Изоморфизм - Isomorphism

В группа пятого корни единства при умножении изоморфна группе поворотов правильного пятиугольника при композиции.

В математика, изоморфизм это сохраняющее структуру отображение между двумя структурами одного типа, которое может быть отменено обратное отображение. Два математические структуры находятся изоморфный если между ними существует изоморфизм. Слово изоморфизм происходит от Древнегреческий: ἴσος isos "равный", и μορφή морфе «форма» или «форма».

Интерес к изоморфизмам заключается в том, что два изоморфных объекта имеют одинаковые свойства (за исключением дополнительной информации, такой как дополнительная структура или имена объектов). Таким образом, изоморфные структуры нельзя отличить только с точки зрения структуры, и их можно идентифицировать. На математическом жаргоне говорят, что два объекта одинаковый вплоть до изоморфизм.

An автоморфизм является изоморфизмом структуры самой себе. Изоморфизм двух структур - это канонический изоморфизм если существует только один изоморфизм между двумя структурами (как это имеет место для решений универсальная собственность ), или если изоморфизм намного естественнее (в некотором смысле), чем другие изоморфизмы. Например, для каждого простое число $п$ , все поля с $п$ элементы канонически изоморфны, с единственным изоморфизмом. В теоремы об изоморфизме предоставляют канонические изоморфизмы, которые не являются уникальными.

Период, термин изоморфизм в основном используется для алгебраические структуры. В этом случае отображения называются гомоморфизмы, а гомоморфизм - это изоморфизм если и только если это биективный.

В различных областях математики изоморфизмы получили специализированные названия в зависимости от типа рассматриваемой структуры. Например:

An изометрия является изоморфизмом метрические пространства.
А гомеоморфизм является изоморфизмом топологические пространства.
А диффеоморфизм является изоморфизмом пространств, снабженных дифференциальная структура обычно дифференцируемые многообразия.
А перестановка является автоморфизмом набор.
В геометрия, изоморфизмы и автоморфизмы часто называют трансформации, Например жесткие преобразования, аффинные преобразования, проективные преобразования.

Теория категорий, который можно рассматривать как формализацию концепции отображения между структурами, предоставляет язык, который можно использовать для унификации подхода к этим различным аспектам основной идеи.

Примеры

Логарифм и экспонента

Позволять ${displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$ быть мультипликативная группа из положительные действительные числа, и разреши ${displaystyle mathbb {R}}$ - аддитивная группа действительных чисел.

В функция логарифма ${displaystyle log двоеточие mathbb {R} ^ {+} o mathbb {R}}$ удовлетворяет ${displaystyle log (xy) = log x + log y}$ для всех ${displaystyle x, yin mathbb {R} ^ {+}}$ , так что это групповой гомоморфизм. В экспоненциальная функция ${displaystyle exp двоеточие mathbb {R} o mathbb {R} ^ {+}}$ удовлетворяет ${displaystyle exp (x + y) = (exp x) (exp y)}$ для всех ${displaystyle x, yin mathbb {R}}$ , значит, это тоже гомоморфизм.

Личности ${displaystyle log exp x = x}$ и ${displaystyle exp log y = y}$ покажи это ${журнал displaystyle}$ и ${displaystyle exp}$ находятся обратное друг друга. С ${журнал displaystyle}$ является гомоморфизмом, имеющим обратный, который также является гомоморфизмом, ${журнал displaystyle}$ является изоморфизмом групп.

В ${журнал displaystyle}$ функция - это изоморфизм, который переводит умножение положительных действительных чисел в сложение действительных чисел. Это средство позволяет умножать действительные числа с помощью линейка и таблица логарифмов, или используя логарифмическая линейка с логарифмической шкалой.

Целые числа по модулю 6

Рассмотрим группу ${displaystyle (mathbb {Z} _ {6}, +)}$ , целые числа от 0 до 5 с добавлением по модулю 6. Также рассмотрите группу ${displaystyle (mathbb {Z} _ {2} imes mathbb {Z} _ {3}, +)}$ , упорядоченные пары, в которых Икс координаты могут быть 0 или 1, а координаты y могут быть 0, 1 или 2, где добавление в Икс-координата по модулю 2 и сложение в у-координата по модулю 3.

Эти структуры изоморфны по сложению по следующей схеме:

(0,0) ↦ 0

(1,1) ↦ 1

(0,2) ↦ 2

(1,0) ↦ 3

(0,1) ↦ 4

(1,2) ↦ 5

или вообще (а,б) ↦ (3а + 4б) мод 6.

Например, (1,1) + (1,0) = (0,1), что переводится в другой системе как 1 + 3 = 4.

Хотя эти две группы "выглядят" по-разному, поскольку наборы содержат разные элементы, они действительно изоморфный: их структуры точно такие же. В более общем плане прямой продукт из двух циклические группы ${displaystyle mathbb {Z} _ {m}}$ и ${displaystyle mathbb {Z} _ {n}}$ изоморфен ${displaystyle (mathbb {Z} _ {mn}, +)}$ если и только если м и п находятся совмещать, согласно Китайская теорема об остатках.

Изоморфизм, сохраняющий отношения

Если один объект состоит из множества Икс с бинарное отношение R, а другой объект состоит из набора Y с бинарным отношением S, то изоморфизм из Икс к Y является биективной функцией ƒ: Икс → Y такой, что:^[1]

{displaystyle operatorname {S} (f (u), f (v)) если и только если имя оператора {R} (u, v)}

S есть рефлексивный, иррефлексивный, симметричный, антисимметричный, асимметричный, переходный, общий, трихотомический, а частичный заказ, общий заказ, в порядке, строгий слабый порядок, общий предварительный заказ (слабый порядок), отношение эквивалентности, или отношение с любыми другими специальными свойствами, если и только если R есть.

Например, R - это заказ ≤ и S порядок ${displaystyle scriptstyle sqsubseteq}$ , то изоморфизм из Икс к Y является биективной функцией ƒ: Икс → Y такой, что

{displaystyle f (u) sqsubseteq f (v) iff uleq v.}

Такой изоморфизм называется изоморфизм порядка или (реже) изотонный изоморфизм.

Если Икс = Y, то это сохраняющее отношение автоморфизм.

Приложения

В абстрактная алгебра, определены два основных изоморфизма:

Групповой изоморфизм, изоморфизм между группы
Изоморфизм колец, изоморфизм между кольца. (Изоморфизмы между поля на самом деле являются изоморфизмами колец)

Так же, как автоморфизмы из алгебраическая структура сформировать группа, изоморфизмы двух алгебр, имеющих общую структуру, образуют куча. Если позволить определенному изоморфизму идентифицировать две структуры, эта куча превращается в группу.

В математический анализ, то Преобразование Лапласа является жестким отображением изоморфизма дифференциальные уравнения в более легкий алгебраический уравнения.

В теория графов, изоморфизм двух графов грамм и ЧАС это биективный карта ж из вершин грамм в вершины ЧАС который сохраняет "структуру ребер" в том смысле, что есть ребро из вершина ты к вершине v в грамм тогда и только тогда, когда есть ребро из (ты) к ƒ (v) в ЧАС. Видеть изоморфизм графов.

В математическом анализе изоморфизм между двумя Гильбертовы пространства - сложение, скалярное умножение и скалярное произведение с сохранением взаимно однозначности.

В ранних теориях логический атомизм, формальная связь между фактами и истинными предложениями была теоретизирована Бертран Рассел и Людвиг Витгенштейн быть изоморфным. Пример такого мышления можно найти в книге Рассела. Введение в математическую философию.

В кибернетика, то хороший регулятор или формулируется теорема Конанта – Эшби: «Каждый хороший регулятор системы должен быть моделью этой системы». Независимо от того, регулируется он или саморегулируется, требуется изоморфизм между регулирующей и обрабатывающей частями системы.

Теоретический взгляд на категории

В теория категорий, учитывая категория C, изоморфизм - это морфизм $ж : а \to б$ имеющий обратный морфизм $грамм : б \to а$ , то есть, $фг = 1 б$ и $gf = 1 а$ . Например, биективное линейная карта это изоморфизм между векторные пространства, и биективное непрерывная функция обратное к которому также непрерывно, является изоморфизмом между топологические пространства, называется гомеоморфизм.

Изоморфизм против биективного морфизма

В конкретная категория (то есть категория, объекты которой являются множествами (возможно, с дополнительной структурой) и морфизмы которой являются функциями, сохраняющими структуру), например, категория топологических пространств или категории алгебраических объектов, таких как группы, кольца и модули, изоморфизм должен быть биективным на базовые наборы. В алгебраических категориях (в частности, в категориях многообразия в смысле универсальной алгебры ), изоморфизм совпадает с гомоморфизмом, который биективен на основных множествах. Однако существуют конкретные категории, в которых биективные морфизмы не обязательно являются изоморфизмами (например, категория топологических пространств).

Отношение к равенству

В некоторых областях математики, в частности в теории категорий, полезно различать равенство с одной стороны и изоморфизм с другой.^[2] Равенство - это когда два объекта абсолютно одинаковы, и все, что верно для одного объекта, верно для другого, в то время как изоморфизм подразумевает, что все, что верно для обозначенной части структуры одного объекта, верно для другого. Например, наборы

{displaystyle A = {xin mathbb {Z} mid x ^ {2} <2}}

и

{displaystyle B = {- 1,0,1},}

находятся равный; они просто разные представления - первое и содержательный один в обозначение конструктора наборов ), а второй экстенсиональный (явным перечислением) - того же подмножества целых чисел. Напротив, множества {А,B,C} и {1,2,3} не равный- в первом элементы являются буквами, а во втором - числами. Они изоморфны как множества, поскольку конечные множества определяются с точностью до изоморфизма по их мощность (количество элементов), и оба они имеют три элемента, но есть много вариантов изоморфизма - один изоморфизм

{displaystyle {ext {A}} mapsto 1, {ext {B}} mapsto 2, {ext {C}} mapsto 3,}

в то время как другой

{displaystyle {ext {A}} mapsto 3, {ext {B}} mapsto 2, {ext {C}} mapsto 1,}

и ни один изоморфизм по сути не лучше любого другого.^{[примечание 1]}^{[заметка 2]} С этой точки зрения и в этом смысле эти два множества не равны, потому что их нельзя рассматривать. идентичный: между ними можно выбрать изоморфизм, но это более слабое утверждение, чем тождество, и справедливо только в контексте выбранного изоморфизма.

Иногда изоморфизмы могут показаться очевидными и убедительными, но все же не являются равенствами. В качестве простого примера генеалогический отношения между Джо, Джон, и Бобби Кеннеди в прямом смысле слова такие же, как и Американский футбол защитники в семье Мэннинг: Арчи, Пейтон, и Эли. Пары отец-сын и пары старший-брат-младший-брат полностью соответствуют друг другу. Это сходство между двумя семейными структурами иллюстрирует происхождение слова изоморфизм (Греческий iso-, «такой же» и -превращаться, «форма» или «форма»). Но поскольку Кеннеди - это не те люди, что и Мэннинги, две генеалогические структуры просто изоморфны и не равны.

Другой пример более формальный и более прямо иллюстрирует мотивацию отличать равенство от изоморфизма: различие между конечномерное векторное пространство V и это двойное пространство V* = {φ: V → K} линейных отображений из V в его поле скаляров KЭти пространства имеют ту же размерность и, следовательно, изоморфны как абстрактные векторные пространства (поскольку алгебраически векторные пространства классифицируются по размерности, так же как множества классифицируются по мощности), но нет «естественного» выбора изоморфизма. ${displaystyle scriptstyle V, {overset {sim} {o}}, V ^ {*}}$ .Если выбрать основу для V, то это дает изоморфизм: для всех ты. v ∈ V,

{displaystyle v {overset {sim} {mapsto}} phi _ {v} в V ^ {*} quad {ext {такой, что}} quad phi _ {v} (u) = v ^ {mathrm {T}} u }

.

Это соответствует преобразованию вектор столбца (элемент V) к вектор строки (элемент V*) к транспонировать, но другой выбор базиса дает другой изоморфизм: изоморфизм «зависит от выбора базиса». Более тонко, там является карта из векторного пространства V к его двойной двойной V** = { Икс: V* → K}, не зависящие от выбора основы: Для всех v ∈ V и φ ∈ V*,

{displaystyle v {overset {sim} {mapsto}} x_ {v} в V ^ {**} quad {ext {такой, что}} quad x_ {v} (phi) = phi (v)}

.

Это приводит к третьему понятию: естественный изоморфизм: пока V и V** - разные множества, между ними существует «естественный» выбор изоморфизма. Это интуитивное понятие «изоморфизм, не зависящий от произвольного выбора» формализовано в понятии естественная трансформация; вкратце, что можно последовательно идентифицировать или, в более общем смысле, отображать конечномерное векторное пространство в его двойное двойственное, ${displaystyle scriptstyle V, {overset {sim} {o}}, V ^ {**}}$ , за любой векторном пространстве согласованным образом. Формирование этой интуиции является мотивацией для развития теории категорий.

Однако есть случай, когда различие между естественным изоморфизмом и равенством обычно не проводится. То есть для объектов, которые могут характеризоваться универсальная собственность. Фактически, существует уникальный изоморфизм, обязательно естественный, между двумя объектами, обладающими одним и тем же универсальным свойством. Типичный пример - набор действительные числа, который может быть определен через бесконечное десятичное разложение, бесконечное двоичное разложение, Последовательности Коши, Дедекинд сокращает и многие другие способы. Формально эти конструкции определяют разные объекты, которые являются решениями с одним и тем же универсальным свойством. Поскольку эти объекты обладают одинаковыми свойствами, можно забыть о способе построения и считать их равными. Это то, что делают все, когда говорят о "то набор действительных чисел ". То же самое происходит с факторпространства: они обычно строятся как наборы классы эквивалентности. Однако обращение к набору наборов может быть нелогичным, и поэтому фактор-пространства обычно рассматриваются как пара из набора неопределенных объектов, часто называемых «точками», и сюръективного отображения на это множество.

Если кто-то хочет различать произвольный изоморфизм (тот, который зависит от выбора) и естественный изоморфизм (тот, который может быть выполнен последовательно), он может написать $\approx$ для неестественный изоморфизм и $≅$ для естественного изоморфизма, как в $V \approx V *$ и $V ≅ V **.$ Это соглашение не соблюдается повсеместно, и авторы, желающие проводить различие между неестественными изоморфизмами и естественными изоморфизмами, обычно явно указывают это различие.

Обычно, говоря, что два объекта равный зарезервирован для случаев, когда существует понятие большего (окружающего) пространства, в котором эти объекты живут. Чаще всего говорят о равенстве двух подмножеств данного набора (как в приведенном выше примере целочисленного набора), но не двух объектов абстрактно представлено. Например, двумерная единичная сфера в трехмерном пространстве

{displaystyle S ^ {2}: = {(x, y, z) в mathbb {R} ^ {3} mid x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}}

и Сфера Римана

{displaystyle {widehat {mathbb {C}}}}

который можно представить как одноточечная компактификация комплексной плоскости $C \cup {\infty$ } или же как комплекс проективная линия (факторное пространство)

{displaystyle mathbf {P} _ {mathbb {C}} ^ {1}: = (mathbb {C} ^ {2} setminus {(0,0)}) / (mathbb {C} ^ {*})}

три разных описания математического объекта, все изоморфные, но не равный потому что они не все подмножества одного пространства: первое - подмножество р³, второй $C ≅ р$ ²^{[заметка 3]} плюс дополнительный балл, а третий - подчастный из C²

В контексте теории категорий объекты обычно в лучшем случае изоморфны - действительно, мотивация для развития теории категорий показывала, что различные конструкции в теория гомологии дали эквивалентные (изоморфные) группы. Данные карты между двумя объектами Икс и Yоднако возникает вопрос, равны они или нет (они оба являются элементами множества Hom (Икс, Y), поэтому равенство является правильным соотношением), особенно в коммутативные диаграммы.

Смотрите также

Примечания

^ А, B, C имеют обычный порядок, а именно алфавитный порядок, и аналогично 1, 2, 3 имеют порядок от целых чисел, и, таким образом, один конкретный изоморфизм является «естественным», а именно
${displaystyle {ext {A}} mapsto 1, {ext {B}} mapsto 2, {ext {C}} mapsto 3}$ .
Более формально, как наборы они изоморфны, но не изоморфны естественным образом (есть несколько вариантов изоморфизма), а как заказанные наборы они естественно изоморфны (имеется единственный изоморфизм, указанный выше), поскольку конечные общие заказы однозначно определяются с точностью до единственного изоморфизма соотношением мощность Эту интуицию можно формализовать, сказав, что любые две конечные полностью упорядоченные наборы одинаковой мощности имеют естественный изоморфизм, который посылает наименьший элемент от первого до наименьшего элемента второго, от наименьшего элемента того, что остается в первом, до наименьшего элемента того, что остается во втором, и т. д., но в общем случае пары множеств данной конечной мощности не являются естественными изоморфен, потому что существует более одного выбора отображения, за исключением случаев, когда мощность равна 0 или 1, где есть уникальный выбор.
^ На самом деле есть именно ${displaystyle 3! = 6}$ различные изоморфизмы между двумя наборами с тремя элементами. Это равно количеству автоморфизмы данного трехэлементного набора (который, в свою очередь, равен порядку симметричная группа на трех буквах), и, в более общем смысле, имеет место, что набор изоморфизмов между двумя объектами, обозначаемый ${displaystyle operatorname {Iso} (A, B),}$ это торсор для группы автоморфизмов А, ${displaystyle operatorname {Aut} (A)}$ а также торсор для группы автоморфизмов Б. Фактически, автоморфизмы объекта являются ключевой причиной для беспокойства по поводу различия между изоморфизмом и равенством, что продемонстрировано в эффекте изменения базиса при идентификации векторного пространства с его двойственным или двойным двойным пространством, как описано в продолжение.
^ Если быть точным, отождествление комплексных чисел с реальной плоскостью,
${displaystyle mathbf {C} cong mathbf {R} cdot 1oplus mathbf {R} cdot i = mathbf {R} ^ {2}}$
зависит от выбора ${displaystyle i;}$ так же легко можно выбрать ${displaystyle (-i),}$ , что дает другую идентификацию - формально комплексное сопряжение - автоморфизм, но на практике часто предполагается, что такое отождествление было выполнено.