Группа (математика) - Group (mathematics)

Манипуляции с этим Кубик Рубика сформировать Группа Кубик Рубика.

В математика, а группа это набор оснащен бинарная операция который объединяет любые два элементы сформировать третий элемент таким образом, чтобы четыре условия, называемые группой аксиомы удовлетворены, а именно закрытие, ассоциативность, личность и обратимость. Один из наиболее известных примеров группы - это набор целые числа вместе с добавление операции, но группы встречаются во многих областях внутри и за пределами математики и помогают сосредоточиться на существенных структурных аспектах, отделяя их от конкретной природы предмета исследования.^[1]^[2]

Группы разделяют фундаментальное родство с понятием симметрия. Например, группа симметрии кодирует признаки симметрии геометрический объект: группа состоит из набора преобразований, которые оставляют объект неизменным, и операции объединения двух таких преобразований, выполняемых одно за другим. Группы Ли группы симметрии, используемые в Стандартная модель из физика элементарных частиц; Группы Пуанкаре, которые также являются группами Ли, могут выражать физическую симметрию, лежащую в основе специальная теория относительности; и точечные группы используются, чтобы помочь понять явления симметрии в молекулярной химии.

Концепция группы возникла в результате изучения полиномиальные уравнения, начиная с Эварист Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группа (группа, на французском языке) для группы симметрии корни уравнения, которое теперь называется Группа Галуа. После вкладов из других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно утвердилось примерно в 1870 году. теория групп - активная математическая дисциплина - самостоятельно изучает группы.^[а] Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, позволяющие разбивать группы на более мелкие, более понятные части, например подгруппы, факторгруппы и простые группы. В дополнение к своим абстрактным свойствам теоретики групп также изучают различные способы, которыми группа может быть выражена конкретно, как с точки зрения теория представлений (то есть через представления группы ) и из вычислительная теория групп. Разработана теория для конечные группы, который завершился классификация конечных простых групп, завершено в 2004 году.^[аа] С середины 1980-х гг. геометрическая теория групп, который изучает конечно порожденные группы как геометрические объекты, стала активной областью теории групп.

Определение и иллюстрация

Первый пример: целые числа

Одна из самых известных групп - это набор целые числа ${displaystyle mathbb {Z}}$ , состоящий из чисел

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...,^[3] вместе с добавление.

Следующие свойства целочисленного сложения служат моделью для групповых аксиом, приведенных в определении ниже.

Для любых двух целых чисел а и б, то сумма а + б также является целым числом. То есть сложение целых чисел всегда дает целое число. Это свойство известно как закрытие под дополнением.
Для всех целых чисел а, б и c, (а + б) + c = а + (б + c). Выражаясь словами, добавляя а к б сначала, а затем добавив результат в c дает тот же конечный результат, что и добавление а в сумме б и c, свойство, известное как ассоциативность.
Если а любое целое число, то 0 + а = а и а + 0 = а. Нуль называется элемент идентичности сложения, потому что добавление его к любому целому числу возвращает то же целое число.
Для каждого целого числа а, есть целое число б такой, что а + б = 0 и б + а = 0. Целое число б называется обратный элемент целого числа а и обозначается -а.

Целые числа вместе с операцией + образуют математический объект, принадлежащий к широкому классу, имеющему сходные структурные аспекты. Чтобы правильно понять эти структуры как коллектив, следующие определение разработан.

Определение

Аксиомы для группы короткие и естественные ... Однако за этими аксиомами каким-то образом скрывается группа монстров, огромный и необычный математический объект, существование которого, похоже, основано на многочисленных странных совпадениях. Аксиомы для групп не дают очевидных намеков на существование чего-либо подобного.

Ричард Борчердс в Математики: внешний вид внутреннего мира ^[4]

Группа - это набор, граммвместе с операция ⋅ (называется групповой закон из грамм), который объединяет любые два элементы а и б сформировать другой элемент, обозначенный а ⋅ б или же ab. Чтобы квалифицировать как группу, набор и операция, (грамм, ⋅), должен удовлетворять четырем требованиям, известным как групповые аксиомы:^[5]

Закрытие: Для всех а, б в грамм, результат операции, а ⋅ б, также в грамм.^[b]
Ассоциативность: Для всех а, б и c в грамм, (а ⋅ б) ⋅ c = а ⋅ (б ⋅ c).
Элемент идентичности: Существует элемент е в грамм так что для каждого элемента а в грамм, уравнения е ⋅ а = а и а ⋅ е = а держать. Такой элемент уникален (Смотри ниже ), и поэтому говорят о то элемент идентичности.
Обратный элемент: Для каждого а в грамм, существует элемент б в грамм такой, что а ⋅ б = е и б ⋅ а = е, куда е является элементом идентичности. Для каждого а, то б уникален и обычно обозначается а⁻¹ (или -а, если операция обозначена "+").

Результат групповой операции может зависеть от порядка операндов. Другими словами, результат объединения элемента а с элементом б не обязательно давать тот же результат, что и объединение элементов б с элементом а; уравнение

а ⋅ б = б ⋅ а

не может быть правдой для каждых двух элементов а и б. Это уравнение всегда выполняется в группе целых чисел при сложении, поскольку а + б = б + а для любых двух целых чисел (коммутативность сложения). Группы, для которых уравнение коммутативности а ⋅ б = б ⋅ а всегда держит называется абелевы группы (в честь Нильс Хенрик Абель ). Группа симметрии, описанная в следующем разделе, является примером группы, которая не является абелевой.

Элемент идентичности группы грамм часто записывается как 1 или 1_грамм,^[6] обозначение, унаследованное от мультипликативная идентичность. Если группа абелева, то можно выбрать обозначение групповой операции через +, а единичный элемент через 0; в этом случае группа называется аддитивной группой. Элемент идентичности также можно записать как я бы.

Набор грамм называется базовый набор группы (грамм, ⋅). Часто основной набор группы грамм используется как краткое название группы (грамм, ⋅). В том же духе сокращенные выражения, такие как "подмножество группы грамм"или" элемент группы грамм"используются, когда на самом деле имеется в виду" подмножество базового набора грамм группы (грамм, ⋅)"или" элемент базового набора грамм группы (грамм, ⋅)". Обычно из контекста ясно, может ли такой символ грамм относится к группе или базовому набору.

Альтернативное (но эквивалентное) определение - расширить структуру группы, чтобы определить группу как набор, снабженный тремя операциями, удовлетворяющими тем же аксиомам, что и выше, с удалением части «существует» в двух последних аксиомах, эти операции являются групповой закон, как указано выше, который является бинарная операция, то обратная операция, который является унарная операция и карты $а$ к ${displaystyle a ^ {- 1},}$ и элемент идентичности, который рассматривается как 0-арная операция.

Поскольку эта формулировка определения избегает экзистенциальные кванторы, обычно предпочтительнее для вычисления с группами и для компьютерные доказательства. В этом составе представлены группы в виде множества универсальная алгебра. Это также полезно для обсуждения свойств обратной операции, необходимых для определения топологические группы и группировать объекты.

Второй пример: группа симметрии

Две фигуры в плоскости конгруэнтный если один может быть заменен другим, используя комбинацию вращения, размышления, и переводы. Любая фигура конгруэнтна самой себе. Однако некоторые цифры совпадают сами с собой более чем одним способом, и эти дополнительные сравнения называются симметрии. У квадрата восемь симметрий. Это:

Элементы группы симметрии квадрата (D₄). Вершины обозначаются цветом или номером.
id (оставив как есть)	р₁ (поворот на 90 ° по часовой стрелке)	р₂ (поворот на 180 °)	р₃ (поворот на 270 ° по часовой стрелке)
ж_v (вертикальное отражение)	ж_час (горизонтальное отражение)	ж_d (диагональное отражение)	ж_c (противодиагональное отражение)

то идентификационная операция оставляя все без изменений, обозначается id;
повороты квадрата вокруг его центра на 90 °, 180 ° и 270 ° по часовой стрелке, обозначаемые r₁, р₂ и г₃, соответственно;
размышления о горизонтальной и вертикальной средней линии (f_v и е_час), или через два диагонали (f_d и е_c).

Эти симметрии функции. Каждый посылает точку в квадрате соответствующей точке симметрии. Например, r₁ отправляет точку вращением на 90 ° по часовой стрелке вокруг центра квадрата, а f_час отправляет точку в свое отражение через вертикальную среднюю линию квадрата. Составление две из этих симметрий дают другую симметрию. Эти симметрии определяют группу, называемую группа диэдра степени 4, обозначается $D 4$ . Базовым набором группы является указанный выше набор симметрий, а групповая операция функциональная композиция.^[7] Две симметрии объединяются, составляя их как функции, то есть применяя первую к квадрату, а вторую - к результату первого применения. Результат выполнения первой а а потом б написано символически справа налево в качестве б ° а ("применить симметрию б после выполнения симметрии а"). (Это обычное обозначение композиции функций.)

В групповой стол справа перечислены результаты всех возможных подобных композиций. Например, поворот на 270 ° по часовой стрелке (r₃), а затем отражая горизонтально (f_час) аналогично выполнению отражения по диагонали (f_d). Используя указанные выше символы, выделенные синим цветом в таблице групп:

ж_час ∘ г₃ = f_d.

Таблица групп из D₄
	я бы	р₁	р₂	р₃	ж_v	ж_час	ж_d	ж_c
я бы	я бы	р₁	р₂	р₃	ж_v	ж_час	ж_d	ж_c
р₁	р₁	р₂	р₃	я бы	ж_c	ж_d	ж_v	ж_час
р₂	р₂	р₃	я бы	р₁	ж_час	ж_v	ж_c	ж_d
р₃	р₃	я бы	р₁	р₂	ж_d	ж_c	ж_час	ж_v
ж_v	ж_v	ж_d	ж_час	ж_c	я бы	р₂	р₁	р₃
ж_час	ж_час	ж_c	ж_v	ж_d	р₂	я бы	р₃	р₁
ж_d	ж_d	ж_час	ж_c	ж_v	р₃	р₁	я бы	р₂
ж_c	ж_c	ж_v	ж_d	ж_час	р₁	р₃	р₂	я бы
Элементы id, r₁, р₂, а г₃ сформировать подгруппа, выделено красный (верхняя левая область). Левый и правый смежный этой подгруппы выделено зеленый (в последнем ряду) и желтый (последний столбец) соответственно.

Учитывая этот набор симметрий и описанную операцию, аксиомы группы можно понимать следующим образом:

Аксиома замыкания требует, чтобы композиция б ∘ а любых двух симметрий а и б тоже симметрия. Другой пример групповой операции:
р₃ ∘ f_час = f_c,
то есть поворот на 270 ° по часовой стрелке после горизонтального отражения равняется отражению по противоположной диагонали (f_c). Действительно, любая другая комбинация двух симметрий по-прежнему дает симметрию, что можно проверить с помощью таблицы групп.
Ограничение ассоциативности имеет дело с составлением более двух симметрий: начиная с трех элементов. а, б и c из D₄, есть два возможных способа использования этих трех симметрий в указанном порядке для определения симметрии квадрата. Один из этих способов - сначала составить а и б в единую симметрию, затем составить эту симметрию с c. Другой способ - сначала составить б и c, затем составить полученную симметрию с а. Условие ассоциативности
(а ∘ б) ∘ c = а ∘ (б ∘ c)
означает, что эти два способа одинаковы, т. е. произведение множества элементов группы может быть упрощено в любой группировке. (f_d ∘ f_v) ∘ г₂ = f_d ∘ (f_v ∘ г₂) можно проверить с помощью таблицы групп справа
(f_d ∘ f_v) ∘ г₂ = р₃ ∘ г₂ = р₁, что равно
ж_d ∘ (f_v ∘ г₂) = ж_d ∘ f_час = р₁.
Хотя ассоциативность верна для симметрии квадрата и сложения чисел, она не верна для всех операций. Например, вычитание чисел не ассоциативно: (7 − 3) − 2 = 2 не то же самое, что 7 − (3 − 2) = 6.
Элементом идентичности является идентификатор симметрии, оставляющий все неизменным: для любой симметрии а, выполнение id после а (или же а после id) равно а, в символической форме,
id ∘ а = а,
а ∘ id = а.
Обратный элемент отменяет преобразование другого элемента. Любая симметрия может быть отменена: каждое из следующих преобразований - тождество id, отражения f_час, f_v, f_d, f_c и поворот на 180 ° r₂- инверсия сама по себе, потому что ее выполнение дважды возвращает квадрат в исходную ориентацию. Вращения r₃ и г₁ являются противоположными друг другу, потому что поворот на 90 °, а затем на 270 ° (или наоборот) дает поворот на 360 °, который оставляет квадрат неизменным. В символах
ж_час ∘ f_час = id,
р₃ ∘ г₁ = г₁ ∘ г₃ = id.

В отличие от группы целых чисел выше, где порядок операции не имеет значения, он имеет значение в D₄, как, например, ж_час ∘ г₁ = f_c но р₁ ∘ f_час = f_d. Другими словами, D₄ не абелева, что делает структуру группы более сложной, чем целые числа, введенные первыми.

История

Современная концепция абстрактной группы возникла из нескольких областей математики.^[8]^[9]^[10] Первоначальной мотивацией теории групп был поиск решений полиномиальные уравнения степени выше 4. Французский математик XIX века Эварист Галуа, продлевая предыдущую работу Паоло Руффини и Жозеф-Луи Лагранж, дал критерий разрешимости конкретного полиномиального уравнения в терминах группа симметрии своего корни (решения). Элементы такого Группа Галуа соответствуют определенным перестановки корней. Сначала идеи Галуа были отвергнуты его современниками и опубликованы только посмертно.^[11]^[12] Более общий группы перестановок были исследованы, в частности, Огюстен Луи Коши. Артур Кэли с По теории групп в зависимости от символического уравнения θ^п = 1 (1854) дает первое абстрактное определение конечная группа.^[13]

Геометрия была второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии как часть Феликс Кляйн 1872 год Программа Эрланген.^[14] После новых геометрий, таких как гиперболический и проективная геометрия Клейн использовал теорию групп, чтобы организовать их более последовательным образом. Продолжая развивать эти идеи, Софус Ли основал исследование Группы Ли в 1884 г.^[15]

Третьей областью теории групп была теория чисел. Определенный абелева группа структуры использовались неявно в Карл Фридрих Гаусс теоретико-числовая работа Disquisitiones Arithmeticae (1798), и более явно Леопольд Кронекер.^[16] В 1847 г. Эрнст Куммер сделал первые попытки доказать Последняя теорема Ферма путем развития группы, описывающие факторизацию в простые числа.^[17]

Конвергенция этих различных источников в единую теорию групп началась с Камилла Джордан с Traité des replaces et des équations algébriques (1870).^[18] Вальтер фон Дейк (1882) представил идею определения группы с помощью генераторов и отношений, а также был первым, кто дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени.^[19] В 20-м веке группы получили широкое признание благодаря новаторской работе Фердинанд Георг Фробениус и Уильям Бернсайд, который работал над теория представлений конечных групп, Ричард Брауэр с модульная теория представлений и Иссай Шур документы.^[20] Теория групп Ли и вообще локально компактные группы был изучен Герман Вейль, Эли Картан и много других.^[21] Его алгебраический аналог, теория алгебраические группы, был впервые сформирован Клод Шевалле (с конца 1930-х гг.), а затем работами Арман Борель и Жак Титс.^[22]

В Чикагский университет 1960–61 гг. Год теории групп собрал вместе таких теоретиков группы, как Даниэль Горенштейн, Джон Г. Томпсон и Вальтер Фейт, заложив основу сотрудничества, которое при участии многих других математиков привело к классификация конечных простых групп, с последним шагом, сделанным Ашбахер и Смит в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические попытки своим огромным размером как по длине доказательства, так и по количеству исследователей. Продолжаются исследования, чтобы упростить доказательство этой классификации.^[23] В наши дни теория групп по-прежнему является очень активной математической отраслью, влияющей на многие другие области.^[а]

Элементарные следствия групповых аксиом

Основные факты обо всех группах, которые могут быть получены непосредственно из групповых аксиом, обычно подпадают под элементарная теория групп.^[24] Например, повторяется применения аксиомы ассоциативности показывают, что однозначность

а ⋅ б ⋅ c = (а ⋅ б) ⋅ c = а ⋅ (б ⋅ c)

обобщается более чем на три фактора. Поскольку это подразумевает, что круглые скобки могут быть вставлены в любом месте такой серии терминов, круглые скобки обычно опускаются.^[25]

Аксиомы можно ослабить, чтобы утверждать только существование левая личность и левый обратный. Оба могут быть фактически двусторонними, поэтому итоговое определение эквивалентно приведенному выше.^[26]

Уникальность элемента идентичности и обратных

Два важных следствия групповых аксиом - это уникальность элемента идентичности и уникальность обратных элементов. В группе может быть только один элемент идентичности, и каждый элемент в группе имеет ровно один обратный элемент. Таким образом, принято говорить о то личность, и то инверсия элемента.^[27]

Чтобы доказать единственность обратного элемента к а, Предположим, что а имеет две инверсии, обозначенные б и c, в группе (грамм, ⋅). потом

б	=	б ⋅ е	в качестве е является элементом идентичности
	=	б ⋅ (а ⋅ c)	потому что c является инверсией а, так е = а ⋅ c
	=	(б ⋅ а) ⋅ c	по ассоциативности, что позволяет переставлять круглые скобки
	=	е ⋅ c	поскольку б является инверсией а, т.е. б ⋅ а = е
	=	c	за е является элементом идентичности

Период, термин б в первой строке выше и c на последних равны, так как они связаны цепочкой равенств. Другими словами, есть только один обратный элемент а. Аналогично, чтобы доказать, что единичный элемент группы уникален, предположим, что грамм группа с двумя элементами идентичности е и ж. потом е = е ⋅ ж = ж, следовательно е и ж равны.

Разделение

В группах наличие обратных элементов означает, что разделение возможно: данные элементы а и б группы грамм, есть ровно одно решение Икс в грамм к уравнение Икс ⋅ а = б, а именно б ⋅ а⁻¹.^[27] Фактически у нас есть

(б ⋅ а⁻¹) ⋅ а = б ⋅ (а⁻¹ ⋅ а) = б ⋅ е = б.

Уникальность получается путем умножения двух частей уравнения Икс ⋅ а = б к а⁻¹. Элемент б ⋅ а⁻¹, часто обозначаемый б / а, называется правое частное из б к а, или результат правое деление из б к а.

Точно так же есть ровно одно решение у в грамм к уравнению а ⋅ у = б, а именно у = а⁻¹ ⋅ б. Это решение является левое частное из б к а, и иногда обозначается а б.

В целом б / а и а б может быть другим, но, если групповая операция коммутативный (то есть, если группа абелевский ), они равны. В этом случае групповая операция часто обозначается как добавление, и один говорит о вычитание и разница вместо деления и частного.

Следствием этого является то, что умножение на элемент группы грамм это биекция. В частности, если грамм является элементом группы грамм, то функция из грамм себе, который отображает час ∈ грамм к грамм ⋅ час это биекция. Эта функция называется оставленный перевод к грамм . Точно так же правильный перевод к грамм это биекция от грамм себе, что отображает час к час ⋅ грамм. Если грамм абелев, левый и правый перевод элемента группы одинаковы.

Базовые концепты

В следующих разделах используется математические символы Такие как Икс = {Икс, у, z} для обозначения набор Икс содержащий элементы Икс, у, и z, или альтернативно Икс ∈ Икс повторить это Икс является элементом Икс. Обозначение ж : Икс → Y средства ж это функция присвоение каждому элементу Икс элемент Y.

Чтобы понять группы за пределами уровня простых символических манипуляций, как указано выше, необходимо использовать больше структурных концепций.^[c] В основе всех следующих понятий лежит концептуальный принцип: чтобы воспользоваться структурой, предлагаемой группами (которая не имеет «бесструктурных» наборов), конструкции, относящиеся к группам, должны быть совместимый с групповой операцией. Эта совместимость по-разному проявляется в следующих понятиях. Например, группы могут быть связаны друг с другом через функции, называемые гомоморфизмами групп. Согласно упомянутому принципу от них требуется строгое соблюдение групповых структур. Структуру групп также можно понять, разбив их на части, называемые подгруппами и факторгруппами.Принцип «сохранения структур» - постоянно повторяющаяся тема в математике - это пример работы в категория, в этом случае категория групп.^[28]

Групповые гомоморфизмы

Групповые гомоморфизмы^[грамм] - функции, сохраняющие структуру группы. Функция а: грамм → ЧАС между двумя группами (грамм, ⋅) и (ЧАС, ∗) называется гомоморфизм если уравнение

а(грамм ⋅ k) = а(грамм) ∗ а(k)

выполняется для всех элементов грамм, k в грамм. Другими словами, результат будет таким же при выполнении групповой операции после или до применения карты. а. Это требование гарантирует, что а(1_грамм) = 1_ЧАС, а также а(грамм)⁻¹ = а(грамм⁻¹) для всех грамм в грамм. Таким образом, гомоморфизм группы уважает всю структуру грамм обеспечивается аксиомами группы.^[29]

Две группы грамм и ЧАС называются изоморфный если существуют гомоморфизмы групп а: грамм → ЧАС и б: ЧАС → грамм, так что применяя две функции один за другим в каждом из двух возможных порядков дает функции идентичности из грамм и ЧАС. То есть, а(б(час)) = час и б(а(грамм)) = грамм для любого грамм в грамм и час в ЧАС. С абстрактной точки зрения изоморфные группы несут одинаковую информацию. Например, доказывая, что грамм ⋅ грамм = 1_грамм для какого-то элемента грамм из грамм является эквивалент чтобы доказать, что а(грамм) ∗ а(грамм) = 1_ЧАС, потому что применяя а к первому равенству дает второе, и применяя б второму возвращает первое.

Подгруппы

Неофициально подгруппа это группа ЧАС содержится в более крупном, грамм.^[30] Конкретно, элемент идентичности грамм содержится в ЧАС, и когда час₁ и час₂ находятся в ЧАС, то так час₁ ⋅ час₂ и час₁⁻¹, поэтому элементы ЧАС, оборудованный групповой работой на грамм ограниченный ЧАС, действительно образуют группу.

В приведенном выше примере идентичность и вращения составляют подгруппу р = {id, r₁, р₂, р₃}, выделено красным в таблице групп выше: любые два поворота, составленные по-прежнему, являются вращением, и вращение может быть отменено (т.е. является обратным) дополнительными вращениями на 270 ° для 90 °, 180 ° для 180 ° и 90 ° на 270 ° (обратите внимание, что вращение в обратном направлении не определено). В подгруппа это необходимое и достаточное условие для непустого подмножества ЧАС группы грамм быть подгруппой: достаточно проверить, что грамм⁻¹час ∈ ЧАС для всех элементов грамм, час ∈ ЧАС. Зная подгруппы важно для понимания группы в целом.^[d]

Учитывая любое подмножество S группы грамм, подгруппа, порожденная S состоит из изделий из элементов S и их обратные. Это наименьшая подгруппа группы грамм содержащий S.^[31] Во вводном примере выше подгруппа, порожденная r₂ и е_v состоит из этих двух элементов, идентификатора элемента идентификации и ж_час = f_v ⋅ г₂. Опять же, это подгруппа, потому что объединение любых двух из этих четырех элементов или их обратных (которые в данном конкретном случае являются теми же элементами) дает элемент этой подгруппы.

Cosets

Во многих ситуациях желательно рассматривать два элемента группы одинаковыми, если они отличаются элементом данной подгруппы. Например, в D₄ выше, после того, как отражение выполнено, квадрат никогда не вернется к r₂ конфигурации, просто применяя операции вращения (и никаких дальнейших отражений), то есть операции вращения не имеют отношения к вопросу, было ли выполнено отражение. Классы смежных классов используются для формализации этого понимания: подгруппа ЧАС определяет левый и правый смежные классы, которые можно рассматривать как переводы ЧАС произвольными элементами группы грамм. В символическом выражении оставили и верно классы ЧАС содержащий грамм находятся

gH = {грамм ⋅ час : час ∈ ЧАС} и Hg = {час ⋅ грамм : час ∈ ЧАС}, соответственно.^[32]

Левые смежные классы любой подгруппы ЧАС сформировать раздел из грамм; это союз всех левых смежных классов равно грамм и два левых смежных класса либо равны, либо имеют пустой пересечение.^[33] Первый случай грамм₁ЧАС = грамм₂ЧАС случается именно когда грамм₁⁻¹ ⋅ грамм₂ ∈ ЧАС, т.е. если два элемента отличаются на элемент ЧАС. Аналогичные соображения применимы к правым смежным классам ЧАС. Левый и правый смежные классы ЧАС могут быть или не быть равными. Если они есть, т.е. для всех грамм в грамм, gH = Hg, тогда ЧАС считается нормальная подгруппа.

В D₄, вводная группа симметрии, левые классы смежности gR подгруппы р состоящие из вращений равны р, если грамм является элементом р сам по себе или иначе равный U = f_cр = {f_c, f_v, f_d, f_час} (выделено зеленым). Подгруппа р тоже нормально, потому что ж_cр = U = рж_c и аналогично для любого элемента, кроме f_c. (На самом деле, в случае D₄, заметим, что все такие смежные классы равны, так что ж_часр = f_vр = f_dр = f_cр.)

Факторные группы

В некоторых ситуациях набор смежных классов подгруппы может быть наделен групповым законом, дающим факторгруппа или же факторная группа. Для того, чтобы это было возможно, подгруппа должна быть нормальный. Для любой нормальной подгруппы N, фактор-группа определяется формулой

грамм / N = {gN, грамм ∈ грамм}, "грамм по модулю N".^[34]

Этот набор наследует групповую операцию (иногда называемую умножением смежных классов или сложением смежных классов) от исходной группы. грамм: (gN) ⋅ (hN) = (gh)N для всех грамм и час в грамм. Это определение мотивировано идеей (которая сама по себе является примером общих структурных соображений, изложенных выше), что карта грамм → грамм / N что ассоциируется с любым элементом грамм его соседи gN - гомоморфизм групп, или из общих абстрактных соображений, называемых универсальные свойства. Косет eN = N служит идентичностью в этой группе, а противоположность gN в фактор-группе (gN)⁻¹ = (грамм⁻¹)N.^[e]

Групповая таблица фактор-группы D₄ / р
⋅	р	U
р	р	U
U	U	р

Элементы фактор-группы D₄ / р находятся р сам, который представляет личность, и U = f_vр. Групповая операция над частным показана справа. Например, U ⋅ U = f_vр ⋅ f_vр = (f_v ⋅ f_v)р = р. Обе подгруппы р = {id, r₁, р₂, р₃}, а также соответствующий фактор абелевы, тогда как D₄ не абелева. Создание больших групп меньшими, такими как D₄ из своей подгруппы р и частное D₄ / р абстрагируется понятием, называемым полупрямой продукт.

Факторные группы и подгруппы вместе образуют способ описания каждой группы ее презентация: любая группа является фактором свободная группа над генераторы группы, факторизованной по подгруппе связи. Группа диэдра D₄, например, могут быть созданы двумя элементами р и ж (Например, р = г₁, правое вращение и ж = f_v вертикальное (или любое другое) отражение), что означает, что каждая симметрия квадрата является конечной композицией этих двух симметрий или их обратных. Вместе с отношениями

р ⁴ = ж ² = (р ⋅ ж)² = 1,^[35]

группа полностью описана. Презентация группы также может использоваться для построения Граф Кэли, устройство, используемое для графического захвата дискретные группы.

Под- и факторгруппы связаны следующим образом: подмножество ЧАС из грамм можно рассматривать как инъективный карта ЧАС → грамм, т.е. любой элемент цели имеет не более одного элемент, который ему соответствует. Аналогом инъективных карт являются сюръективный карты (на которые отображается каждый элемент цели), например каноническая карта грамм → грамм / N.^[y] Интерпретация подгруппы и частных в свете этих гомоморфизмов подчеркивает структурную концепцию, присущую этим определениям, упомянутым во введении. В общем случае гомоморфизмы не являются ни инъективными, ни сюръективными. Ядро и изображение гомоморфизмов групп и первая теорема об изоморфизме обратиться к этому явлению.

Примеры и приложения

Периодический узор обоев порождает группа обоев.

Основная группа плоскости без точки (жирный шрифт) состоит из петель вокруг отсутствующей точки. Эта группа изоморфна целым числам.

Примеров и приложений групп предостаточно. Отправной точкой является группа Z целых чисел со сложением как групповой операцией, введенной выше. Если вместо сложения умножение считается, получаем мультипликативные группы. Эти группы являются предшественниками важных построений в абстрактная алгебра.

Группы также применяются во многих других математических областях. Математические объекты часто исследуются ассоциация группы к ним и изучение свойств соответствующих групп. Например, Анри Пуанкаре основал то, что сейчас называется алгебраическая топология путем введения фундаментальная группа.^[36] Посредством этой связи топологические свойства Такие как близость и непрерывность перевести в свойства групп.^[я] Например, элементы основной группы представлены петлями. На втором изображении справа показаны петли на плоскости без точки. Синяя петля считается нуль-гомотопный (и, следовательно, не имеет значения), потому что это может быть постоянно сокращается в точку. Наличие отверстия предотвращает сжатие оранжевой петли до острия. Фундаментальная группа плоскости с удаленной точкой оказывается бесконечной циклической, порожденной оранжевой петлей (или любой другой петлей обмотка один раз вокруг отверстия). Таким образом, основная группа обнаруживает дыру.

В более поздних приложениях влияние также было обращено, чтобы мотивировать геометрические построения теоретико-групповым фоном.^[j] В том же духе, геометрическая теория групп использует геометрические концепции, например, при изучении гиперболические группы.^[37] Другие отрасли, в которых решающим образом применяются группы, включают: алгебраическая геометрия и теория чисел.^[38]

В дополнение к вышеуказанным теоретическим приложениям существует множество практических приложений групп. Криптография основан на сочетании подхода абстрактной теории групп с алгоритмический знания, полученные в вычислительная теория групп, в частности, при реализации для конечных групп.^[39] Приложения теории групп не ограничиваются математикой; науки, такие как физика, химия и Информатика извлечь выгоду из концепции.

Числа

Многие системы счисления, такие как целые числа и рациональные числа, имеют естественно заданную групповую структуру. В некоторых случаях, например, с рациональными числами, операции сложения и умножения приводят к образованию групповых структур. Такие системы счисления являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля. Дальше абстрактная алгебраическая такие концепции, как модули, векторные пространства и алгебры также образуют группы.

Целые числа

Группа целых чисел ${displaystyle mathbb {Z}}$ при добавлении обозначено ${displaystyle left (mathbb {Z}, + ight)}$ , было описано выше. Целые числа с операцией умножение вместо добавления ${displaystyle left (mathbb {Z}, cdot ight)}$ делать нет сформировать группу. Аксиомы замыкания, ассоциативности и тождества выполнены, но обратных не существует: например, а = 2 целое число, но единственное решение уравнения а · б = 1 в этом случае б = 1/2, которое является рациональным числом, но не целым. Следовательно, не каждый элемент ${displaystyle mathbb {Z}}$ имеет (мультипликативный) обратный.^[k]

Рационал

Желание существования мультипликативных обратных предлагает рассмотреть фракции

{displaystyle {frac {a} {b}}.}

Доли целых чисел (с б ненулевые) известны как рациональное число.^[l] Множество всех таких неприводимых дробей обычно обозначают ${displaystyle mathbb {Q}}$ . Есть еще небольшое препятствие для ${displaystyle left (mathbb {Q}, cdot ight)}$ , рациональные числа с умножением, будучи группой: потому что рациональное число 0 не имеет мультипликативного обратного (т. е. нет Икс такой, что Икс · 0 = 1), ${displaystyle left (mathbb {Q}, cdot ight)}$ все еще не группа.

Однако набор всех ненулевой рациональное число ${displaystyle mathbb {Q} setminus left {0ight} = left {qin mathbb {Q} mid qeq 0ight}}$ действительно образует абелеву группу при умножении, обычно обозначаемую ${displaystyle mathbb {Q} ^ {*}}$ .^[м] Аксиомы ассоциативности и идентичности следуют из свойств целых чисел. Требование закрытия все еще остается в силе после удаления нуля, потому что произведение двух ненулевых рациональных чисел никогда не равно нулю. Наконец, обратное а/б является б/а, поэтому аксиома обратного элемента выполняется.

Рациональные числа (включая 0) также образуют группу при сложении. Переплетение операций сложения и умножения дает более сложные структуры, называемые кольца и - если разделение возможно, например, в ${displaystyle mathbb {Q}}$ —поля, занимающие центральное место в абстрактная алгебра. Следовательно, теоретические аргументы групп лежат в основе некоторых частей теории этих сущностей.^[n]

Модульная арифметика

Часы на часах образуют группу, которая использует сложение по модулю 12. Здесь 9 + 4 = 1.

В модульная арифметика, складываются два целых числа, а затем сумма делится на положительное целое число, называемое модуль. Результатом модульного дополнения является остаток этого подразделения. Для любого модуля п, набор целых чисел от 0 до п − 1 образует группу при модульном сложении: инверсия любого элемента а является п − а, а 0 - единичный элемент. Это знакомо по добавлению часов на лицевой стороне Часы: если часовая стрелка находится на 9 и перемещена на 4 часа вперед, она заканчивается на 1, как показано справа. Это выражается в том, что 9 + 4 равно 1 "по модулю 12" или, в символах,

9 + 4 ≡ 1 по модулю 12.

Группа целых чисел по модулю п написано ${displaystyle mathbb {Z} _ {n}}$ или же ${displaystyle mathbb {Z} / nmathbb {Z}}$ .

Для любого простое число п, есть также мультипликативная группа целых чисел по модулю п.^[40] Его элементами являются целые числа от 1 до п − 1. Групповая операция - это умножение по модулю п. То есть обычный товар делится на п а остаток от этого деления является результатом модульного умножения. Например, если п = 5, есть четыре элемента группы 1, 2, 3, 4. В этой группе 4 · 4 = 1, потому что обычное произведение 16 эквивалентно 1, которое при делении на 5 дает остаток 1. на 5 делений 16 − 1 = 15, обозначенный

16 ≡ 1 (мод 5).

Первобытность п гарантирует, что произведение двух целых чисел, ни одно из которых не делится на п не делится на п либо, следовательно, указанное множество классов замкнуто относительно умножения.^[o] Единичный элемент равен 1, как обычно для мультипликативной группы, а ассоциативность следует из соответствующего свойства целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы с учетом целого числа а не делится на п, существует целое число б такой, что

а · б ≡ 1 (мод п), т.е. п разделяет разницу а · б − 1.

Обратное б можно найти с помощью Личность Безу и тот факт, что наибольший общий делитель gcd (а, п) равно 1.^[41] В случае п = 5 выше, обратное 4 равно 4, а обратное 3 равно 2, так как 3 · 2 = 6 ≡ 1 (мод. 5). Следовательно, все аксиомы группы выполнены. Собственно этот пример похож на ${displaystyle left (mathbb {Q} setminus left {0ight}, cdot ight)}$ выше: он состоит именно из тех элементов в ${displaystyle mathbb {Z} / pmathbb {Z}}$ которые имеют мультипликативный обратный.^[42] Эти группы обозначаются F_п^×. Они имеют решающее значение для криптография с открытым ключом.^[п]

Циклические группы

Шестые комплексные корни из единицы образуют циклическую группу. z примитивный элемент, но z² нет, потому что нечетные степени z не сила z².

А циклическая группа группа, все элементы которой полномочия конкретного элемента а.^[43] В мультипликативной записи элементами группы являются:

..., а⁻³, а⁻², а⁻¹, а⁰ = е, а, а², а³, ...,

куда а² средства а ⋅ а, и а⁻³ означает а⁻¹ ⋅ а⁻¹ ⋅ а⁻¹ = (а ⋅ а ⋅ а)⁻¹ и Т. Д.^[час] Такой элемент а называется генератором или примитивный элемент группы. В аддитивной нотации требование к элементу быть примитивным состоит в том, чтобы каждый элемент группы мог быть записан как

..., −а−а, −а, 0, а, а+а, ...

В группах Z/пZ Введенный выше элемент 1 примитивен, поэтому эти группы циклические. В самом деле, каждый элемент можно выразить в виде суммы, все члены которой равны 1. Любая циклическая группа с п элементов изоморфна этой группе. Второй пример циклических групп - это группа п-го комплексные корни единства, данный сложные числа z удовлетворение z^п = 1. Эти числа можно представить в виде вершин на регулярной п-угольник, как показано синим справа для п = 6. Групповая операция - это умножение комплексных чисел. На картинке умножение на z соответствует против часовой стрелки поворот на 60 °.^[44] Используя некоторые теория поля, группа F_п^× можно показать как циклический: например, если п = 5, 3 является образующей, поскольку 3¹ = 3, 3² = 9 ≡ 4, 3³ ≡ 2, и 3⁴ ≡ 1.

Некоторые циклические группы имеют бесконечное количество элементов. В этих группах для каждого ненулевого элемента а, все силы а различны; несмотря на название «циклическая группа», силы элементов не меняются. Бесконечная циклическая группа изоморфна (Z, +), группа целых чисел при сложении, введенном выше.^[45] Как эти два прототипа абелевы, так и любая циклическая группа.

Изучение конечно порожденных абелевых групп достаточно зрелое, в том числе основная теорема о конечно порожденных абелевых группах; и отражая это положение дел, многие связанные с группами понятия, такие как центр и коммутатор, описывают степень, в которой данная группа не абелева.^[46]

Группы симметрии

Группы симметрии группы, состоящие из симметрии заданных математических объектов - будь они геометрической природы, такой как вводная группа симметрии квадрата, или алгебраической природы, такой как полиномиальные уравнения и их решения.^[47] Концептуально теорию групп можно рассматривать как исследование симметрии.^[т] Симметрии в математике значительно упростить изучение геометрический или же аналитические объекты. Говорят, что группа действовать на другом математическом объекте Икс если каждый элемент группы может быть связан с некоторой операцией на Икс и композиция этих операций подчиняется групповому закону. В крайнем правом примере ниже элемент седьмого порядка (2,3,7) треугольная группа действует на мозаику, переставляя выделенные искривленные треугольники (и другие тоже). Групповым действием шаблон группы связан со структурой объекта, над которым действует.

Вращения и отражения образуют группу симметрии большой икосаэдр.

В химических областях, таких как кристаллография, космические группы и точечные группы описывать симметрии молекул и симметрии кристаллов. Эти симметрии лежат в основе химического и физического поведения этих систем, а теория групп позволяет упростить квантово-механический анализ этих свойств.^[48] Например, теория групп используется, чтобы показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями не могут происходить просто из-за симметрии задействованных состояний.

Группы не только полезны для оценки последствий симметрии в молекулах, но, что удивительно, они также предсказывают, что молекулы иногда могут изменять симметрию. В Эффект Яна-Теллера является искажением молекулы высокой симметрии, когда она принимает конкретное основное состояние более низкой симметрии из набора возможных основных состояний, которые связаны друг с другом операциями симметрии молекулы.^[49]^[50]

Точно так же теория групп помогает предсказать изменения физических свойств, которые происходят, когда материал подвергается воздействию фаза перехода, например, от кубической до тетраэдрической кристаллической формы. Примером является сегнетоэлектрик материалы, в которых переход от параэлектрического к сегнетоэлектрическому состоянию происходит на Температура Кюри и связано с переходом из высокосимметричного параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическое состояние с более низкой симметрией, сопровождающееся так называемым мягким фонон мода, колебательная мода решетки, которая переходит на нулевую частоту при переходе.^[51]

Такой спонтанное нарушение симметрии нашла дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где его появление связано с появлением Бозоны Голдстоуна.


Бакминстерфуллерен отображает икосаэдрическая симметрия, хотя двойные связи уменьшают это до пиритоэдрическая симметрия.	Аммиак, N ЧАС₃. Его группа симметрии имеет порядок 6, вызванный поворотом на 120 ° и отражением.	Кубан C₈ ЧАС₈ Особенности октаэдрическая симметрия.	Гексааквакоппер (II) комплексный ион, [Cu (O ЧАС₂)₆]²⁺. По сравнению с идеально симметричной формой молекула расширена по вертикали примерно на 22% (эффект Яна-Теллера).	Треугольная группа (2, 3, 7), гиперболическая группа, действует на этом черепица из гиперболический самолет.

Конечные группы симметрии, такие как Матье группы используются в теория кодирования, который, в свою очередь, применяется в исправление ошибки передаваемых данных, а в CD проигрыватели.^[52] Другое приложение дифференциальная теория Галуа, который характеризует функции, имеющие первообразные заданной формы, дающие теоретико-групповые критерии того, когда решения некоторых дифференциальные уравнения хорошо себя ведут.^[u] Геометрические свойства, которые остаются устойчивыми при групповых действиях, исследуются в (геометрический) теория инвариантов.^[53]

Общая линейная группа и теория представлений

Два векторов (левый рисунок), умноженный на матрицы (средний и правый рисунки). На среднем рисунке показано вращение по часовой стрелке на 90 °, а на самом правом рисунке - растяжение Икс-координат в 2 раза.

Матричные группы состоит из матрицы вместе с матричное умножение. В общая линейная группа GL (п, р) состоит из всех обратимый п-к-п матрицы с настоящий записи.^[54] Его подгруппы называются матричные группы или же линейные группы. Упомянутый выше пример диэдральной группы можно рассматривать как (очень маленькую) матричную группу. Еще одна важная матричная группа - это специальная ортогональная группа ТАК(п). Он описывает все возможные вращения в п размеры. Через Углы Эйлера, матрицы вращения используются в компьютерная графика.^[55]

Теория представлений является одновременно приложением концепции группы и важен для более глубокого понимания групп.^[56]^[57] Он изучает группу по ее групповые действия на других пространствах. Широкий класс групповые представления являются линейными представлениями, т.е. группа действует на векторное пространство, например, трехмерный Евклидово пространство р³. Представление грамм на п-размерный вещественное векторное пространство - это просто гомоморфизм групп

ρ: грамм → GL (п, р)

от группы к полной линейной группе. Таким образом, групповая операция, которую можно дать абстрактно, трансформируется в умножение матриц, делая ее доступной для явных вычислений.^[w]

При групповом действии это дает дополнительные возможности для изучения объекта, на который воздействуют.^[Икс] С другой стороны, он также дает информацию о группе. Представления групп являются организующим принципом в теории конечных групп, групп Ли, алгебраические группы и топологические группы, особенно (локально) компактные группы.^[56]^[58]

Группы Галуа

Группы Галуа были разработаны, чтобы помочь решить полиномиальные уравнения захватив их особенности симметрии.^[59]^[60] Например, решения квадратное уровненеие топор² + bx + c = 0 даны

{displaystyle x = {frac {-bpm {sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}

Замена «+» и «-» в выражении, т.е. перестановка двух решений уравнения, может рассматриваться как (очень простая) групповая операция. Подобные формулы известны для кубический и уравнения четвертой степени, но делать нет существуют вообще для степень 5 и выше.^[61] Абстрактные свойства групп Галуа, связанных с многочленами (в частности, их разрешимость ) дают критерий для многочленов, все решения которых выражаются радикалами, т. е. решения, выражаемые только с помощью сложения, умножения и корни аналогично формуле выше.^[62]

Проблему можно решить, перейдя на теория поля и учитывая поле расщепления полинома. Современное Теория Галуа обобщает указанный тип групп Галуа на расширения полей и устанавливает - через основная теорема теории Галуа - точное соотношение между полями и группами, еще раз подчеркивающее повсеместное распространение групп в математике.

Конечные группы

Группа называется конечный если у него есть конечное количество элементов. Количество элементов называется порядок группы.^[63] Важный класс - это симметричные группы S_N, группы перестановки из N буквы. Например, симметричная группа из 3 букв S₃ группа, состоящая из всех возможных порядков трех букв ABC, т.е. содержит элементы ABC, ACB, BAC, BCA, ТАКСИ, CBA, всего 6 (факториал из 3) элементов. Этот класс является фундаментальным, поскольку любую конечную группу можно выразить как подгруппу симметрической группы S_N для подходящего целого числа N, в соответствии с Теорема Кэли. Параллельно группе симметрий квадрата выше, S₃ также можно интерпретировать как группу симметрий равносторонний треугольник.

Порядок элемента а в группе грамм наименьшее положительное целое число п такой, что а^п = е, куда а^п представляет

{displaystyle underbrace {acdots a} _ {n {ext {Factors}}},}

т.е. применение операции к п копии а. (Если ⋅ представляет собой умножение, то а^п соответствует пя степень а.) В бесконечных группах такая п может не существовать, и в этом случае порядок а называется бесконечностью. Порядок элемента равен порядку циклической подгруппы, порожденной этим элементом.

Более сложные методы подсчета, например подсчет смежных классов, дают более точные утверждения о конечных группах: Теорема Лагранжа утверждает, что для конечной группы грамм порядок любой конечной подгруппы ЧАС разделяет получатель чего-то грамм. В Теоремы Силова дать частичное обратное.

В группа диэдра (обсуждалось выше) является конечной группой порядка 8. Порядок r₁ равно 4, как и порядок подгруппы р он порождает (см. выше). Порядок отражающих элементов f_v и т.д. равно 2. Оба порядка делят 8, как предсказывает теорема Лагранжа. Группы F_п^× выше есть заказ п − 1.

Классификация конечных простых групп

Математики часто стремятся к полному классификация (или список) математического понятия. В контексте конечных групп эта цель приводит к сложной математике. Согласно теореме Лагранжа конечные группы порядка п, простое число, обязательно циклические (абелевы) группы Z_п. Группы заказа п² также может быть показано, что оно абелево, и это утверждение не обобщается на порядок п³, как неабелева группа D₄ порядка 8 = 2³ выше показывает.^[64] Системы компьютерной алгебры можно использовать для составить список малых групп, но нет классификации всех конечных групп.^[q] Промежуточным шагом является классификация конечных простых групп.^[р] Нетривиальная группа называется просто если его единственными нормальными подгруппами являются тривиальная группа и сама группа.^[s] В Теорема Жордана – Гёльдера показывает конечные простые группы как строительные блоки для всех конечных групп.^[65] Список всех конечных простых групп было крупным достижением в современной теории групп. 1998 г. Медаль Филдса победитель Ричард Борчердс удалось доказать чудовищный самогон предположений, удивительной и глубокой связи между наибольшими конечными простыми спорадическая группа - "группа монстров "… И некоторые модульные функции, произведение классической комплексный анализ, и теория струн, теория должна объединить описание многих физических явлений.^[66]

Группы с дополнительной структурой

Многие группы одновременно являются группами и примерами других математических структур. На языке теория категорий, они есть группировать объекты в категория, что означает, что они являются объектами (то есть примерами другой математической структуры), которые имеют преобразования (называемые морфизмы ), которые имитируют групповые аксиомы. Например, каждая группа (как определено выше) также является набором, поэтому группа - это групповой объект в категория наборов.

Топологические группы

В единичный круг в комплексная плоскость при комплексном умножении является группой Ли и, следовательно, топологической группой. Он топологичен, поскольку комплексное умножение и деление непрерывны. Это многообразие и, следовательно, группа Ли, потому что каждое маленький кусочек, например, красная дуга на рисунке, выглядит как часть реальная линия (показано внизу).

Немного топологические пространства может быть наделен групповым законом. Чтобы групповой закон и топология хорошо переплетались, групповые операции должны быть непрерывные функции, то есть, грамм ⋅ час, и грамм⁻¹ не должно сильно меняться, если грамм и час меняются только немного. Такие группы называются топологические группы, и они являются объектами группы в категория топологических пространств.^[67] Самыми простыми примерами являются реалы р в дополнение, (р ∖ {0}, ·), и так же с любыми другими топологическое поле такой как сложные числа или же п-адические числа. Все эти группы локально компактный, так что у них есть Меры Хаара и может быть изучен через гармонический анализ. Первые предлагают абстрактный формализм инвариантных интегралы. Инвариантность означает, например, в случае действительных чисел:

{displaystyle int _ {mathbb {R}} f (x), dx = int _ {mathbb {R}} f (x + c), dx}

для любой постоянной c. Под этот режим попадают группы матриц над этими полями, как и Адель кольца и адельные алгебраические группы, которые лежат в основе теории чисел.^[68] Группы Галуа бесконечных расширений полей, таких как абсолютная группа Галуа также может быть оснащена топологией, так называемой Топология Крулля, что, в свою очередь, является центральным для обобщения описанной выше связи полей и групп с бесконечными расширениями полей.^[69] Расширенное обобщение этой идеи, адаптированное к потребностям алгебраическая геометрия, это этальная фундаментальная группа.^[70]

Группы Ли

Группы Ли (в честь Софус Ли ) группы, которые также имеют многообразие структура, т.е. это пространства выглядит локально как немного Евклидово пространство соответствующих измерение.^[71] Опять же, дополнительная структура, здесь структура многообразия, должна быть совместимой, т. Е. Отображения, соответствующие умножению и обратному, должны быть гладкий.

Стандартный пример - общая линейная группа, представленная выше: это открытое подмножество пространства всех п-к-п матриц, поскольку она задается неравенством

det (А) ≠ 0,

куда А обозначает п-к-п матрица.^[72]

Группы Ли имеют фундаментальное значение в современной физике: Теорема Нётер связывает непрерывные симметрии с сохраненные количества.^[73] Вращение, а также переводы в Космос и время основные симметрии законов механика. Их можно, например, использовать для построения простых моделей - например, наложение осевой симметрии на ситуацию обычно приводит к значительному упрощению уравнений, которые необходимо решить для обеспечения физического описания.^[v] Другой пример - Преобразования Лоренца, которые связывают измерения времени и скорости двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга. Их можно вывести чисто теоретико-групповым способом, выразив преобразования как вращательную симметрию Пространство Минковского. Последний служит - при отсутствии значительных гравитация - как модель пространство-время в специальная теория относительности.^[74] Полная группа симметрии пространства Минковского, т. Е. Включая трансляции, известна как Группа Пуанкаре. Как сказано выше, он играет ключевую роль в специальной теории относительности и, как следствие, для квантовые теории поля.^[75] Симметрии, которые зависят от местоположения занимают центральное место в современном описании физических взаимодействий с помощью калибровочная теория.^[76]

Обобщения

Групповые структуры
	Тотальность^α	Ассоциативность	Личность	Обратимость	Коммутативность
Полугрупоидный	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Единичная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Обратная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
^ α Закрытие, который используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной совокупности, хотя и по-другому.

В абстрактная алгебра, более общие структуры определяются путем ослабления некоторых аксиом, определяющих группу.^[28]^[77]^[78] Например, если исключено требование, чтобы каждый элемент имел инверсию, полученная алгебраическая структура называется моноид. В натуральные числа N (включая 0) при сложении образуют моноид, как и ненулевые целые числа при умножении (Z ∖ {0}, ·)см. выше. Существует общий метод формального добавления инверсий к элементам к любому (абелеву) моноиду, почти так же, как (Q ∖ {0}, ·) происходит от (Z ∖ {0}, ·), известный как Группа Гротендик.Группоиды похожи на группы, за исключением того, что состав а ⋅ б не нужно определять для всех а и б. Они возникают при изучении более сложных форм симметрии, часто в топологический и аналитический структуры, такие как фундаментальный группоид или же стеки. Наконец, можно обобщить любую из этих концепций, заменив бинарную операцию произвольной п-ари один (т.е. операция, принимающая п аргументы). При правильном обобщении аксиом группы это приводит к п-арная группа.^[79] В таблице приведен список из нескольких структур, обобщающих группы.

Смотрите также

Список тем теории групп

Примечания

^ а: Математические обзоры перечисляет 3224 научных работ по теории групп и ее обобщений, написанных в 2005 году.
^ аа: Классификация была объявлена в 1983 году, но в доказательстве были обнаружены пробелы. Видеть классификация конечных простых групп для дополнительной информации.
^ б: Аксиома замыкания уже подразумевается условием, что ⋅ - бинарная операция. Поэтому некоторые авторы опускают эту аксиому. Однако групповые конструкции часто начинаются с операции, определенной на надмножестве, поэтому этап закрытия является обычным в доказательствах того, что система является группой. Lang2002
^ c: См., Например, книги Лэнга (2002, 2005) и Херштейна (1996, 1975).
^ d: Однако группа не определяется своей решеткой подгрупп. См Suzuki1951.
^ е: Тот факт, что групповая операция расширяет это канонически является примером универсальная собственность.
^ f: Например, если грамм конечно, то размер любой подгруппы и любой фактор-группы делит размер грамм, согласно теореме Лагранжа.
^ грамм: Слово гомоморфизм происходит от Греческий ὁμός - то же и μορφή -структура.
^ час: Аддитивное обозначение для элементов циклической группы будет т ⋅ а, т в Z.
^ я: Увидеть Теорема Зейферта – ван Кампена для примера.
^ j: Примером является групповые когомологии группы, равной особые когомологии своего классификация пространства.
^ k: Элементы, у которых есть мультипликативные обратные, называются единицы см. язык2002, §II.1, стр. 84.
^ l: Переход от целых чисел к рациональным числам путем сложения дробей обобщается поле дробей.
^ м: То же верно для любого поле F вместо Q. См. Ланг2005, §III.1, стр. 86.
^ n: Например, конечная подгруппа мультипликативной группы поля обязательно циклическая. См. Ланг2002, Теорема IV.1.9. Представления о кручение из модуль и простые алгебры другие примеры этого принципа.
^ o: Указанное свойство является возможным определением простых чисел. Видеть главный элемент.
^ п: Например, Диффи-Хеллман протокол использует дискретный логарифм.
^ q: Известны группы порядка не более 2000. Вплоть до изоморфизма, их около 49 млрд. См Беше, Эйк и О'Брайен2001.
^ р: Разрыв между классификацией простых групп и классификацией всех групп заключается в проблема с расширением, проблема слишком сложна для решения в целом. Увидеть Ашбахера2004, п. 737.
^ s: Эквивалентно нетривиальная группа проста, если ее единственными фактор-группами являются тривиальная группа и сама группа. См. Михлера2006, Картер1989.
^ t: Более строго, каждая группа является группой симметрии некоторого график; видеть Теорема Фрухта, Frucht1939.
^ u: Точнее, монодромия действие на векторное пространство решений дифференциальных уравнений. См Куга1993 С. 105–113.
^ v: Видеть Метрика Шварцшильда для примера, где симметрия значительно снижает сложность физических систем.
^ w: Например, это имело решающее значение для классификации конечных простых групп. Увидеть Ашбахера2004.
^ Икс: См., Например, Лемма Шура за влияние группового действия на простые модули. Более сложный пример - действие абсолютная группа Галуа на этальные когомологии.
^ y: Инъективные и сюръективные отображения соответствуют мононуклеоз- и эпиморфизмы, соответственно. Они меняются местами при переходе на двойная категория.

Цитаты

^ Herstein1975, § 2, с. 26
^ зал1967, §1.1, с. 1: «Идея группы пронизывает всю математику, как чистую, так и прикладную».
^ Lang2005, Приложение. 2, стр. 360
^ Кук, Мариана Р. (2009), Математики: внешний вид внутреннего мира, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, стр. 24, ISBN 9780691139517
^ Herstein1975, §2.1, с. 27
^ Вайсштейн, Эрик В. «Элемент идентичности». MathWorld.
^ Herstein1975, §2.6, с. 54
^ Wussing2007
^ Кляйнер1986
^ Смит1906
^ Галуа1908
^ Кляйнер1986, п. 202
^ Кэли1889
^ Wussing2007, §III.2
^ Ложь1973
^ Кляйнер1986, п. 204
^ Wussing2007, §I.3.4
^ Иордания1870
^ фон Дейк1882
^ Кертис2003
^ Макки1976
^ Борель2001
^ Ашбахер2004
^ Ledermann1953, §1.2, с. 4–5
^ Ledermann1973, §I.1, с. 3
^ Lang2002, §I.2, с. 7
^ ^а ^б Lang2005, §II.1, стр. 17
^ ^а ^б Mac Lane1998
^ Lang2005, §II.3, стр. 34
^ Lang2005, §II.1, стр. 19
^ Ledermann1973, §II.12, стр. 39
^ Lang2005, §II.4, стр. 41 год
^ Lang2002, §I.2, с. 12
^ Lang2005, §II.4, стр. 45
^ Lang2002, §I.2, с. 9
^ Хэтчер2002, Глава I, стр. 30
^ Coornaert, Delzant и Papadopoulos1990
^ Например, группы классов и Группы Пикар; см. Нойкирх1999, в частности §§I.12 и I.13
^ Seress1997
^ Lang2005, Глава VII
^ Розен2000, п. 54 (теорема 2.1)
^ Lang2005, §VIII.1, стр. 292
^ Lang2005, §II.1, стр. 22
^ Lang2005, §II.2, стр. 26
^ Lang2005, §II.1, стр. 22 (пример 11)
^ Lang2002, §I.5, с. 26, 29
^ Weyl1952
^ Конвей, Дельгадо Фридрихс и Хусон и др.2001. Также Епископ1993
^ Берсукер, Исаак (2006), Эффект Яна-Теллера, Cambridge University Press, стр.2, ISBN 0-521-82212-2
^ Ян и Теллер1937
^ Голубь, Мартин Т (2003), Структура и динамика: атомный взгляд на материалы, Oxford University Press, стр. 265, ISBN 0-19-850678-3
^ валлийский1989
^ Мамфорд, Фогарти и Кирван1994
^ Класть2003
^ Койперс1999
^ ^а ^б Фултон и Харрис1991
^ Серр1977
^ Рудин1990
^ Робинсон1996, п. viii
^ Артин1998
^ Lang2002, Глава VI (конкретные примеры см., В частности, на стр. 273)
^ Lang2002, п. 292 (теорема VI.7.2)
^ Курцвейл и Штельмахер2004
^ Артин1991, Теорема 6.1.14. Также Lang2002, п. 77 для аналогичных результатов.
^ Lang2002, §I. 3, стр. 22
^ Ронан2007
^ Хусейн1966
^ Нойкирх1999
^ Шац1972
^ Milne1980
^ Warner1983
^ Борель1991
^ Гольдштейн1980
^ Вайнберг1972
^ Набер2003
^ Бекки1997
^ Денеке и Висмат2002
^ Романовска и Смит2002
^ Дудек2001

внешняя ссылка

[1] Herstein1975, § 2, с. 26

[2] зал1967, §1.1, с. 1: «Идея группы пронизывает всю математику, как чистую, так и прикладную».

[3] Lang2005, Приложение. 2, стр. 360

[4] Кук, Мариана Р. (2009), Математики: внешний вид внутреннего мира, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, стр. 24, ISBN 9780691139517

[5] Herstein1975, §2.1, с. 27

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Элемент идентичности». MathWorld.

[7] Herstein1975, §2.6, с. 54

[8] Wussing2007

[9] Кляйнер1986

[10] Смит1906

[11] Галуа1908

[12] Кляйнер1986, п. 202

[13] Кэли1889

[14] Wussing2007, §III.2

[15] Ложь1973

[16] Кляйнер1986, п. 204

[17] Wussing2007, §I.3.4

[18] Иордания1870

[19] фон Дейк1882

[20] Кертис2003

[21] Макки1976

[22] Борель2001

[23] Ашбахер2004

[24] Ledermann1953, §1.2, с. 4–5

[25] Ledermann1973, §I.1, с. 3

[26] Lang2002, §I.2, с. 7

[lang2005-27] а ^б Lang2005, §II.1, стр. 17

[MacLane-28] а ^б Mac Lane1998

[29] Lang2005, §II.3, стр. 34

[30] Lang2005, §II.1, стр. 19

[31] Ledermann1973, §II.12, стр. 39

[32] Lang2005, §II.4, стр. 41 год

[33] Lang2002, §I.2, с. 12

[34] Lang2005, §II.4, стр. 45

[35] Lang2002, §I.2, с. 9

[36] Хэтчер2002, Глава I, стр. 30

[37] Coornaert, Delzant и Papadopoulos1990

[38] Например, группы классов и Группы Пикар; см. Нойкирх1999, в частности §§I.12 и I.13

[39] Seress1997

[40] Lang2005, Глава VII

[41] Розен2000, п. 54 (теорема 2.1)

[42] Lang2005, §VIII.1, стр. 292

[43] Lang2005, §II.1, стр. 22

[44] Lang2005, §II.2, стр. 26

[45] Lang2005, §II.1, стр. 22 (пример 11)

[46] Lang2002, §I.5, с. 26, 29

[47] Weyl1952

[48] Конвей, Дельгадо Фридрихс и Хусон и др.2001. Также Епископ1993

[Bersuker-49] Берсукер, Исаак (2006), Эффект Яна-Теллера, Cambridge University Press, стр.2, ISBN 0-521-82212-2

[50] Ян и Теллер1937

[Dove-51] Голубь, Мартин Т (2003), Структура и динамика: атомный взгляд на материалы, Oxford University Press, стр. 265, ISBN 0-19-850678-3

[52] валлийский1989

[53] Мамфорд, Фогарти и Кирван1994

[54] Класть2003

[55] Койперс1999

[FultonHarris-56] а ^б Фултон и Харрис1991

[57] Серр1977

[58] Рудин1990

[59] Робинсон1996, п. viii

[60] Артин1998

[61] Lang2002, Глава VI (конкретные примеры см., В частности, на стр. 273)

[62] Lang2002, п. 292 (теорема VI.7.2)

[63] Курцвейл и Штельмахер2004

[64] Артин1991, Теорема 6.1.14. Также Lang2002, п. 77 для аналогичных результатов.

[65] Lang2002, §I. 3, стр. 22

[66] Ронан2007

[67] Хусейн1966

[68] Нойкирх1999

[69] Шац1972

[70] Milne1980

[71] Warner1983

[72] Борель1991

[73] Гольдштейн1980

[74] Вайнберг1972

[75] Набер2003

[76] Бекки1997

[77] Денеке и Висмат2002

[78] Романовска и Смит2002

[79] Дудек2001

[1]

[2]

[а]

[аа]

[3]

[4]

[5]

[b]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[c]

[28]

[грамм]

[29]

[30]

[d]

[31]

[32]

[33]

[34]

[e]

[35]

[y]

[36]

[я]

[j]

[37]

[38]

[39]

[k]

[l]

[м]

[n]

[40]

[o]

[41]

[42]

[п]

[43]

[час]

[44]

[45]

[46]

[47]

[т]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[u]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[w]

[Икс]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[q]

[р]

[s]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[v]

[74]

[75]

Группы
Основные понятия	Подгруппа Нормальная подгруппа Подгруппа коммутатора Факторная группа Групповой гомоморфизм (Полу- ) прямой продукт прямая сумма
Типы групп	Конечные группы Абелевы группы Циклические группы Бесконечная группа Простые группы Разрешаемые группы Группа симметрии Космическая группа Группа точек Группа обоев Тривиальная группа
Дискретные группы	Классификация конечных простых групп Циклическая группа Z_п Чередующаяся группа А_п Спорадические группы Группа Матье M_11..12, М_22..24 Конвей группа Co_1..3 Янко группы J₁, J₂, J₃, J₄ Группа Фишера F_22..24 Группа маленьких монстров B Группа монстров M Другие конечные группы Симметричная группа S_п Группа диэдра D_п Группа Кубик Рубика
Группы Ли	Общая линейная группа GL (n) Специальная линейная группа SL (п) Ортогональная группа На) Специальная ортогональная группа Сын) Унитарная группа ООН) Специальная унитарная группа Солнце) Симплектическая группа Sp (п) Исключительные группы Ли грамм₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Круговая группа Группа Лоренца Группа Пуанкаре Группа Quaternion
Бесконечномерные группы	Конформная группа Группа диффеоморфизмов Группа петель Квантовая группа O (∞) SU (∞) Sp (∞)
История Приложения Абстрактная алгебра

Алгебра
Области	Абстрактная алгебра Теория категорий Элементарная алгебра K-теория Коммутативная алгебра Некоммутативная алгебра Теория порядка Универсальная алгебра
Алгебраические структуры	Группа (теория ) Звенеть (теория ) Модуль (теория ) Поле Кольцо полиномов (Полиномиальный ) Составная алгебра
Линейная алгебра	Матрица (теория) Векторное пространство (Вектор ) Модуль Внутреннее пространство продукта (скалярное произведение ) Гильбертово пространство
Полилинейная алгебра	Тензорная алгебра Внешняя алгебра Симметричная алгебра Геометрическая алгебра (Мультивектор )
Списки тем	Абстрактная алгебра Алгебраические структуры Теория групп Линейная алгебра
Глоссарии	Линейная алгебра Теория поля Теория колец Теория порядка
Связанный	Математика История алгебры
Категория Математический портал Викиучебники Элементарный Линейный Абстрактный Викиверситет Линейный Абстрактный