystyle D_{6}(t)}$,
• однопараметрическая орбита ${displaystyle B_{6}( heta )}$, включая циркулянтную матрицу Адамара ${displaystyle C_{6}}$,
• двухпараметрическая орбита, включая предыдущие два примера ${displaystyle X_{6}(alpha )}$,
• однопараметрическая орбита ${displaystyle M_{6}(x)}$ симметричных матриц,
• двухпараметрическая орбита, включая предыдущий пример ${displaystyle K_{6}(x,y)}$,
• трехпараметрическая орбита, включая все предыдущие примеры ${displaystyle K_{6}(x,y,z)}$,
• дополнительная конструкция с четырьмя степенями свободы, ${displaystyle G_{6}}$, давая другие примеры, кроме ${displaystyle K_{6}(x,y,z)}$,
• единственная точка - одна из матриц Адамара типа Бутсона, ${displaystyle S_{6}in H(3,6)}$.

Однако неизвестно, является ли этот список полным, но предполагается, что ${displaystyle K_{6}(x,y,z),G_{6},S_{6}}$ является исчерпывающим (но не обязательно неизбыточным) списком всех комплексных матриц Адамара порядка 6.

Рекомендации

• У. Хаагеруп, Ортогональные максимальные абелевы * -подалгебры матриц n × n и циклические n-корни, Операторные алгебры и квантовая теория поля (Рим), 1996 (Кембридж, Массачусетс, International Press), стр. 296–322.
• П. Дита, Некоторые результаты по параметризации комплексных матриц Адамара, J. ​​Phys. A: Математика. Gen 37, 5355-5374 (2004).
• F. Szollosi, Двухпараметрическое семейство комплексных матриц Адамара порядка 6, индуцированных гипоциклоидами, препринт, arXiv: 0811.3930v2 [math.OA]
• В. Тадей и К. Жычковски, Краткое руководство по сложным матрицам Адамара Open Systems & Infor. Дин. 13 133–177 (2006)

внешняя ссылка

• Для подробного списка известных ${displaystyle N=6}$ комплексные матрицы Адамара и несколько примеров матриц Адамара размером 7-16 см. Каталог комплексных матриц Адамара