Диффеоморфизм - Diffeomorphism

"Diffeo" перенаправляется сюда. Для компании см. Diffeo (компания).

В математика, а диффеоморфизм является изоморфизм из гладкие многообразия. Это обратимый функция что отображает один дифференцируемое многообразие другому, так что и функция, и ее обратный находятся гладкий.

В изображение прямоугольной сетки на квадрате при диффеоморфизме квадрата на себя.

Определение

Учитывая два коллекторы ${displaystyle M}$ и ${displaystyle N}$, а дифференцируемый карта ${displaystyle fcolon Mightarrow N}$ называется диффеоморфизм если это биекция и его обратное ${displaystyle f^{-1}colon Nightarrow M}$ также дифференцируема. Если эти функции ${displaystyle r}$ раз непрерывно дифференцируемый, ${displaystyle f}$ называется ${displaystyle C^{r}}$-диффеоморфизм.

Два коллектора ${displaystyle M}$ и ${displaystyle N}$ находятся диффеоморфный (обычно обозначается ${displaystyle Msimeq N}$), если существует диффеоморфизм ${displaystyle f}$ из ${displaystyle M}$ к ${displaystyle N}$. Они есть ${displaystyle C^{r}}$-диффеоморфный если есть ${displaystyle r}$ раз непрерывно дифференцируемое биективное отображение между ними, обратное также ${displaystyle r}$ раз непрерывно дифференцируемые.

Диффеоморфизмы подмножеств многообразий

Учитывая подмножество Икс многообразия M и подмножество Y многообразия N, функция ж : Икс → Y называется гладким, если для всех п в Икс Существует район U ⊆ M из п и гладкая функция грамм : U → N так что ограничения согласны: ${displaystyle g_{|Ucap X}=f_{|Ucap X}}$ (Обратите внимание, что грамм является продолжением ж). Функция ж называется диффеоморфизмом, если он биективен, гладкий и обратный к нему гладкий.

Местное описание

Теорема Адамара-Каччопполи^[1][2]

Если U, V находятся связаны открытые подмножества из р^п такой, что V является односвязный, а дифференцируемый карта ж : U → V это диффеоморфизм если это правильный и если дифференциал Df_Икс : р^п → р^п биективен (и, следовательно, линейный изоморфизм ) в каждой точке Икс в U.

Первое замечание

Это важно для V быть односвязный для функции ж быть глобально обратимым (при единственном условии, что его производная является биективным отображением в каждой точке). Например, рассмотрим «реализацию» сложный квадратная функция

${displaystyle {egin{cases}f:mathbf {R} ^{2}setminus {(0,0)} o mathbf {R} ^{2}setminus {(0,0)}(x,y)mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).end{cases}}}$

потом ж является сюръективный и это удовлетворяет

${displaystyle det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})eq 0.}$

Таким образом, хотя Df_Икс биективен в каждой точке, ж не обратима, потому что не может быть инъективный (например. ж(1, 0) = (1, 0) = ж(−1, 0).

Второе замечание

Поскольку дифференциал в точке (для дифференцируемой функции)

${displaystyle Df_{x}:T_{x}U o T_{f(x)}V}$

это линейная карта, он имеет хорошо определенный обратный тогда и только тогда, когда Df_Икс это биекция. В матрица представление Df_Икс это п × п матрица первого порядка частные производные чья запись в я-й ряд и j-й столбец ${displaystyle partial f_{i}/partial x_{j}}$. Это так называемое Матрица якобиана часто используется для явных вычислений.

Третье замечание

Диффеоморфизмы обязательно существуют между многообразиями одного и того же измерение. Представлять себе ж идущий из измерения п к измерению k. Если п < k тогда Df_Икс никогда не может быть сюръективным, и если п > k тогда Df_Икс никогда не может быть инъекционным. Поэтому в обоих случаях Df_Икс не может быть биекцией.

Четвертое замечание

Если Df_Икс биекция на Икс тогда ж считается локальный диффеоморфизм (поскольку по непрерывности Df_у также будет биективным для всех у достаточно близко к Икс).

Пятое замечание

Учитывая гладкую карту из измерения п к измерению k, если Df (или локально Df_Икс) сюръективно, ж считается погружение (или, локально, «локальное погружение»); и если Df (или на местном уровне Df_Икс) инъективно, ж считается погружение (или, локально, «локальное погружение»).

Шестое замечание

Дифференцируемая биекция - это нет обязательно диффеоморфизм. ж(Икс) = Икс³, например, не является диффеоморфизмом из р самому себе, потому что его производная обращается в нуль в 0 (и, следовательно, его обратная не дифференцируема в 0). Это пример гомеоморфизм это не диффеоморфизм.

Седьмое замечание

Когда ж это карта между дифференцируемый многообразия, диффеоморфное ж является более сильным условием, чем гомеоморфное ж. Для диффеоморфизма ж и его обратное должно быть дифференцируемый; для гомеоморфизма, ж и его обратное нужно только непрерывный. Каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, но не всякий гомеоморфизм является диффеоморфизмом.

ж : M → N называется диффеоморфизм если в карты координат, он удовлетворяет приведенному выше определению. Точнее: выберите любую обложку M совместимым карты координат и сделай то же самое для N. Пусть φ и ψ карты соответственно на M и N, с U и V как, соответственно, образы φ и ψ. Отображение ψжφ⁻¹ : U → V тогда диффеоморфизм, как в определении выше, всякий раз, когда ж(φ⁻¹(U)) ⊆ ψ⁻¹(V).

Примеры

Поскольку любое многообразие можно параметризовать локально, мы можем рассмотреть некоторые явные отображения из р² в р².

• Позволять

${displaystyle f(x,y)=left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}ight).}$

Мы можем вычислить матрицу Якоби:

${displaystyle J_{f}={egin{pmatrix}2x&3y^{2}2x&-3y^{2}end{pmatrix}}.}$

Матрица Якоби имеет нулевой детерминант если и только если ху = 0. Мы видим, что ж мог быть только диффеоморфизм вдали от Иксось и у-ось. Тем не мение, ж не биективен, так как ж(Икс, у) = ж(-Икс, у), а значит, не может быть диффеоморфизмом.

• Позволять

${displaystyle g(x,y)=left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+cdots , b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+cdots ight)}$

где ${displaystyle a_{i,j}}$ и ${displaystyle b_{i,j}}$ произвольны действительные числа, а пропущенные члены имеют степень не менее двух в Икс и у. Мы можем вычислить матрицу Якоби при 0:

${displaystyle J_{g}(0,0)={egin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}_{1,0}&b_{0,1}end{pmatrix}}.}$

Мы видим, что грамм является локальным диффеоморфизмом в 0 если и только если,

${displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}eq 0,}$

т.е. линейные члены в компонентах грамм находятся линейно независимый в качестве многочлены.

• Позволять

${displaystyle h(x,y)=left(sin(x^{2}+y^{2}),cos(x^{2}+y^{2})ight).}$

Мы можем вычислить матрицу Якоби:

${displaystyle J_{h}={egin{pmatrix}2xcos(x^{2}+y^{2})&2ycos(x^{2}+y^{2})-2xsin(x^{2}+y^{2})&-2ysin(x^{2}+y^{2})end{pmatrix}}.}$

Матрица Якоби всюду имеет нулевой определитель! Фактически мы видим, что изображение час это единичный круг.

Деформации поверхности

В механика трансформация, вызванная стрессом, называется деформация и может быть описан диффеоморфизмом. ж : U → V между двумя поверхности U и V имеет матрицу Якоби Df это обратимая матрица. Фактически требуется, чтобы для п в U, Существует район из п в котором якобиан Df остается неособый. Поскольку якобиан является вещественной матрицей 2 × 2, Df можно читать как один из трех типов комплексного числа: обычный комплекс, разделить комплексное число, или же двойной номер. Предположим, что в карте поверхности ${displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

В полный дифференциал из ты является

${displaystyle du={frac {partial u}{partial x}}dx+{frac {partial u}{partial y}}dy}$, и аналогично для v.

Тогда изображение ${displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$ это линейное преобразование, фиксирующий происхождение и выражаемый как действие комплексного числа определенного типа. Когда (dx, dy) также интерпретируется как этот тип комплексного числа, действие представляет собой комплексное умножение в соответствующей плоскости комплексных чисел. Таким образом, существует тип угла (Евклидово, гиперболический, или же склон ), который сохраняется при таком умножении. Из-за Df будучи обратимым, комплексное число является однородным по поверхности. Следовательно, поверхностная деформация или диффеоморфизм поверхностей имеет конформное свойство сохранения (соответствующего вида) углов.

Группа диффеоморфизмов

Позволять M - дифференцируемое многообразие, которое счетный и Хаусдорф. В группа диффеоморфизмов из M это группа из всех C^р диффеоморфизмы M самому себе, обозначается Diff^р(M) или, когда р понимается, Diff (M). Это «большая» группа в том смысле, что - при условии M не является нульмерным - это не локально компактный.

Топология

Группа диффеоморфизмов имеет два естественных топологии: слабый и сильный (Хирш 1997 ). Когда коллектор компактный, эти две топологии согласуются. Слабая топология всегда метризуемый. Когда многообразие не компактно, сильная топология фиксирует поведение функций «на бесконечности» и не является метризуемой. Однако все еще Baire.

Исправление Риманова метрика на M, слабая топология - это топология, индуцированная семейством метрик

${displaystyle d_{K}(f,g)=sup olimits _{xin K}d(f(x),g(x))+sum olimits _{1leq pleq r}sup olimits _{xin K}left|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)ight|}$

в качестве K варьируется по компактным подмножествам M. Действительно, поскольку M σ-компактно, существует последовательность компактных подмножеств K_п чей союз является M. Потом:

${displaystyle d(f,g)=sum olimits _{n}2^{-n}{frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

Группа диффеоморфизмов со своей слабой топологией локально гомеоморфна пространству C^р векторные поля (Лесли 1967 ). По компактному подмножеству M, это следует из фиксации римановой метрики на M и используя экспоненциальная карта для этой метрики. Если р конечно и многообразие компактно, пространство векторных полей есть Банахово пространство. Более того, карты перехода от одной карты этого атласа к другой гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в Банахово многообразие с плавным правильным переводом; левые переводы и инверсия только непрерывны. Если р = ∞, пространство векторных полей есть Fréchet space. Более того, отображения переходов гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в Многообразие Фреше и даже в регулярная группа Фреше Ли. Если многообразие σ-компактно и не компактно, полная группа диффеоморфизмов не является локально стягиваемой ни для одной из двух топологий. Чтобы получить группу диффеоморфизмов, которая является многообразием, нужно ограничить группу, контролируя отклонение от тождества вблизи бесконечности; видеть (Мичор и Мамфорд 2013 ).

Алгебра Ли

В Алгебра Ли группы диффеоморфизмов M состоит из всех векторные поля на M оснащен Скобка Ли векторных полей. Отчасти формально это видно по небольшому изменению координаты ${displaystyle x}$ в каждой точке пространства:

${displaystyle x^{mu }mapsto x^{mu }+varepsilon h^{mu }(x)}$

поэтому инфинитезимальные генераторы - это векторные поля

${displaystyle L_{h}=h^{mu }(x){frac {partial }{partial x^{mu }}}.}$

Примеры

• Когда M = грамм это Группа Ли, есть естественное включение грамм в своей группе диффеоморфизмов через левый сдвиг. Пусть Diff (грамм) обозначают группу диффеоморфизмов грамм, то существует расщепление Diff (грамм) ≃ грамм × Разница (грамм, е), где Diff (грамм, е) это подгруппа разницы (грамм), который фиксирует элемент идентичности группы.
• Группа диффеоморфизмов евклидова пространства р^п состоит из двух компонентов, состоящих из диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию и меняющих ориентацию. Фактически, общая линейная группа это деформационный отвод подгруппы Diff (р^п, 0) диффеоморфизмов, фиксирующих начало координат при отображении ж(Икс) ↦ ж(tx) / т, т ∈ (0,1]. В частности, полная линейная группа также является деформационным ретрактом полной группы диффеоморфизмов.
• Для конечного набор точек, группа диффеоморфизмов - это просто симметричная группа. Аналогично, если M на любом многообразии существует расширение группы 0 → Разница₀(M) → Diff (M) → Σ (π₀(M)). Здесь Diff₀(M) - подгруппа в Diff (M), который сохраняет все компоненты M, и Σ (π₀(M)) - группа перестановок множества π₀(M) (компоненты M). Более того, изображение карты Diff (M) → Σ (π₀(M)) является биекцией π₀(M), сохраняющие классы диффеоморфизмов.

Транзитивность

Для связного коллектора M, группа диффеоморфизмов действует переходно на M. В более общем смысле, группа диффеоморфизмов действует транзитивно на конфигурационное пространство C_kM. Если M по крайней мере двумерна, группа диффеоморфизмов действует транзитивно на конфигурационное пространство F_kM и действие на M является кратно переходный (Баньяга 1997, п. 29).

Расширения диффеоморфизмов

В 1926 г. Тибор Радо спросил, есть ли гармоническое расширение любого гомеоморфизма или диффеоморфизма единичной окружности на единичный диск дает диффеоморфизм на открытом диске. Вскоре после этого изящное доказательство было предоставлено Хельмут Кнезер. В 1945 г. Гюстав Шоке, по-видимому, не подозревая об этом результате, дал совершенно другое доказательство.

Группа (сохраняющих ориентацию) диффеоморфизмов окружности линейно связна. В этом можно убедиться, заметив, что любой такой диффеоморфизм можно поднять до диффеоморфизма ж удовлетворяющих реалов [ж(Икс + 1) = ж(Икс) + 1]; это пространство выпукло и, следовательно, линейно связно. Гладкий, в конечном итоге постоянный путь к тождеству дает второй, более элементарный способ расширения диффеоморфизма с круга на открытый единичный диск (частный случай Александр трюк ). Более того, группа диффеоморфизмов окружности имеет гомотопический тип ортогональная группа О (2).

Соответствующая проблема продолжения диффеоморфизмов многомерных сфер S^п−1 активно изучалась в 1950-х и 1960-х годах с заметным вкладом Рене Том, Джон Милнор и Стивен Смейл. Препятствием для таких расширений является конечный абелева группа Γ_п, "группа скрученных сфер ", определяемый как частное абелева группа компонентов группы диффеоморфизмов подгруппой классов, продолжающихся до диффеоморфизмов шара B^п.

Связность

Для многообразий группа диффеоморфизмов обычно несвязна. Его составная группа называется группа классов отображения. В измерении 2 (т.е. поверхности ) группа классов отображений является конечно представленная группа создано Ден скручивает (Ден, Ликориш, Хэтчер ).^{[нужна цитата ]} Макс Ден и Якоб Нильсен показал, что его можно отождествить с группа внешних автоморфизмов из фундаментальная группа поверхности.

Уильям Терстон уточнил этот анализ классифицирующие элементы группы классов отображения на три типа: эквивалентные периодический диффеоморфизм; эквивалентные диффеоморфизму, оставляющему инвариантной простую замкнутую кривую; и эквивалентные псевдоаносовские диффеоморфизмы. В случае тор S¹ × S¹ = р²/Z², группа классов отображения - это просто модульная группа SL (2,Z) и классификация становится классической по эллиптический, параболический и гиперболический матрицы. Терстон завершил свою классификацию, заметив, что группа классов отображения естественным образом действует на компактификация из Пространство Тейхмюллера; поскольку это увеличенное пространство гомеоморфно замкнутому шару, Теорема Брауэра о неподвижной точке стал применимым. Смейл предполагаемый что если M является ориентированный гладкое замкнутое многообразие, компонент идентичности группы диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, есть просто. Впервые это было доказано для произведения кругов Мишель Герман; это было полностью доказано Терстоном.

Гомотопические типы

• Группа диффеоморфизмов S² имеет гомотопический тип подгруппы O (3). Это доказал Стив Смейл.^[3]
• Группа диффеоморфизмов тора имеет гомотопический тип своего линейного автоморфизмы: S¹ × S¹ × GL (2, Z).
• Группы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей род грамм > 1 имеют гомотопический тип групп классов отображения (т.е. компоненты стягиваемы).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов трехмерных многообразий достаточно хорошо изучен благодаря работам Иванова, Хатчера, Габая и Рубинштейна, хотя есть несколько выдающихся открытых случаев (в первую очередь трехмерных многообразий с конечными фундаментальные группы ).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов п-многообразия для п > 3 плохо разбираются. Например, открытый вопрос о том, Diff (S⁴) имеет более двух компонентов. Однако через Милнор, Кан и Антонелли известно, что п > 6, Diff (S^п) не имеет гомотопического типа конечного CW-комплекс.

Гомеоморфизм и диффеоморфизм

В отличие от недиффеоморфных гомеоморфизмов, найти пару гомеоморфный многообразия, не являющиеся диффеоморфными. В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гладких гомеоморфных многообразий диффеоморфна. В размерности 4 и более найдены примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных пар. Первый такой пример был построен Джон Милнор в размерности 7. Он построил гладкое 7-мерное многообразие (теперь называемое Сфера Милнора ), гомеоморфный стандартной 7-сфере, но не диффеоморфный ей. Фактически существует 28 классов ориентированных диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных 7-сфере (каждое из них является тотальным пространством пучок волокон над 4-сферой с 3-сфера как волокно).

Более необычные явления происходят при 4-коллектор. В начале 1980-х годов сочетание результатов из-за Саймон Дональдсон и Майкл Фридман привело к открытию экзотика р⁴s: Существуют бесчисленное множество попарно недиффеоморфные открытые подмножества р⁴ каждый из которых гомеоморфен р⁴, а также существует несчетное количество попарно недиффеоморфных дифференцируемых многообразий, гомеоморфных р⁴ это не вставлять плавно в р⁴.

Смотрите также

• Этальный морфизм
• Большой диффеоморфизм
• Локальный диффеоморфизм
• Супердиффеоморфизм

Примечания

1. Джузеппе де Марко; Джанлука Горни; Гаэтано Зампиери (1994). «Глобальная инверсия функций: введение». NoDEA. 1: 229–248. arXiv:1410.7902. Bibcode:2014arXiv1410.7902D.
2. Стивен Г. Кранц; Гарольд Р. Паркс (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения. п. Теорема 6.2.4. ISBN  978-1-4614-5980-4.
3. Смейл (1959). «Диффеоморфизмы двумерной сферы». Proc. Амер. Математика. Soc. 10 (4): 621–626. Дои:10.1090 / с0002-9939-1959-0112149-8.

Рекомендации

• Кранц, Стивен Дж .; Парки, Гарольд Р. (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения. Современная классика Биркхойзера. Бостон. ISBN  978-1-4614-5980-4.
• Чаудхури, Шьямоли; Кавай, Хикару; Тай, С.-Х. Генри (1987-08-15). «Интегральная формулировка замкнутых струн» (PDF). Физический обзор D. 36 (4): 1148–1168. Bibcode:1987ПхРвД..36.1148С. Дои:10.1103 / Physrevd.36.1148. ISSN  0556-2821. PMID  9958280.
• Баньяга, Августин (1997), Строение классических групп диффеоморфизмов, Математика и ее приложения, 400, Kluwer Academic, ISBN  0-7923-4475-8
• Дурен, Питер Л. (2004), Гармонические отображения на плоскости, Кембриджские математические трактаты, 156, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-64121-7
• «Диффеоморфизм», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Хирш, Моррис (1997), Дифференциальная топология, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90148-0
• Кригл, Андреас; Мичор, Питер (1997), Удобная настройка глобального анализа, Математические обзоры и монографии, 53, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0780-3
• Лесли, Дж. А. (1967), "О дифференциальной структуре группы диффеоморфизмов", Топология, 6 (2): 263–271, Дои:10.1016/0040-9383(67)90038-9, ISSN  0040-9383, МИСТЕР  0210147
• Michor, Питер В .; Мамфорд, Дэвид (2013), "Зоопарк групп диффеоморфизмов на р^п.", Анналы глобального анализа и геометрии, 44 (4): 529–540, arXiv:1211.5704, Дои:10.1007 / s10455-013-9380-2
• Милнор, Джон В. (2007), Собрание сочинений Т. III, Дифференциальная топология, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4230-0
• Омори, Хидеки (1997), Бесконечномерные группы Ли, Переводы математических монографий, 158, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4575-6
• Кнезер, Хельмут (1926), "Lösung der Aufgabe 41.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком), 35 (2): 123