Большой кардинал - Large cardinal

В математической области теория множеств, а большая кардинальная собственность это определенное свойство трансфинитный Количественные числительные. Кардиналы с такими свойствами, как следует из названия, обычно очень «большие» (например, больше наименьшего α, такого что α = ωα). Утверждение, что такие кардиналы существуют, не может быть доказано в наиболее распространенных аксиоматизация теории множеств, а именно ZFC, и такие предложения можно рассматривать как способы измерения того, «сколько», помимо ZFC, нужно предположить, чтобы иметь возможность доказать определенные желаемые результаты. Другими словами, их можно увидеть в Дана Скотт фраза, как количественная оценка того факта, что «если вы хотите большего, вы должны предполагать большее».[1]

Существует приблизительное соглашение, согласно которому результаты, которые можно доказать только с помощью ZFC, могут быть сформулированы без гипотез, но если для доказательства требуются другие предположения (например, существование больших кардиналов), их следует указать. Является ли это просто лингвистической конвенцией или чем-то большим, это спорный вопрос среди различных философских школ (см. Мотивации и эпистемический статус ниже).

А аксиома большого кардинала - аксиома, утверждающая, что существует кардинал (или, возможно, многие из них) с некоторым заданным большим кардинальным свойством.

Большинство теоретиков рабочего множества полагают, что рассматриваемые в настоящее время большие кардинальные аксиомы последовательный с ZFC[нужна цитата ]. Эти аксиомы достаточно сильны, чтобы предполагать непротиворечивость ZFC. Это имеет последствия (через Вторая теорема Гёделя о неполноте ), что их совместимость с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC согласован).

Нет общепризнанного точного определения того, что такое большая кардинальная собственность, хотя практически все согласны с тем, что список больших кардинальных свойств большие кардинальные свойства.

Частичное определение

Необходимое условие того, чтобы свойство кардинальных чисел было большая кардинальная собственность в том, что существование такого кардинала, как известно, несовместимо с ZFC и было доказано, что если ZFC последовательный, то ZFC + «такого кардинала не существует» согласовано.

Иерархия прочности согласованности

Замечательное наблюдение по поводу аксиом больших кардиналов состоит в том, что они, по-видимому, происходят в линейный порядок от постоянство прочности. То есть не известно никаких исключений в следующих случаях: Учитывая две большие кардинальные аксиомы А1 и А2, происходит ровно одно из трех:

  1. Если ZFC не противоречит, ZFC +А1 непротиворечиво тогда и только тогда, когда ZFC +А2 согласуется;
  2. ZFC +А1 доказывает, что ZFC +А2 согласуется; или
  3. ZFC +А2 доказывает, что ZFC +А1 согласуется.

Они являются взаимоисключающими, если только одна из рассматриваемых теорий не противоречит действительности.

В случае 1 мы говорим, что А1 и А2 находятся равноправный. В случае 2 мы говорим, что А1 по последовательности сильнее, чем А2 (для случая 3 наоборот). Если А2 сильнее чем А1, затем ZFC +А1 не могу доказать ZFC +А2 согласуется даже с дополнительной гипотезой о том, что ZFC +А1 сам по себе непротиворечив (при условии, конечно, что это действительно так). Это следует из Вторая теорема Гёделя о неполноте.

Наблюдение, что большие кардинальные аксиомы линейно упорядочены по силе согласованности, - это всего лишь наблюдение, а не теорема. (Без общепринятого определения большого кардинального свойства оно не подлежит доказательству в обычном смысле). Кроме того, не во всех случаях известно, какой из трех случаев имеет место. Сахарон Шелах спросил: «Есть какая-то теорема, объясняющая это, или наше видение просто более однородно, чем мы думаем?» Woodin, однако, выводит это из Ω-гипотеза, главная нерешенная проблема его Ω-логика. Также примечательно, что многие комбинаторные утверждения в точности равносогласованы с некоторым большим кардиналом, а не, скажем, являются промежуточными между ними.

Порядок силы согласованности не обязательно совпадает с порядком размера самого маленького свидетеля большой кардинальной аксиомы. Например, наличие огромный кардинал намного сильнее, с точки зрения прочности последовательности, чем существование сверхкомпактный кардинал, но если предположить, что оба существуют, первый огромный меньше, чем первый суперкомпакт.

Мотивации и эпистемический статус

Большие кардиналы понимаются в контексте Вселенная фон Неймана V, который застраивается бесконечно повторяющийся то powerset операция, которая собирает воедино все подмножества данного набора. Обычно модели в котором большие кардинальные аксиомы провал естественным образом можно рассматривать как подмодели тех, в которых действуют аксиомы. Например, если есть недоступный кардинал, то "отсечение Вселенной" на высоте первого такого кардинала дает вселенная в котором нет недоступного кардинала. Или если есть измеримый кардинал, затем повторяя определяемый операция powerset, а не полная, дает Конструируемая вселенная Гёделя, L, который не удовлетворяет утверждению «существует измеримый кардинал» (даже если он содержит измеримый кардинал в качестве ординала).

Таким образом, с определенной точки зрения, которой придерживаются многие теоретики множеств (особенно те, кто вдохновлен традицией Кабала ) аксиомы большого кардинала «говорят», что мы рассматриваем все множества, которые «предполагается» рассматривать, в то время как их отрицания являются «ограничительными» и говорят, что мы рассматриваем только некоторые из этих множеств. Более того, последствия больших кардинальных аксиом кажутся естественными (см. Мэдди, «Вера в аксиомы, II»). По этим причинам такие теоретики множеств склонны считать, что большие кардинальные аксиомы имеют предпочтительный статус среди расширений ZFC, который не разделяется аксиомами менее четкой мотивации (такими как Аксиома мартина ) или другие, которые они считают интуитивно маловероятными (например, V = L ). Хардкор реалисты в этой группе, проще говоря, что большие кардинальные аксиомы правда.

Эта точка зрения отнюдь не универсальна среди теоретиков множеств. Немного формалисты могли бы утверждать, что стандартная теория множеств по определению является изучением последствий ZFC, и хотя они могут не возражать в принципе против изучения последствий других систем, они не видят причин выделять большие кардиналы в качестве предпочтительных. Есть и реалисты, которые отрицают онтологический максимализм является правильной мотивацией, и даже считаю, что большие кардинальные аксиомы ложны. И, наконец, некоторые отрицают, что отрицание больших кардинальных аксиом находятся ограничительный, указывая, что (например) может быть переходный набор модель в L, которая считает, что существует измеримый кардинал, хотя сам L не удовлетворяет этому утверждению.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Белл, Дж. Л. (1985). Булевозначные модели и доказательства независимости в теории множеств. Издательство Оксфордского университета. viii. ISBN  0-19-853241-5.

использованная литература

внешние ссылки