Список малых групп - List of small groups

Следующий список в математика содержит конечные группы малых порядок вплоть до групповой изоморфизм.

Подсчитывает

Для ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ количество неизоморфных групп порядка ${\displaystyle n}$ является

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (последовательность A000001 в OEIS )

Для помеченных групп см. OEIS: A034383.

Глоссарий

Каждая группа названа по Библиотека малых групп как G_о^я, где о - порядок группы, а я это индекс группы в этом порядке.

Общие названия групп:

• Z_п: the циклическая группа порядка п (обозначение C_п также используется; он изоморфен аддитивная группа из Z/пZ).
• Dih_п: the группа диэдра порядка 2п (часто обозначение D_п или D_2п используется )
  • K₄: the Кляйн четыре группы порядка 4, как Z₂ × Z₂ и Ди₂.
• S_п: the симметричная группа степени п, содержащий п! перестановки из п элементы.
• А_п: the переменная группа степени п, содержащий даже перестановки из п элементов, порядка 1 для п = 0, 1, и заказать п! / 2 иначе.
• Dic_п или Q_4n: the дициклическая группа порядка 4п.
  • Q₈: the группа кватернионов порядка 8, также Dic₂.

Обозначения Z_п и Ди_п иметь то преимущество, что группы точек в трех измерениях C_п и D_п не имеют одинаковых обозначений. Есть еще группы изометрий чем эти два, того же абстрактного типа группы.

Обозначение г × ЧАС обозначает прямой продукт из двух групп; г^п обозначает прямое произведение группы на себя п раз. г ⋊ ЧАС обозначает полупрямой продукт где ЧАС действует на г; это также может зависеть от выбора действия ЧАС на г

Абелев и простые группы отмечены. (Для групп заказа п < 60, простые группы - это в точности циклические группы Z_п, для премьер п.) Знак равенства («=») означает изоморфизм.

Элемент идентичности в графики цикла представлен черным кружком. Самый низкий порядок, для которого граф циклов не является однозначным представлением группы, - это порядок 16.

В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не указаны. Если имеется несколько изоморфных подгрупп, количество таких подгрупп указано в скобках.

Список малых абелевых групп

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямыми произведениями; увидеть абелевы группы.Количество неизоморфных абелевых групп порядков ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ находятся

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (последовательность A000688 в OEIS )

О меченых абелевых группах см. OEIS: A034382.

Список всех абелевых групп до 31 порядка

порядок	МНЕ БЫ	гоя	Группа	Нетривиальные собственные подгруппы	Цикл график	Свойства
1	1	г1^1	Z1 = S1 = А2	–		Банальный. Циклический. Чередование. Симметричный. Элементарный.
2	2	г2^1	Z2 = S2 = Dih1	–		Просто. Симметричный. Циклический. Элементарно. (Наименьшая нетривиальная группа.)
3	3	г3^1	Z3 = А3	–		Просто. Чередование. Циклический. Элементарно.
4	4	г4^1	Z4 = Dic1	Z2		Циклический.
	5	г4^2	Z2^2 = K4 = Dih2	Z2 (3)		Элементарно. Товар. (Кляйн четыре группы. Наименьшая нециклическая группа.)
5	6	г5^1	Z5	–		Просто. Циклический. Элементарно.
6	8	г6^2	Z6 = Z3 × Z2[1]	Z3, Z2		Циклический. Товар.
7	9	г7^1	Z7	–		Просто. Циклический. Элементарно.
8	10	г8^1	Z8	Z4, Z2		Циклический.
	11	г8^2	Z4 × Z2	Z2^2, Z4 (2), Z2 (3)		Товар.
	14	г8^5	Z2^3	Z2^2 (7), Z2 (7)		Товар. Элементарно. (Неединичные элементы соответствуют точкам в Самолет Фано, то Z2 × Z2 подгруппы к строкам.)
9	15	г9^1	Z9	Z3		Циклический.
	16	г9^2	Z3^2	Z3 (4)		Элементарно. Товар.
10	18	г10^2	Z10 = Z5 × Z2	Z5, Z2		Циклический. Товар.
11	19	г11^1	Z11	–		Просто. Циклический. Элементарно.
12	21	г12^2	Z12 = Z4 × Z3	Z6, Z4, Z3, Z2		Циклический. Товар.
	24	г12^5	Z6 × Z2 = Z3 × Z2^2	Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z2^2		Товар.
13	25	г13^1	Z13	–		Просто. Циклический. Элементарно.
14	27	г14^2	Z14 = Z7 × Z2	Z7, Z2		Циклический. Товар.
15	28	г15^1	Z15 = Z5 × Z3	Z5, Z3		Циклический. Товар.
16	29	г16^1	Z16	Z8, Z4, Z2		Циклический.
	30	г16^2	Z4^2	Z2 (3), Z4 (6), Z2^2, Z4 × Z2 (3)		Товар.
	33	г16^5	Z8 × Z2	Z2 (3), Z4 (2), Z2^2, Z8 (2), Z4 × Z2		Товар.
	38	г16^10	Z4 × Z2^2	Z2 (7), Z4 (4), Z2^2 (7), Z2^3, Z4 × Z2 (6)		Товар.
	42	г16^14	Z2^4 = K4^2	Z2 (15), Z2^2 (35), Z2^3 (15)		Товар. Элементарно.
17	43	г17^1	Z17	–		Просто. Циклический. Элементарно.
18	45	г18^2	Z18 = Z9 × Z2	Z9, Z6, Z3, Z2		Циклический. Товар.
	48	г18^5	Z6 × Z3 = Z3^2 × Z2	Z6, Z3, Z2		Товар.
19	49	г19^1	Z19	–		Просто. Циклический. Элементарно.
20	51	г20^2	Z20 = Z5 × Z4	Z10, Z5, Z4, Z2		Циклический. Товар.
	54	г20^5	Z10 × Z2 = Z5 × Z2^2	Z5, Z2		Товар.
21	56	г21^2	Z21 = Z7 × Z3	Z7, Z3		Циклический. Товар.
22	58	г22^2	Z22 = Z11 × Z2	Z11, Z2		Циклический. Товар.
23	59	г23^1	Z23	–		Просто. Циклический. Элементарно.
24	61	г24^2	Z24 = Z8 × Z3	Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2		Циклический. Товар.
	68	г24^9	Z12 × Z2 = Z6 × Z4 = Z4 × Z3 × Z2	Z12, Z6, Z4, Z3, Z2		Товар.
	74	г24^15	Z6 × Z2^2 = Z3 × Z2^3	Z6, Z3, Z2		Товар.
25	75	г25^1	Z25	Z5		Циклический.
	76	г25^2	Z5^2	Z5		Товар. Элементарно.
26	78	г26^2	Z26 = Z13 × Z2	Z13, Z2		Циклический. Товар.
27	79	г27^1	Z27	Z9, Z3		Циклический.
	80	г27^2	Z9 × Z3	Z9, Z3		Товар.
	83	г27^5	Z3^3	Z3		Товар. Элементарно.
28	85	г28^2	Z28 = Z7 × Z4	Z14, Z7, Z4, Z2		Циклический. Товар.
	87	г28^4	Z14 × Z2 = Z7 × Z2^2	Z14, Z7, Z4, Z2		Товар.
29	88	г29^1	Z29	–		Просто. Циклический. Элементарно.
30	92	г30^4	Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3 = Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2	Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2		Циклический. Товар.
31	93	г31^1	Z31	–		Просто. Циклический. Элементарно.

Список малых неабелевых групп

Количество неабелевых групп по порядку подсчитывается как (последовательность A060689 в OEIS Однако многие порядки не имеют неабелевых групп. Порядки, для которых существует неабелева группа:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (последовательность A060652 в OEIS )

Список всех неабелевых групп до 31 порядка

порядок	МНЕ БЫ	гоя	Группа	Нетривиальные собственные подгруппы	Цикл график	Свойства
6	7	г6^1	Dih3 = S3 = D6	Z3, Z2 (3)		Группа диэдра, наименьшая неабелева группа, симметрическая группа, группа Фробениуса
8	12	г8^3	Dih4 = D8	Z4, Z2^2 (2), Z2 (5)		Диэдральная группа. Особенная группа. Нильпотентный.
	13	г8^4	Q8 = Dic2 = <2,2,2>[требуется разъяснение ]	Z4 (3), Z2		Группа Quaternion, Гамильтонова группа. все подгруппы нормальный без абелевой группы. Самая маленькая группа г демонстрируя, что для нормальной подгруппы ЧАС то факторгруппа г/ЧАС не обязательно изоморфна подгруппе г. Особенная группа Бинарная диэдральная группа. Нильпотентный.
10	17	г10^1	Dih5 = D10	Z5, Z2 (5)		Группа диэдра, группа Фробениуса
12	20	г12^1	Q12 = Dic3 = <3,2,2> = Z3 ⋊ Z4	Z2, Z3, Z4 (3), Z6		Бинарная группа диэдра
	22	г12^3	А4 = K4 ⋊ Z3 = (Z2 × Z2) ⋊ Z3	Z2^2, Z3 (4), Z2 (3)		Чередующаяся группа. Нет подгрупп порядка 6, хотя 6 делит его порядок. Группа Фробениуса
	23	г12^4	Dih6 = D12 = Dih3 × Z2	Z6, Ди3 (2), Z2^2 (3), Z3, Z2 (7)		Группа диэдра, произведение
14	26	г14^1	Dih7 = D14	Z7, Z2 (7)		Группа диэдра, Группа Фробениуса
16[2]	31	г16^3	г4,4 = K4 ⋊ Z4 (Z4 × Z2) ⋊ Z2	E8, Z4 × Z2 (2), Z4 (4), К4 (6), Z2 (6)		Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и группа Паули. Нильпотентный.
	32	г16^4	Z4 ⋊ Z4			Квадраты элементов не образуют подгруппы. Имеет такое же количество элементов каждого порядка, что и Q8 × Z2. Нильпотентный.
	34	г16^6	Z8 ⋊ Z2			Иногда называют модульная группа порядка 16, хотя это вводит в заблуждение, поскольку абелевы группы и Q8 × Z2 также являются модульными. Нильпотентный.
	35	г16^7	Dih8 = D16	Z8, Ди4 (2), Z2^2 (4), Z4, Z2 (9)		Группа диэдра. Нильпотентный.
	36	г16^8	QD16			Порядок 16 квазидиэдральная группа. Нильпотентный.
	37	г16^9	Q16 = Dic4 = <4,2,2>			обобщенная группа кватернионов, бинарная группа диэдра. Нильпотентный.
	39	г16^11	Dih4 × Z2	Dih4 (4), Z4 × Z2, Z2^3 (2), Z2^2 (13), Z4 (2), Z2 (11)		Товар. Нильпотентный.
	40	г16^12	Q8 × Z2			Гамильтониан, товар. Нильпотентный.
	41	г16^13	(Z4 × Z2) ⋊ Z2			В Группа Паули генерируется Матрицы Паули. Нильпотентный.
18	44	г18^1	Dih9 = D18			Группа диэдра, группа Фробениуса
	46	г18^3	S3 × Z3			Товар
	47	г18^4	(Z3 × Z3) ⋊ Z2			Группа Фробениуса
20	50	г20^1	Q20 = Dic5 = <5,2,2>			Бинарная группа диэдра
	52	г20^3	Z5 ⋊ Z4			Группа Фробениуса
	53	г20^4	Dih10 = Dih5 × Z2 = D20			Группа диэдра, произведение
21	55	г21^1	Z7 ⋊ Z3	Z7, Z3 (7)		Наименьшая неабелева группа нечетного порядка. Группа Фробениуса
22	57	г22^1	Dih11 = D22	Z11, Z2 (11)		Группа диэдра, группа Фробениуса
24	60	г24^1	Z3 ⋊ Z8			Центральное расширение S3
	62	г24^3	SL (2,3) = 2Т = Q8 ⋊ Z3			Бинарная тетраэдрическая группа
	63	г24^4	Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8			Бинарный двугранный
	64	г24^5	Z4 × S3			Товар
	65	г24^6	Dih12			Группа диэдра
	66	г24^7	Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 ⋊ Z4)			Товар
	67	г24^8	(Z6 × Z2) ⋊ Z2 = Z3 ⋊ Ди4			Двойное покрытие диэдральной группы
	69	г24^10	Dih4 × Z3			Товар. Нильпотентный.
	70	г24^11	Q8 × Z3			Товар. Нильпотентный.
	71	г24^12	S4	28 собственных нетривиальных подгрупп. 9 подгрупп, объединяющих изоморфные. Подгруппы включают S2, S3, А3, А4, D8. [3]		Симметричная группа. Не имеет нормальных Силовские подгруппы.
	72	г24^13	А4 × Z2			Товар
	73	г24^14	D12× Z2			Товар
26	77	г26^1	Dih13			Группа диэдра, группа Фробениуса
27	81	г27^3	Z3^2 ⋊ Z3			Все нетривиальные элементы имеют порядок 3. Особенная группа. Нильпотентный.
	82	г27^4	Z9 ⋊ Z3			Особенная группа. Нильпотентный.
28	84	г28^1	Z7 ⋊ Z4			Бинарная группа диэдра
	86	г28^3	Dih14			Группа диэдра, произведение
30	89	г30^1	Z5 × S3			Товар
	90	г30^2	Z3 × Ди5			Товар
	91	г30^3	Dih15			Группа диэдра, группа Фробениуса

Классифицирующие группы малого порядка

Небольшие группы высшего порядка власти п^п представлены следующим образом:

• порядок п: Единственная группа циклическая.
• порядок п²: Всего две группы, обе абелевы.
• порядок п³: Есть три абелевых группы и две неабелевы группы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка п² циклической группой порядка п. Другой - группа кватернионов для п = 2 и группа экспоненты п для п > 2.
• порядок п⁴: Классификация сложна и становится намного сложнее, чем показатель степени п увеличивается.

Большинство малых групп имеют Силовский п подгруппа п с нормальным п-дополнение N для некоторых премьер п деление порядка, поэтому его можно классифицировать с точки зрения возможных простых чисел п, п-группы п, группы N, и действия п на N. В некотором смысле это сводит классификацию этих групп к классификации п-группы. Некоторые небольшие группы, у которых нет нормального п Дополнение включает:

• Порядок 24: Симметрическая группа S₄
• Порядок 48: Бинарная октаэдрическая группа и произведение S₄ × Z₂
• Приказ 60: Переменная группа A₅.

Библиотека малых групп

Теоретическая группа система компьютерной алгебры GAP содержит «Библиотеку малых групп», которая обеспечивает доступ к описаниям малых групп заказов. Группы перечислены вплоть до изоморфизм. В настоящее время в библиотеке представлены следующие группы:^[4]

• порядка не более 2000 (кроме порядка 1024);
• порядка без кубов не более 50000 (395 703 группы);
• без квадратов;
• те из порядка п^п для п максимум 6 и п премьер;
• те порядка п⁷ для п = 3, 5, 7, 11 (907 489 групп);
• те из порядка pq^п где q^п делит 2⁸, 3⁶, 5⁵ или 7⁴ и п - произвольное простое число, отличное от q;
• те, чьи порядки разлагаются на не более чем 3 простых числа (не обязательно различных).

Он содержит подробные описания доступных групп в машиночитаемом формате.

Наименьший порядок, для которого библиотека SmallGroups не имеет информации, - 1024.

Смотрите также

• Классификация конечных простых групп
• Композиция серии
• Список конечных простых групп
• Количество групп данного заказа
• Малые латинские квадраты и квазигруппы

Заметки

1. Увидеть работающий пример, показывающий изоморфизм Z₆ = Z₃ × Z₂.
2. Дикий, Марсель. "Группы порядка шестнадцать стали проще, Американский математический ежемесячный журнал, Янв 2005 г.
3. https://groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_structure_of_symmetric_group:S4
4. Ганс Ульрих Беше Библиотека малых групп В архиве 2012-03-05 в Wayback Machine

использованная литература

• Кокстер, Х. С. М. и Мозер, В. О. Дж. (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9., Таблица 1, Порядок неабелевых групп <32.
• Холл-младший, Маршалл; Старший, Джеймс К. (1964). «Группы порядка 2^п (п ≤ 6) ». Macmillan. Г-Н  0168631. Каталог из 340 групп порядков, разделенных на 64, с таблицами определяющих отношений, констант и решетка подгрупп каждой группы.

внешние ссылки

• Конкретные группы в вики-странице Group Properties
• Группы данного порядка
• Besche, H.U .; Эйк, В .; О'Брайен, Э. "небольшая групповая библиотека". Архивировано из оригинал на 2012-03-05.
• База данных GroupNames