Симплектическая матрица - Symplectic matrix

В математике симплектическая матрица это ${\displaystyle 2n\times 2n}$ матрица ${\displaystyle M}$ с настоящий записи, удовлетворяющие условию

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega ,}$

(1)

где ${\displaystyle M^{T}}$ обозначает транспонировать из ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle \Omega }$ фиксированный ${\displaystyle 2n\times 2n}$ неособый, кососимметричная матрица. Это определение можно расширить до ${\displaystyle 2n\times 2n}$ матрицы с записями в других поля, такой как сложные числа, конечные поля, p-адические числа, и функциональные поля.

Обычно ${\displaystyle \Omega }$ выбран, чтобы быть блочная матрица

$${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},}$$

где ${\displaystyle I_{n}}$ это ${\displaystyle n\times n}$ единичная матрица. Матрица ${\displaystyle \Omega }$ имеет детерминант ${\displaystyle +1}$ и его обратное ${\displaystyle \Omega ^{-1}=\Omega ^{T}=-\Omega }$.

Характеристики

Генераторы симплектических матриц

Каждая симплектическая матрица имеет определитель ${\displaystyle +1}$, а ${\displaystyle 2n\times 2n}$ симплектические матрицы с вещественными элементами образуют подгруппа из общая линейная группа ${\displaystyle GL(2n;\mathbb {R} )}$ под матричное умножение поскольку быть симплектическим - свойство, устойчивое относительно матричного умножения. Топологически, этот симплектическая группа это связаны некомпактный настоящая группа Ли реального измерения ${\displaystyle n(2n+1)}$, и обозначается ${\displaystyle Sp(2n;\mathbb {R} )}$. Симплектическая группа может быть определена как множество линейные преобразования сохраняющие симплектическую форму действительного симплектическое векторное пространство.

Эта симплектическая группа имеет выделенный набор генераторов, с помощью которых можно найти все возможные симплектические матрицы. Сюда входят следующие наборы

$${\displaystyle {\begin{aligned}D(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{pmatrix}}:A\in {\text{GL}}(n;\mathbb {R} )\right\}\\N(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}:B\in {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )\right\}\end{aligned}}}$$

где ${\displaystyle {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )}$ это набор ${\displaystyle n\times n}$ симметричные матрицы. Потом, ${\displaystyle Sp(2n;\mathbb {R} )}$ порождается множеством^{[1]стр. 2}

$${\displaystyle \{\Omega \}\cup D(n)\cup N(n)}$$

матриц. Другими словами, любая симплектическая матрица может быть построена умножением матриц в ${\displaystyle D(n)}$ и ${\displaystyle N(n)}$ вместе, вместе с некоторой силой ${\displaystyle \Omega }$.

Обратная матрица

Каждая симплектическая матрица обратима с обратная матрица данный

$${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .}$$

Кроме того, товар двух симплектических матриц снова является симплектической матрицей. Это придает множеству всех симплектических матриц структуру группа. Существует естественный многообразие структура этой группы, которая превращает ее в (реальную или сложную) Группа Ли называется симплектическая группа.

Детерминантные свойства

Из определения легко следует, что детерминант любой симплектической матрицы равна ± 1. На самом деле, оказывается, что определитель всегда +1 для любого поля. Один из способов увидеть это - использовать Пфаффиан и личность

$${\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).}$$

поскольку ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ и ${\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}$ у нас есть это ${\displaystyle \det(M)=1}$.

Когда базовое поле является реальным или сложным, это также можно показать, факторизуя неравенство ${\displaystyle \det(M^{\text{T}}M+I)\geq 1}$.^[2]

Блочная форма симплектических матриц

Предположим, что Ω задано в стандартной форме, и пусть ${\displaystyle M}$ быть ${\displaystyle 2n\times 2n}$ блочная матрица данный

$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$$

где ${\displaystyle A,B,C,D}$ находятся ${\displaystyle n\times n}$ матрицы. Условие для ${\displaystyle M}$ быть симплектическим эквивалентно двум следующим эквивалентным условиям^[3]

${\displaystyle A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D}$ симметричный, и ${\displaystyle A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I}$

${\displaystyle AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}}$ симметричный, и ${\displaystyle AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=I}$

Когда ${\displaystyle n=1}$ эти условия сводятся к единственному условию ${\displaystyle \det(M)=1}$. Таким образом ${\displaystyle 2\times 2}$ матрица симплектическая если только он имеет определитель единицы.

Обратная матрица блочной матрицы

С участием ${\displaystyle \Omega }$ в стандартной форме, обратное ${\displaystyle M}$ дан кем-то

$${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.}$$

Группа имеет размерность ${\displaystyle n(2n+1)}$. В этом можно убедиться, отметив, что ${\displaystyle (M^{\text{T}}\Omega M)^{\text{T}}=-M^{\text{T}}\Omega M}$ антисимметрична. Поскольку пространство антисимметричных матриц имеет размерность ${\displaystyle {\binom {2n}{2}},}$ личность ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }$ навязывает ${\displaystyle 2n \choose 2}$ ограничения на ${\displaystyle (2n)^{2}}$коэффициенты ${\displaystyle M}$и уходит ${\displaystyle M}$ с ${\displaystyle n(2n+1)}$ независимые коэффициенты.

Симплектические преобразования

В абстрактной формулировке линейная алгебра, матрицы заменяются на линейные преобразования из конечномерный векторные пространства. Абстрактный аналог симплектической матрицы - это симплектическое преобразование из симплектическое векторное пространство. Вкратце, симплектическое векторное пространство ${\displaystyle (V,\omega )}$ это ${\displaystyle 2n}$-мерное векторное пространство ${\displaystyle V}$ оснащен невырожденный, кососимметричный билинейная форма ${\displaystyle \omega }$ называется симплектическая форма.

Тогда симплектическое преобразование - это линейное преобразование ${\displaystyle L:V\to V}$ который сохраняет ${\displaystyle \omega }$, т.е.

${\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).}$

Исправление основа за ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \omega }$ можно записать в виде матрицы ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle L}$ как матрица ${\displaystyle M}$. Условие, что ${\displaystyle L}$ - симплектическое преобразование - это в точности условие, что M - симплектическая матрица:

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .}$

Под изменение основы, представленный матрицей А, у нас есть

${\displaystyle \Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A}$

${\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA.}$

Всегда можно принести ${\displaystyle \Omega }$ либо к стандартной форме, указанной во введении, либо к блочно-диагональной форме, описанной ниже, путем подходящего выбора А.

Матрица Ω

Симплектические матрицы определяются относительно фиксированной неособый, кососимметричная матрица ${\displaystyle \Omega }$. Как объяснялось в предыдущем разделе, ${\displaystyle \Omega }$ можно рассматривать как координатное представление невырожденный кососимметричная билинейная форма. Это основной результат линейная алгебра что любые две такие матрицы отличаются друг от друга на изменение основы.

Самая распространенная альтернатива стандартному ${\displaystyle \Omega }$ приведенный выше диагональ блока форма

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}$

Этот выбор отличается от предыдущего тем, что перестановка из базисные векторы.

Иногда обозначения ${\displaystyle J}$ используется вместо ${\displaystyle \Omega }$ для кососимметричной матрицы. Это особенно неудачный выбор, поскольку он приводит к путанице с понятием сложная структура, который часто имеет то же выражение координат, что и ${\displaystyle \Omega }$ но представляет собой совершенно иную структуру. Сложная структура ${\displaystyle J}$ является координатным представлением линейного преобразования, которое квадратов к ${\displaystyle -I_{n}}$, в то время как ${\displaystyle \Omega }$ - координатное представление невырожденной кососимметричной билинейной формы. Можно легко выбрать базы, в которых ${\displaystyle J}$ не кососимметричен или ${\displaystyle \Omega }$ не соответствует ${\displaystyle -I_{n}}$.

Учитывая эрмитская структура в векторном пространстве, ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle \Omega }$ связаны через

${\displaystyle \Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}}$

где ${\displaystyle g_{ac}}$ это метрика. Это ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle \Omega }$ обычно имеют одинаковые координаты выражения (с точностью до общего знака) просто следствие того, что метрика грамм обычно является единичной матрицей.

Диагонализация и декомпозиция

• Для любого положительно определенный симметричная вещественная симплектическая матрица S Существует U в U (2п,р) такой, что

${\displaystyle S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),}$
где диагональные элементы D являются собственные значения из S.^[4]

• Любая вещественная симплектическая матрица S имеет полярное разложение формы:^[4]

${\displaystyle S=UR\quad {\text{for}}\quad U\in \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} ){\text{ and }}R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).}$

• Любую вещественную симплектическую матрицу можно разложить как произведение трех матриц:

${\displaystyle S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',}$

(2)

такой, что О и О ' оба симплектические и ортогональный и D является положительно определенный и диагональ.^[5] Это разложение тесно связано с разложение по сингулярным числам матрицы и называется разложением Эйлера или Блоха-Мессии.

Комплексные матрицы

Если вместо этого M это 2n×2n матрица с сложный записей, определение не является стандартным во всей литературе. Многие авторы ^[6] измените определение выше на

${\displaystyle M^{*}\Omega M=\Omega \,.}$

(3)

где M^* обозначает сопряженный транспонировать из M. В этом случае определитель не может быть 1, но будет иметь абсолютная величина 1. В случае 2 × 2 (п=1), M будет произведением реальной симплектической матрицы и комплексного числа с модулем 1.

Другие авторы ^[7] сохранить определение (1) для комплексных матриц и матриц вызова, удовлетворяющих (3) сопряженный симплектический.

Приложения

Преобразования, описываемые симплектическими матрицами, играют важную роль в квантовая оптика И в квантовая теория информации с непрерывными переменными. Например, симплектические матрицы можно использовать для описания Преобразования Гаусса (Боголюбова) квантового состояния света.^[8] В свою очередь, разложение Блоха-Мессии (2) означает, что такое произвольное гауссовское преобразование можно представить в виде набора двух пассивных линейно-оптический интерферометры (соответствующие ортогональным матрицам О и О ' ) прерывается слоем активных нелинейных выдавливание преобразования (заданные в терминах матрицы D).^[9] Фактически, можно обойтись без таких в соответствии активные преобразования сжатия, если двухмодовые состояния сжатого вакуума доступны только как предыдущий ресурс.^[10]

Смотрите также

• Математический портал

• симплектическое векторное пространство
• симплектическая группа
• симплектическое представление
• ортогональная матрица
• унитарная матрица
• Гамильтонова механика
• Линейная сложная структура

использованная литература

1. Хаберманн, Катарина, 1966- (2006). Введение в симплектические операторы Дирака. Springer. ISBN  978-3-540-33421-7. OCLC  262692314.
2. Обод, Донсуб (2017). «Элементарное доказательство того, что симплектические матрицы имеют детерминантную единицу». Adv. Дин. Syst. Приложение. 12 (1): 15–20. arXiv:1505.04240. Bibcode:2015arXiv150504240R. Дои:10.37622 / ADSA / 12.1.2017.15-20.
3. де Госсон, Морис. «Введение в симплектическую механику: лекции I-II-III» (PDF).
4. де Госсон, Морис А. (2011). Симплектические методы в гармоническом анализе и математической физике - Спрингер. Дои:10.1007/978-3-7643-9992-4. ISBN  978-3-7643-9991-7.
5. Ферраро et. al. 2005 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFFerraro_et._al.2005 (Помогите) Раздел 1.3. ... Заголовок?
6. Сюй, Х. Г. (15 июля 2003 г.). «SVD-подобное матричное разложение и его приложения». Линейная алгебра и ее приложения. 368: 1–24. Дои:10.1016 / S0024-3795 (03) 00370-7. HDL:1808/374.
7. Mackey, D. S .; Макки, Н. (2003). «О определителе симплектических матриц». Отчет численного анализа. 422. Манчестер, Англия: Манчестерский центр вычислительной математики.
8. Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсия-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж .; Ральф, Тимоти С .; Шапиро, Джеффри Х .; Ллойд, Сет (2012). «Гауссова квантовая информация». Обзоры современной физики. 84 (2): 621–669. arXiv:1110.3234. Bibcode:2012RvMP ... 84..621Вт. Дои:10.1103 / RevModPhys.84.621.
9. Браунштейн, Сэмюэл Л. (2005). «Выжимание как неснижаемый ресурс». Физический обзор A. 71 (5): 055801. arXiv:Quant-ph / 9904002. Bibcode:2005PhRvA..71e5801B. Дои:10.1103 / PhysRevA.71.055801.
10. Чахмахчян, Левон; Серф, Николас (2018). «Моделирование произвольных гауссовых схем с помощью линейной оптики». Физический обзор A. 98 (6): 062314. arXiv:1803.11534. Bibcode:2018PhRvA..98f2314C. Дои:10.1103 / PhysRevA.98.062314.

внешняя ссылка

• «Симплектическая матрица». PlanetMath.
• «Характеристический многочлен симплектической матрицы является обратным многочленом». PlanetMath.