Подмножество - Subset

"Суперсет" перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Суперсет (значения).

«⊃» перенаправляется сюда. Для логического символа см. подкова (символ). Для использования в других целях см. подкова (значения).

Диаграмма Эйлера показывая
А является собственным подмножеством B,  А⊂B, и наоборот B является правильным надмножеством А.

В математика, а набор А это подмножество набора B я упал элементы из А также являются элементами B; B тогда суперсет из А. Это возможно для А и B быть равным; если они неравны, то А это правильное подмножество из B. Отношение одного набора, являющегося подмножеством другого, называется включение (или иногда сдерживание). А это подмножество B также может быть выражено как B включает (или содержит) А или же А входит (или содержится) в B.

Отношение подмножества определяет частичный заказ на наборах. Фактически, подмножества данного множества образуют Булева алгебра по отношению подмножества, в котором присоединяйся и встречайся даны пересечение и союз, а само отношение подмножества является Булево отношение включения.

Определения

Если А и B наборы и каждый элемент из А также является элементом B, тогда:

• А это подмножество из B, обозначаемый ${displaystyle Asubseteq B,}$ или эквивалентно
• B это суперсет из А, обозначаемый ${displaystyle Bsupseteq A.}$^[1]

Если А это подмножество B, но А не является равный к B (т.е. Существует хотя бы один элемент B, который не является элементом А), тогда:

• А это правильный (или же строгий) подмножество из B, обозначаемый ${displaystyle Asubsetneq B}$ (или же ${displaystyle Asubset B}$^[1][2]). Или, что то же самое,
• B это правильный (или же строгий) суперсет из А, обозначаемый ${displaystyle Bsupsetneq A}$ (или же ${displaystyle Bsupset A}$^[1]).
• В пустой набор, пишется {} или ∅, является подмножеством любого набора Икс и собственное подмножество любого набора, кроме самого себя.

Для любого набора S, включение связь ⊆ это частичный заказ на съемочной площадке ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$ (в набор мощности из S- набор всех подмножеств S^[3]) определяется ${displaystyle Aleq Biff Asubseteq B}$. Мы также можем частично заказать ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$ обратным включением множества путем определения ${displaystyle Aleq Biff Bsubseteq A.}$

При количественной оценке А ⊆ B представлен как ∀Икс(Икс ∈ А → Икс ∈ B).^[4]

Мы можем доказать утверждение А ⊆ B применяя метод доказательства, известный как аргумент элемента^[5]:

Пусть множества А и B быть данным. Чтобы доказать, что А ⊆ Б,

1. предполагать который а является частным, но произвольно выбранным элементом B,
2. Показать который а является элементом B.

Правомерность этого метода можно рассматривать как следствие Универсальное обобщение: техника показывает c ∈ А → c ∈ B для произвольно выбранного элемента c. Универсальное обобщение влечет ∀Икс(Икс ∈ А → Икс ∈ B), что эквивалентно А ⊆ B, как указано выше.

Характеристики

• Множество А это подмножество из B если и только если их пересечение равно A.

Формально:

${displaystyle Asubseteq BLeftrightarrow Acap B=A.}$

• Множество А это подмножество из B тогда и только тогда, когда их объединение равно B.

Формально:

${displaystyle Asubseteq BLeftrightarrow Acup B=B.}$

• А конечный набор А это подмножество из B, тогда и только тогда, когда мощность их пересечения равна мощности A.

Формально:

${displaystyle Asubseteq BLeftrightarrow |Acap B|=|A|.}$

Символы ⊂ и ⊃

Некоторые авторы используют символы ⊂ и ⊃ для обозначения подмножество и суперсет соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов ⊆ и ⊇.^[6] Например, для этих авторов это верно для каждого набора А который А ⊂ А.

Другие авторы предпочитают использовать символы ⊂ и ⊃ для обозначения правильный (также называемое строгим) подмножеством и правильный суперсет соответственно; то есть, с тем же значением и вместо символов ⊊ и ⊋.^[7][1] Это использование делает ⊆ и ⊂ аналогами неравенство символы ≤ и <. Например, если Икс ≤ у, тогда Икс может или не может быть равным у, но если Икс < у, тогда Икс определенно не равно у, и является меньше, чем у. Аналогично, используя соглашение, что ⊂ - собственное подмножество, если А ⊆ B, тогда А может или не может быть равным B, но если А ⊂ B, тогда А определенно не равно B.

Примеры подмножеств

Правильные многоугольники образуют подмножество многоугольников

• Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения A ⊆ B и A ⊊ B истинны.
• Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но нет собственное подмножество) E = {1, 2, 3}, таким образом, D ⊆ E истинно, а D ⊊ E не истинно (ложно).
• Любой набор - это подмножество самого себя, но не собственное подмножество. (X ⊆ X истинно, а X ⊊ X ложно для любого множества X.)
• Набор {Икс: Икс это простое число больше 10} является правильным подмножеством {Икс: Икс нечетное число больше 10}
• Набор натуральные числа является собственным подмножеством множества рациональное число; аналогично, множество точек в отрезок является собственным подмножеством множества точек в линия. Это два примера, в которых как подмножество, так и весь набор бесконечны, а подмножество имеет одинаковые мощность (понятие, соответствующее размеру, то есть количеству элементов конечного набора) в целом; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
• Набор рациональное число является собственным подмножеством множества действительные числа. В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность), чем предыдущий набор.

Другой пример в Диаграмма Эйлера:

• 

  A - собственное подмножество B

• 

  C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B

Другие свойства включения

А ⊆ B и B ⊆ C подразумевает А ⊆ C

Включение - это каноническое частичный заказ, в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество (Икс, ${displaystyle preceq }$) является изоморфный в некоторый набор множеств, упорядоченных по включению. В порядковые номера простой пример: если каждый порядковый номер п отождествляется с множеством [п] всех порядковых чисел, меньших или равных п, тогда а ≤ б если и только если [а] ⊆ [б].

Для набор мощности ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$ набора S, частичный порядок включения - с точностью до изоморфизм порядка - Декартово произведение из k = |S| (в мощность из S) копий частичного порядка на {0,1}, для которых 0 <1. Это можно проиллюстрировать, перечислив S = {s₁, s₂, ..., s_k} и связывая с каждым подмножеством Т ⊆ S (т.е. каждый элемент 2^S) k-набор из {0,1}^k, из которых я-я координата равна 1 тогда и только тогда, когда s_я является членом Т.

Смотрите также

• Порядок включения
• Область, край
• Проблема суммы подмножества
• Всего подмножество

Рекомендации

1. «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Получено 2020-08-23.
2. «Введение в наборы». www.mathsisfun.com. Получено 2020-08-23.
3. Вайсштейн, Эрик В. "Подмножество". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-23.
4. Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.119. ISBN  978-0-07-338309-5.
5. Эпп, Сюзанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ISBN  978-0-495-39132-6.
6. Рудин, Вальтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, п. 6, ISBN  978-0-07-054234-1, МИСТЕР  0924157
7. Подмножества и собственные подмножества (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2013-01-23, получено 2012-09-07

Библиография

• Jech, Thomas (2002). Теория множеств. Springer-Verlag. ISBN  3-540-44085-2.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Подмножества в Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. "Подмножество". MathWorld.