Новые основы - New Foundations

В математическая логика, Новые основы (NF) является аксиоматическая теория множеств, задуманный Уиллард Ван Орман Куайн как упрощение теория типов из Principia Mathematica. Куайн впервые предложил NF в статье 1937 года под названием «Новые основы математической логики»; отсюда и название. Большая часть этой статьи обсуждает НФУ, важный вариант NF, созданный Дженсеном (1969) и раскрытый в Holmes (1998).^[1] В 1940 году и в редакции 1951 года Куайн представил расширение NF, иногда называемое «математической логикой» или «ML», которое включало правильные классы а также наборы.

У New Foundations есть универсальный набор, так что это необоснованная теория множеств.^[2] Иными словами, это аксиоматическая теория множеств, которая допускает бесконечные нисходящие цепочки принадлежности, такие как… x_п ∈ x_п-1 ∈… ∈ x₂ ∈ x₁. Это избегает Парадокс Рассела разрешая только стратифицируемые формулы будет определено с помощью схема аксиомы понимания. Например, x ∈ y - стратифицируемая формула, а x ∈ x - нет.

Теория типов TST

Примитивные предикаты Расселловской теории неразветвленных типизированных множеств (TST), упрощенной версии теории типов, следующие: равенство (${\displaystyle =}$) и членство (${\displaystyle \in }$). TST имеет линейную иерархию типов: тип 0 состоит из людей, которые иначе не описаны. Для каждого (мета-) натуральное число п, тип п+1 объекты - это наборы типа п объекты; наборы типа п есть члены типа п-1. Объекты, связанные идентичностью, должны иметь один и тот же тип. Следующие две атомарные формулы кратко описывают правила типизации: ${\displaystyle x^{n}=y^{n}\!}$ и ${\displaystyle x^{n}\in y^{n+1}}$. (Теория множеств Куайна пытается устранить необходимость в таких надстрочных индексах.)

Аксиомы TST:

• Расширяемость: множества одного (положительного) типа с одинаковыми элементами равны;
• Схема понимания аксиомы, а именно:

Если ${\displaystyle \phi (x^{n})}$ - формула, то множество ${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$ существуют.

Другими словами, для любой формулы ${\displaystyle \phi (x^{n})\!}$, формула ${\displaystyle \exists A^{n+1}\forall x^{n}[x^{n}\in A^{n+1}\leftrightarrow \phi (x^{n})]}$ аксиома, где ${\displaystyle A^{n+1}\!}$ представляет набор ${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$ и не свободный в ${\displaystyle \phi (x^{n})}$.

Эта теория типов намного менее сложна, чем теория, впервые изложенная в Principia Mathematica, который включал типы для связи чьи аргументы не обязательно были одного типа. В 1914 г. Норберт Винер показал, как кодировать упорядоченная пара как набор наборов, что позволяет отказаться от типов отношений в пользу описанной здесь линейной иерархии наборов.

Теория множеств Куайна

Аксиомы и стратификация

Правильно сформированные формулы New Foundations (NF) такие же, как правильно сформированные формулы TST, но со стертыми аннотациями типов. Аксиомы NF:

• Расширяемость: Два объекта с одинаковыми элементами - это один и тот же объект;
• А схема понимания: Все экземпляры TST Понимание но с отброшенными индексами типов (и без введения новых отождествлений между переменными).

По соглашению, НФ Понимание схема сформулирована с использованием концепции стратифицированная формула и не делая прямых ссылок на типы. Формула ${\displaystyle \phi }$ как говорят стратифицированный если существует функция ж от частей синтаксиса до натуральных чисел, так что для любой атомарной подформулы ${\displaystyle x\in y}$ из ${\displaystyle \phi }$ у нас есть ж(у) = ж(Икс) + 1, а для любой атомарной подформулы ${\displaystyle x=y}$ из ${\displaystyle \phi }$, у нас есть ж(Икс) = ж(у). Понимание затем становится:

${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ существует для каждого стратифицированная формула ${\displaystyle \phi }$.

Даже косвенная ссылка на типы, подразумеваемые в понятии стратификация можно устранить. Теодор Хайльперин показал в 1944 году, что Понимание эквивалентно конечному соединению его экземпляров,^[3] так что NF может быть конечно аксиоматизирована без какой-либо ссылки на понятие типа.

Понимание может показаться, что столкнулись с проблемами, аналогичными тем, что в наивная теория множеств, Но это не так. Например, существование невозможного Рассел класс ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$ не является аксиомой NF, потому что ${\displaystyle x\not \in x}$ не может быть расслоен.

Заказанные пары

связи и функции определены в TST (а также в NF и NFU) как наборы заказанные пары обычным способом. Обычное определение упорядоченной пары, впервые предложенное Куратовски в 1921 г. имеет серьезный недостаток для НФ и связанных с ней теорий: результирующая упорядоченная пара обязательно имеет тип два выше, чем тип ее аргументов (ее левый и правый прогнозы ). Следовательно, для определения стратификации функция на три типа выше, чем члены ее поля.

Если можно определить пару таким образом, чтобы ее тип был того же типа, что и тип ее аргументов (в результате типовой уровень упорядоченная пара), то отношение или функция просто на один тип выше, чем тип членов его поля. Следовательно, НФ и родственные теории обычно используют Куайн теоретико-множественное определение упорядоченной пары, которое дает упорядоченная пара на уровне типов. Холмс (1998) берет упорядоченную пару и ее левую и правую прогнозы как примитивный. К счастью, обычно не имеет значения, является ли упорядоченная пара уровнем типа по определению или по предположению (т. Е. Примитивной).

Существование упорядоченной пары на уровне типов влечет бесконечность, и NFU + бесконечность интерпретирует NFU + «существует упорядоченная пара на уровне типа» (это не совсем одна и та же теория, но различия несущественны). И наоборот, NFU + бесконечность + Выбор доказывает существование упорядоченной пары на уровне типа.^{[нужна цитата ]}

Допустимость полезных больших наборов

NF (и NFU + бесконечность + Выбор, описанные ниже и известные непротиворечивые) позволяют строить два вида множеств, ZFC и его собственные расширения запрещают, потому что они «слишком велики» (некоторые теории множеств допускают эти сущности под заголовком правильные классы ):

• В универсальный набор V. Потому что ${\displaystyle x=x}$ это стратифицированная формула, то универсальный набор V = {Икс | х = х} существует Понимание. Непосредственным следствием этого является то, что все наборы имеют дополняет, и весь теоретико-множественный универсум при NF имеет Булево структура.
• Кардинал и порядковый числа. В NF (и TST) множество всех наборов, имеющих п элементы ( округлость вот только кажущееся) существует. Следовательно Frege определение кардинальных чисел работает в NF и NFU: кардинальное число - это класс эквивалентности наборов под связь из равноденствие: наборы А и B равноденственны, если существует биекция между ними, и в этом случае мы пишем ${\displaystyle A\sim B}$. Точно так же порядковый номер - это класс эквивалентности из хорошо организованный наборы.

Конечная аксиоматизируемость

Новые фонды могут быть конечно аксиоматизированный.^[4][5]

Декартово замыкание

Категория, объекты которой являются наборами NF, а стрелки - функциями между этими наборами, не Декартово закрыто^[6]; Декартово замыкание может быть полезным свойством для категории множеств. Поскольку в NF отсутствует декартово замыкание, не каждая функция карри как можно было бы интуитивно ожидать, и NF не топос.

Проблема согласованности и связанные с ней частичные результаты

На протяжении многих лет нерешенной проблемой NF было то, что не было окончательно доказано, что относительно последовательный к любой другой хорошо известной аксиоматической системе, в которой можно моделировать арифметику. Н.Ф. опровергает Выбор, и тем самым доказывает бесконечность (Спекер, 1953). Но также известно (Дженсен, 1969), что позволяет урэлементы (несколько отдельных объектов без членов) дает NFU, теорию, которая согласована с Арифметика Пеано; если добавлены Infinity и Choice, результирующая теория будет иметь ту же силу согласованности, что и теория типов с бесконечностью или теория ограниченных множеств Цермело. (NFU соответствует теории типов TSTU, где тип 0 имеет urelements, а не только один пустой набор.) Существуют и другие относительно последовательные варианты NF.

NFU, грубо говоря, слабее, чем NF, потому что в NF набор мощности вселенной - это сама вселенная, в то время как в NFU набор мощности вселенной может быть строго меньше, чем вселенная (набор мощности вселенной содержит только множества, а вселенная может содержать урэлементы). Собственно, это обязательно так в НФУ + «Выбор».

Спекер показал, что NF равносогласованный с TST + Amb, куда Amb схема аксиом типичная двусмысленность который утверждает ${\displaystyle \phi \leftrightarrow \phi ^{+}}$ для любой формулы ${\displaystyle \phi }$, ${\displaystyle \phi ^{+}}$ формула, полученная путем увеличения индекса каждого типа в ${\displaystyle \phi }$ одним. NF также равнозначно согласуется с теорией TST, дополненной «автоморфизмом смены типа», операцией, которая увеличивает тип на один, отображает каждый тип на следующий более высокий тип и сохраняет отношения равенства и принадлежности (и которые не могут использоваться в случаях Понимание: это вне теории). Такие же результаты справедливы для различных фрагментов TST по отношению к соответствующим фрагментам NF.

В том же 1969 г. Дженсен доказал непротиворечивость НФУ, Гришин доказал ${\displaystyle NF_{3}}$ последовательный. ${\displaystyle NF_{3}}$ - это фрагмент NF с полной протяженностью (без элементов) и эти экземпляры Понимание которые можно стратифицировать, используя всего три типа. Эта теория - очень неудобная среда для математики (хотя были попытки облегчить эту неловкость), в основном потому, что нет очевидного определения для упорядоченная пара. Несмотря на эту неловкость, ${\displaystyle NF_{3}}$ очень интересно, потому что каждый бесконечная модель TST, ограниченная тремя типами, удовлетворяет Amb. Следовательно, для каждой такой модели существует модель ${\displaystyle NF_{3}}$ с той же теорией. Это не относится к четырем типам: ${\displaystyle NF_{4}}$ это та же теория, что и NF, и мы не знаем, как получить модель TST с четырьмя типами, в которой Amb держит.

В 1983 году Марсель Краббе доказал непротиворечивость системы, которую он назвал NFI, аксиомами которой являются неограниченная экстенсиональность и те примеры Понимание в котором ни одной переменной не назначен тип выше, чем у набора, который, как утверждается, существует. Это предикативность ограничение, хотя NFI не является предикативной теорией: она допускает достаточную отрицательность, чтобы определить набор натуральных чисел (определяемый как пересечение всех индуктивных множеств; обратите внимание, что индуктивные множества, количественно оцениваемые по, имеют тот же тип, что и множество натуральных чисел, являющихся определенный). Краббе также обсудил подтеорию NFI, в которой только параметрам (свободным переменным) разрешено иметь тип набора, который, как утверждается, существует с помощью экземпляра Понимание. Он назвал результат «предикативной NF» (NFP); Конечно, сомнительно, чтобы какая-либо теория о само-членской вселенной была действительно предсказательной. Холмс ^{[дата отсутствует ]} показали, что NFP обладает той же устойчивостью, что и предикативная теория типов Principia Mathematica без Аксиома сводимости.

С 2015 года Рэндаллом Холмсом несколько кандидатских доказательств согласованности NF относительно ZF были доступны как на arxiv, так и на домашней странице логика. Холмс демонстрирует одинаковую непротиворечивость «странного» варианта TST, а именно TTT._λ - «теория запутанных типов с λ-типами» - с НФ. Затем Холмс показывает, что TTT_λ согласован относительно ZFA, то есть ZF с атомами, но без выбора. Холмс демонстрирует это, создавая в ZFA + C, то есть ZF с атомами и выбором, модель классов ZFA, которая включает «запутанные сети кардиналов». Доказательства кандидатов все довольно длинные, но до сих пор сообществом NF не было обнаружено неисправимых недостатков.

Как NF (U) избегает теоретико-множественных парадоксов

NF избегает трех известных парадоксы из теория множеств. Это НФУ, последовательный (по сравнению с арифметикой Пеано) теория, также избегающая парадоксов, может повысить уверенность в этом факте.

В Парадокс Рассела: Легкое дело; ${\displaystyle x\not \in x}$ не является стратифицированной формулой, поэтому существование ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$ не утверждается ни одним экземпляром Понимание. Куайн сказал, что он построил NF, прежде всего имея в виду этот парадокс.

Парадокс Кантора из крупнейших количественное числительное использует применение Теорема кантора к универсальный набор. Теорема кантора говорит (учитывая ZFC), что набор мощности ${\displaystyle P(A)}$ любого набора ${\displaystyle A}$ больше чем ${\displaystyle A}$ (не может быть инъекция (индивидуальная карта) от ${\displaystyle P(A)}$ в ${\displaystyle A}$). Теперь, конечно, есть инъекция из ${\displaystyle P(V)}$ в ${\displaystyle V}$, если ${\displaystyle V}$ универсальный набор! Резолюция требует, чтобы наблюдалось, что ${\displaystyle |A|<|P(A)|}$ не имеет смысла в теории типов: тип ${\displaystyle P(A)}$ на один выше, чем тип ${\displaystyle A}$. Правильно напечатанная версия (которая является теоремой теории типов по существу по тем же причинам, что и исходная форма Теорема кантора работает в ZF ) является ${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$, куда ${\displaystyle P_{1}(A)}$ - множество одноэлементных подмножеств ${\displaystyle A}$. Конкретный пример этой интересующей теоремы: ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$: одноэлементных наборов меньше, чем наборов (и поэтому одноэлементных наборов меньше, чем обычных объектов, если мы находимся в NFU). Очевидное" биекция ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ от вселенной к одноэлементным множествам - это не набор; это не набор, потому что его определение нестратифицировано. Обратите внимание, что во всех известных моделях NFU это тот случай, когда ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|<<|V|}$; Выбор позволяет не только доказать, что есть элементы, но и то, что между ними много кардиналов. ${\displaystyle |P(V)|}$ и ${\displaystyle |V|}$.

Теперь можно ввести несколько полезных понятий. Множество ${\displaystyle A}$ который удовлетворяет интуитивно привлекательный ${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|}$ как говорят Канторианский: канторовское множество удовлетворяет обычному виду Теорема кантора. Множество ${\displaystyle A}$ которое удовлетворяет дополнительному условию, что ${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$, то ограничение из одиночка сопоставить с А, это не только канторовское множество, но и строго канторианский.

В Парадокс Бурали-Форти из крупнейших порядковый номер идет следующим образом. Определить (после наивная теория множеств ) ординалы как классы эквивалентности из хороший порядок под изоморфизм. Существует очевидная естественная упорядоченность порядковых чисел; поскольку это хороший порядок, он принадлежит порядковому номеру ${\displaystyle \Omega }$. Несложно доказать ( трансфинитная индукция ), что тип порядка естественного порядка на ординалах меньше заданного ординала ${\displaystyle \alpha }$ является ${\displaystyle \alpha }$ сам. Но это значит, что ${\displaystyle \Omega }$ это тип заказа ординалов ${\displaystyle <\Omega }$ и поэтому строго меньше, чем тип порядка всех ординалов, но последний по определению ${\displaystyle \Omega }$ сам!

Решение парадокса в NF (U) начинается с наблюдения, что тип порядка естественного порядка на ординалах меньше, чем ${\displaystyle \alpha }$ имеет более высокий тип, чем ${\displaystyle \alpha }$. Следовательно, уровень типа упорядоченная пара на два типа выше, чем тип его аргументов, а обычная упорядоченная пара Куратовского на четыре типа выше. Для любого типа заказа ${\displaystyle \alpha }$, мы можем определить тип заказа ${\displaystyle \alpha }$ на один тип выше: если ${\displaystyle W\in \alpha }$, тогда ${\displaystyle T(\alpha )}$ это тип заказа заказа ${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$. Тривиальность операции T только кажущаяся; легко показать, что T строго монотонный (сохранение порядка) операция над порядковыми числами.

Теперь лемму о порядковых типах можно переформулировать стратифицированным образом: порядковый тип естественного порядка на ординалах ${\displaystyle <\alpha }$ является ${\displaystyle T^{2}(\alpha )}$ или же ${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$в зависимости от того, какая пара используется (в дальнейшем мы предполагаем тип пары уровней). Из этого можно сделать вывод, что тип заказа в ординалах ${\displaystyle <\Omega }$ является ${\displaystyle T^{2}(\Omega )}$, и поэтому ${\displaystyle T^{2}(\Omega )<\Omega }$. Следовательно, операция T не является функцией; не может быть строго монотонной карты набора от ординалов к ординалам, которая отправляет порядковый номер вниз! Поскольку T монотонен, имеем ${\displaystyle \Omega >T^{2}(\Omega )>T^{4}(\Omega )\ldots }$, «убывающая последовательность» в порядковых номерах, которая не может быть набором.

Можно утверждать, что этот результат показывает, что ни одна модель NF (U) не является «стандартной», поскольку порядковые номера в любой модели NFU внешне неупорядочены. Необязательно занимать определенную позицию по этому поводу, но можно отметить, что это также теорема NFU, согласно которой любая модель множества NFU имеет неупорядоченные «порядковые номера»; NFU не заключает, что Вселенная V модель НФУ, несмотря на V быть набором, потому что отношение принадлежности не является отношением набора.

Для дальнейшего развития математики в NFU, по сравнению с развитием математики в ZFC, см. применение математики в теории множеств.

Система ML (математическая логика)

ML - это расширение NF, которое включает в себя как собственные классы, так и множества. Теория множеств первого издания 1940 г. Куайн с Математическая логика женился на Н.Ф. правильные классы из Теория множеств NBG, и включает схему аксиом неограниченного понимания для соответствующих классов. тем не мение Дж. Баркли Россер  (1942 ) доказал, что система, представленная в Математическая логика подвергался парадоксу Бурали-Форти. Этот результат не относится к NF. Хао Ван  (1950 ) показал, как изменить аксиомы Куайна для машинного обучения, чтобы избежать этой проблемы, и Куайн включил полученную аксиоматизацию во второе и последнее издание книги 1951 года. Математическая логика.

Ван доказал, что если NF непротиворечив, то и пересмотренный ML является непротиворечивым, а также показал, что пересмотренный ML может доказать непротиворечивость NF, то есть NF и пересмотренный ML равносогласованы.

Модели НФУ

Существует довольно простой способ изготовления моделей НФУ оптом. Используя известные техники теория моделей, можно построить нестандартную модель Теория множеств Цермело (для базовой техники не требуется ничего такого же сильного, как полный ZFC), на котором есть внешний автоморфизм j (не набор модели), который перемещает классифицировать ${\displaystyle V_{\alpha }}$ совокупного иерархия наборов. Без ограничения общности мы можем предположить, что ${\displaystyle j(\alpha )<\alpha }$. Мы говорим о автоморфизм перемещение ранга, а не порядкового номера, потому что мы не хотим предполагать, что каждый порядковый номер в модели является индексом ранга.

Доменом модели НФУ будет нестандартный ранг ${\displaystyle V_{\alpha }}$. Отношения членства в модели NFU будут

• ${\displaystyle x\in _{NFU}y\equiv _{def}j(x)\in y\wedge y\in V_{j(\alpha )+1}.}$

Теперь можно доказать, что это на самом деле модель НФУ. Позволять ${\displaystyle \phi }$ быть стратифицированной формулой на языке НФУ. Выберите присвоение типов всем переменным в формуле, свидетельствующее о том, что она стратифицирована. Выберите натуральное число N больше, чем все типы, присвоенные переменным этой стратификацией.

Разверните формулу ${\displaystyle \phi }$ в формулу ${\displaystyle \phi _{1}}$ на языке нестандартной модели Теория множеств Цермело с автоморфизм j используя определение принадлежности к модели НФУ. Применение любой мощности j к обеим сторонам уравнения или утверждения членства сохраняет свою значение истины потому что j это автоморфизм. Сделайте такое приложение каждому атомная формула в ${\displaystyle \phi _{1}}$ таким образом, чтобы каждая переменная Икс присвоенный тип я происходит с точно ${\displaystyle N-i}$ применения j. Это возможно благодаря форме атомарных заявлений о членстве, полученных из заявлений о членстве в NFU, и стратифицируемой формуле. Каждое количественное предложение ${\displaystyle (\forall x\in V_{\alpha }.\psi (j^{N-i}(x)))}$ можно преобразовать в форму ${\displaystyle (\forall x\in j^{N-i}(V_{\alpha }).\psi (x))}$ (и аналогично для экзистенциальные кванторы ). Проделаем это преобразование всюду и получим формулу ${\displaystyle \phi _{2}}$ в котором j никогда не применяется к связанной переменной.

Выберите любую свободную переменную у в ${\displaystyle \phi }$ присвоенный тип я. Подать заявление ${\displaystyle j^{i-N}}$ равномерно ко всей формуле, чтобы получить формулу ${\displaystyle \phi _{3}}$ в котором у появляется без какого-либо применения j. Сейчас же ${\displaystyle \{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\}}$ существует (потому что j применяется только к свободным переменным и константам), принадлежит ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$, и содержит именно те у которые удовлетворяют исходной формуле${\displaystyle \phi }$ в модели НФУ. ${\displaystyle j(\{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\})}$ имеет это расширение в модели НФУ (применение j исправляет различное определение принадлежности к модели NFU). Это устанавливает, что Стратифицированное понимание держится в модели НФУ.

Чтобы увидеть эту слабую Расширяемость выполняется просто: каждый непустой элемент ${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$ наследует уникальное расширение от нестандартной модели, пустой набор также наследует свое обычное расширение, а все остальные объекты являются элементами.

Основная идея состоит в том, что автоморфизм j кодирует "силовой набор" ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ нашей "вселенной" ${\displaystyle V_{\alpha }}$ в его внешне изоморфную копию ${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$ внутри нашей «вселенной». Остальные объекты, не кодирующие подмножества юниверса, рассматриваются как урэлементы.

Если ${\displaystyle \alpha }$ это натуральное число п, мы получаем модель NFU, которая утверждает, что Вселенная конечна (конечно, внешне бесконечна). Если ${\displaystyle \alpha }$ бесконечно и Выбор в нестандартной модели ZFC, получается модель NFU + бесконечность + Выбор.

Самодостаточность математических основ в НФУ

Из философских соображений важно отметить, что работать в ZFC или любую связанную систему для проведения этого доказательства. Распространенный аргумент против использования NFU в качестве основы математики заключается в том, что причины полагаться на него связаны с интуицией, что ZFC верна. Достаточно принять ТСТ (собственно ТГТУ). В общих чертах: возьмем теорию типов ТГТУ (с учетом элементов каждого положительного типа) в качестве метатеории и рассмотрим теорию моделей множеств ТГТУ в ТГТУ (эти модели будут последовательностями множеств). ${\displaystyle T_{i}}$ (все однотипные в метатеории) с вложениями каждого ${\displaystyle P(T_{i})}$ в ${\displaystyle P_{1}(T_{i+1})}$ кодирующие вложения мощного множества ${\displaystyle T_{i}}$ в ${\displaystyle T_{i+1}}$ в типичной манере). Учитывая вложение ${\displaystyle T_{0}}$ в ${\displaystyle T_{1}}$ (идентифицируя элементы базового «типа» с подмножествами базового типа), вложения могут быть определены из каждого «типа» в его преемник естественным образом. Это можно обобщить на трансфинитные последовательности ${\displaystyle T_{\alpha }}$ с осторожностью.

Обратите внимание, что построение таких последовательностей наборов ограничено размером типа, в котором они создаются; это мешает ТГТУ доказать свою непротиворечивость (ТГТУ + бесконечность может доказать непротиворечивость ТГТУ; доказать непротиворечивость ТГТУ +бесконечность нужен тип, содержащий набор мощности ${\displaystyle \beth _{\omega }}$, существование которых невозможно доказать в ТГТУ +бесконечность без более сильных предположений). Теперь те же результаты теории моделей можно использовать для построения модели NFU и проверки того, что это модель NFU во многом таким же образом, с ${\displaystyle T_{\alpha }}$используется вместо ${\displaystyle V_{\alpha }}$ в обычной конструкции. Последний шаг - заметить, что, поскольку NFU согласован, мы можем отказаться от использования абсолютных типов в нашей метатеории, перенеся метатеорию из TSTU в NFU.

Факты об автоморфизме j

В автоморфизм j модели такого рода тесно связаны с определенными естественными операциями в СФУ. Например, если W это хороший порядок в нестандартной модели (здесь предполагается, что мы используем Пары Куратовского так что кодирование функций в двух теориях до некоторой степени согласуется), что также является хорошим упорядочением в NFU (все хорошие упорядочения NFU являются хорошими упорядочениями в нестандартной модели теории множеств Цермело, но не наоборот, из-за образования урэлементы при построении модели), и W имеет тип α в NFU, то j(W) будет хорошо упорядоченным типом Т(α) в НФУ.

Фактически, j кодируется функцией в модели NFU. Функция в нестандартной модели, которая отправляет синглтон любого элемента ${\displaystyle V_{j(\alpha )}}$ к своему единственному элементу, становится в NFU функцией, которая отправляет каждый синглтон {Икс}, куда Икс любой объект во вселенной, чтобы j(Икс). Вызовите эту функцию Эндо и пусть он имеет следующие свойства: Эндо является инъекция из множества синглтонов в множество множеств со свойством, что Эндо( {Икс} ) = {Эндо( {у} ) | у∈Икс} для каждого набора Икс. Эта функция может определять отношение «принадлежности» на уровне типа к юниверсу, воспроизводящее отношение принадлежности исходной нестандартной модели.

Сильные аксиомы бесконечности

В этом разделе рассматривается эффект добавления различных «сильных аксиом бесконечности» к нашей обычной базовой теории NFU +. бесконечность + Выбор. Эта базовая теория, известная как последовательная, имеет такую ​​же силу, что и TST + бесконечность, или теории множеств Цермело с Разделение ограничены ограниченными формулами (теория множеств Мак-Лейна).

К этой базовой теории можно добавить сильные аксиомы бесконечности, знакомые по ZFC контекста, такого как «существует недоступный кардинал», но более естественно рассматривать утверждения о канторианских и сильно канторовских множествах. Такие утверждения не только вызывают к жизни большие кардиналы обычных видов, но укрепляют теорию на ее собственных условиях.

Самый слабый из обычных сильных принципов:

• Аксиома счета Россера. Множество натуральных чисел - строго канторово множество.

Чтобы узнать, как натуральные числа определены в NFU, см. теоретико-множественное определение натуральных чисел. Первоначальной формой этой аксиомы, данной Россером, было «множество {м|1≤м≤п} имеет п члены "для каждого натурального числа п. Это интуитивно очевидное утверждение не стратифицировано: в NFU доказуемо "множество {м|1≤м≤п} имеет ${\displaystyle T^{2}(n)}$ члены "(где Т операция на кардиналах определяется ${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$; это поднимает тип кардинала на единицу). Для любого кардинального числа (включая натуральные числа) для утверждения ${\displaystyle T(|A|)=|A|}$ эквивалентно утверждению, что множества А этой мощности являются канторианскими (обычным злоупотреблением языком мы называем таких кардиналов "канторианскими кардиналами"). Несложно показать, что утверждение о том, что каждое натуральное число является канторовым, эквивалентно утверждению о том, что множество всех натуральных чисел является строго канторовым.

Подсчет совместим с NFU, но заметно увеличивает прочность консистенции; не в области арифметики, как можно было бы ожидать, а в теории множеств высшего порядка. NFU + бесконечность доказывает, что каждый ${\displaystyle \beth _{n}}$ существует, но не то ${\displaystyle \beth _{\omega }}$ существуют; NFU + Подсчет (легко) доказывает бесконечность, и дополнительно доказывает существование ${\displaystyle \beth _{\beth _{n}}}$ для каждого n, но не существование ${\displaystyle \beth _{\beth _{\omega }}}$. (Видеть числа Бет ).

Подсчет сразу означает, что не нужно присваивать типы переменным, ограниченным набором ${\displaystyle N}$ натуральных чисел для стратификации; это теорема, что набор мощности строго канторовского множества является строго канторовским, поэтому в дальнейшем нет необходимости присваивать типы переменным, ограниченным каким-либо итерационным набором степеней натуральных чисел, или такими знакомыми наборами, как набор действительных чисел, набор функций от вещественных до реалы и т. д. Теоретико-множественная сила Подсчет менее важен на практике, чем удобство отсутствия аннотации переменных, которые, как известно, имеют значения натурального числа (или связанных видов значений), с помощью одноэлементных скобок или применения Т операция для получения определений стратифицированного множества.

Подсчет подразумевает бесконечность; каждая из следующих аксиом должна быть присоединена к NFU + бесконечность получить эффект сильных вариантов бесконечность; Али Энаят исследовал силу некоторых из этих аксиом в моделях NFU + «Вселенная конечна».

Построенная выше модель удовлетворяет Подсчет на всякий случай автоморфизм j фиксирует все натуральные числа в базовой нестандартной модели теории множеств Цермело.

Следующая сильная аксиома, которую мы рассматриваем, - это

• Аксиома сильно канторовского разделения: Для любого строго канторовского множества А и любая формула ${\displaystyle \phi }$ (не обязательно стратифицированный!) множество {Икс∈А| φ} существует.

Непосредственные последствия включают математическую индукцию для нестратифицированных условий (что не является следствием Подсчет; многие, но не все нестратифицированные примеры индукции по натуральным числам следуют из Подсчет).

Эта аксиома на удивление сильна. Неопубликованные работы Роберт Соловей показывает, что сила непротиворечивости теории NFU * = NFU + Подсчет + Сильно канторианское разделение совпадает с теорией множеств Цермело + ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ Замена.

Эта аксиома верна в построенной выше модели (с Выбор), если порядковые номера, которые фиксируются j и доминируют только ординалы, фиксированные j в базовой нестандартной модели теории множеств Цермело являются стандартными, и набор степеней любого такого ординала в модели также является стандартным. Это условие достаточно, но не обязательно.

Далее идет

• Аксиома канторовских множеств: Любое канторовское множество строго канторово.

Это очень простое и привлекательное утверждение чрезвычайно сильное. Соловей показал точную эквивалентность силы согласованности теории NFUA = NFU + бесконечность + Канторианские наборы со схемой ZFC +, утверждающей существование п-Мало кардинал для каждого конкретного натурального числа п. Али Энаят показал, что теория канторовских классов эквивалентности хорошо обоснованных экстенсиональных отношений (которая дает естественную картину начального сегмента кумулятивной иерархии ZFC) интерпретирует расширение ZFC с помощью п-Мало кардиналов напрямую. Техника перестановки может быть применена к модели этой теории, чтобы дать модель, в которой наследственно сильно канторовские множества с обычной моделью отношения принадлежности являются сильным расширением ZFC.

Эта аксиома верна в построенной выше модели (с Выбор) на всякий случай порядковые номера фиксируются j в базовой нестандартной модели ZFC являются начальным (собственным классом) сегментом порядковых номеров модели.

Далее рассмотрим

• Аксиома канторианского разделения: Для любого канторовского множества A и любой формулы ${\displaystyle \phi }$ (не обязательно стратифицированный!) множество {Икс∈А| φ} существует.

Это объединяет эффект двух предыдущих аксиом и на самом деле даже сильнее (точно неизвестно, как). Нестратифицированная математическая индукция позволяет доказать, что существуют п-Мало кардиналов для каждого п, данный Канторианские наборы, что дает расширение ZFC это даже сильнее, чем предыдущий, который только утверждает, что есть п-Махлос для каждого конкретного натурального числа (оставляя открытой возможность нестандартных контрпримеров).

Эта аксиома будет выполняться в модели описанного выше типа, если каждый ординал фиксируется j является стандартным, и каждый набор мощности порядкового номера, установленного j также является стандартным в базовой модели ZFC. Опять же, этого условия достаточно, но не обязательно.

Ординал называется Канторианский если это исправлено Т, и строго канторианский если он доминирует только с канторианскими ординалами (это подразумевает, что он сам является канторианским). В моделях подобного типа, построенных выше, канторовские ординалы NFU соответствуют ординалам, фиксируемым j (это не одни и те же объекты, потому что в двух теориях используются разные определения порядковых чисел).

По силе Канторианские наборы это

• Аксиома больших порядков: Для каждого неканторианского порядкового номера. ${\displaystyle \alpha }$, есть натуральное число п такой, что ${\displaystyle T^{n}(\Omega )<\alpha }$.

Напомним, что ${\displaystyle \Omega }$ - это тип естественного порядка для всех ординалов. Это только подразумевает Канторианские наборы если у нас есть Выбор (но в любом случае находится на этом уровне прочности). Примечательно, что можно даже определить ${\displaystyle T^{n}(\Omega )}$: это пый срок ${\displaystyle s_{n}}$ любой конечной последовательности ординалов s длины п такой, что ${\displaystyle s_{0}=\Omega }$, ${\displaystyle s_{i+1}=T(s_{i})}$ для каждого соответствующего я. Это определение совершенно нестратифицированное. Уникальность ${\displaystyle T^{n}(\Omega )}$ можно доказать (для тех п для которого оно существует), и можно провести определенное количество здравых рассуждений по поводу этого понятия, достаточно, чтобы показать, что Большие ординалы подразумевает Канторианские наборы в присутствии Выбор. Несмотря на запутанное формальное утверждение этой аксиомы, это очень естественное предположение, равносильное тому, что действие Т по порядковым номерам как можно проще.

Построенная выше модель удовлетворяет Большие ординалы, если порядковые номера перемещены на j именно ординалы доминируют в некоторых ${\displaystyle j^{-i}(\alpha )}$ в базовой нестандартной модели ZFC.

• Аксиома малых порядков: Для любой формулы φ существует множество А такие, что элементы А которые являются строго канторовскими ординалами, в точности являются строго канторовыми ординалами, такими что φ.

Соловей показал точную эквивалентность прочности согласованности NFUB = NFU + бесконечность + Канторианские наборы + Маленькие ординалы с Теория множеств Морса – Келли плюс утверждение, что правильный порядковый номер класса (класс всех ординалов) является слабо компактный кардинал. Это действительно очень сильно! Кроме того, NFUB-, который является NFUB с Канторианские наборы опущено, легко увидеть, что он имеет ту же силу, что и NFUB.

Модель подобного типа, построенная выше, будет удовлетворять этой аксиоме, если каждый набор ординалов фиксируется j является пересечением некоторого набора ординалов с ординалами, фиксированными j, в базовой нестандартной модели ZFC.

Еще сильнее теория NFUM = NFU + бесконечность + Большие ординалы + Маленькие ординалы. Это эквивалентно Теория множеств Морса – Келли с предикатом на классах, который является κ-полным неглавным ультрафильтр на порядковом собственном классе κ; по сути, это теория множеств Морса – Келли + "надлежащий ординал класса является измеримый кардинал "!

Технические детали здесь не главное, а именно то, что разумные и естественные (в контексте NFU) утверждения оказываются эквивалентными по мощности очень сильным аксиомам бесконечности в ZFC контекст. Этот факт связан с корреляцией между существованием моделей НФУ, описанных выше и удовлетворяющих этим аксиомам, и существованием моделей ZFC с автоморфизмы обладающие особыми свойствами.

Смотрите также

• Альтернативная теория множеств
• Аксиоматическая теория множеств
• Применение математики в теории множеств
• Положительная теория множеств
• Теоретико-множественное определение натуральных чисел

Примечания

1. Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным множеством. Academia-Bruylant.
2. Новые основы Куайна - Стэнфордская энциклопедия философии
3. Хайльперин, Т (1944). «Набор аксиом для логики». Журнал символической логики. 9 (1): 1–19. Дои:10.2307/2267307. JSTOR  2267307.
4. Хайльперин, Т (1944). «Набор аксиом для логики». Журнал символической логики. 9 (1): 1–19. Дои:10.2307/2267307. JSTOR  2267307.
5. Фентон, Скотт, 2015. Домашняя страница New Foundations Explorer.
6. http://www.dpmms.cam.ac.uk/~tf/cartesian-closed.pdf

Рекомендации

• Краббе, Марсель (1982). "О непротиворечивости предсказательного фрагмента НФ Куайна". Журнал символической логики. 47 (1): 131–136. Дои:10.2307/2273386. JSTOR  2273386.
• Форстер, Т. Э. (1992), Теория множеств с универсальным набором. Изучение нетипизированной вселенной, Oxford Science Publications, Oxford Logic Guides, 20, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN  0-19-853395-0, МИСТЕР  1166801
• Холмс, М. Рэндалл (1998), Теория элементарных множеств с универсальным множеством (PDF), Cahiers du Centre de Logique, 10, Лувен-ла-Нев: Католический университет Лувена, Департамент философии, ISBN  2-87209-488-1, МИСТЕР  1759289
• Дженсен, Р. Б. (1969), "О непротиворечивости небольшой (?) Модификации НФ Куайна", Синтез, 19 (1/2): 250–63, Дои:10.1007 / bf00568059, JSTOR  20114640 С обсуждением Куайна.
• Куайн, В. В. (1937), "Новые основы математической логики", Американский математический ежемесячник, Математическая ассоциация Америки, 44 (2): 70–80, Дои:10.2307/2300564, JSTOR  2300564
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1940), Математическая логика (первое издание), Нью-Йорк: W. W. Norton & Co., Inc., МИСТЕР  0002508
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1951), Математическая логика (Пересмотренное издание), Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, ISBN  0-674-55451-5, МИСТЕР  0045661
• Куайн, В.В., 1980, "Новые основы математической логики" в С логической точки зрения2-е изд., Перераб. Harvard Univ. Пресс: 80-101. Окончательная версия того, с чего все началось, а именно статья Куайна 1937 года в Американский математический ежемесячный журнал.
• Россер, Баркли (1942), «Парадокс Бурали-Форти», Журнал символической логики, 7 (1): 1–17, Дои:10.2307/2267550, JSTOR  2267550, МИСТЕР  0006327
• Ван, Хао (1950), "Формальная система логики", Журнал символической логики, 15 (1): 25–32, Дои:10.2307/2268438, JSTOR  2268438, МИСТЕР  0034733
• Холмс, М. Рэндалл (2008). "Симметрия как критерий понимания, мотивирующего новые основы Куайна"'". Studia Logica. 88 (2): 195–213. Дои:10.1007 / s11225-008-9107-8.

внешняя ссылка

• «Обогащенные стратифицированные системы для основ теории категорий» к Соломон Феферман (2011)
• Стэнфордская энциклопедия философии:
  • Новые основы Куайна - Томас Форстер.
  • Альтернативные аксиоматические теории множеств - Рэндалл Холмс.
• Рэндалл Холмс: Домашняя страница New Foundations.
• Рэндалл Холмс: Библиография теории множеств с универсальным множеством.
• Рэндалл Холмс: «Новые основы» Куайна последовательны