Аксиома бесконечности - Axiom of infinity

В аксиоматическая теория множеств и ветви математика и философия которые его используют, аксиома бесконечности один из аксиомы из Теория множеств Цермело – Френкеля. Гарантирует наличие хотя бы одного бесконечный набор, а именно набор, содержащий натуральные числа. Впервые он был опубликован Эрнст Цермело как часть его теория множеств в 1908 г.^[1]

Официальное заявление

в формальный язык аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

${\displaystyle \exists \mathbf {I} \,(\emptyset \in \mathbf {I} \,\land \,\forall x\in \mathbf {I} \,(\,(x\cup \{x\})\in \mathbf {I} )).}$

Прописью, есть а набор я (множество, которое постулируется как бесконечное), такое что пустой набор в я, и такой, что всякий раз Икс является членом я, множество, образованное взятием союз из Икс с этими одиночка {Икс} также является членом я. Такой набор иногда называют индуктивный набор.

Толкование и последствия

Эта аксиома тесно связана с Построение фон Неймана натуральных чисел в теории множеств, в которой преемник из Икс определяется как Икс ∪ {Икс}. Если Икс является множеством, то из других аксиом теории множеств следует, что этот последователь также является однозначно определенным множеством. Преемники используются для определения обычного теоретико-множественного кодирования натуральные числа. В этой кодировке ноль - это пустой набор:

0 = {}.

Число 1 является преемником 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Аналогично, 2 является преемником 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = { {}, {{}} },

и так далее:

3 = {0,1,2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0,1,2,3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

Следствием этого определения является то, что каждое натуральное число равно множеству всех предшествующих натуральных чисел. Количество элементов в каждом наборе на верхнем уровне такое же, как представленное натуральное число, а глубина вложенности наиболее глубоко вложенного пустого набора {}, включая его вложение в набор, который представляет количество, которое он часть также равна натуральному числу, которое представляет набор.

Эта конструкция образует натуральные числа. Однако других аксиом недостаточно для доказательства существования множества все натуральные числа, ℕ₀. Поэтому его существование принимается за аксиому - аксиому бесконечности. Эта аксиома утверждает, что существует множество я который содержит 0 и является закрыто при операции принятия правопреемника; то есть для каждого элемента я, преемник этого элемента также находится в я.

Таким образом, суть аксиомы такова:

Есть набор, я, который включает в себя все натуральные числа.

Аксиома бесконечности также является одной из аксиомы фон Неймана – Бернейса – Гёделя.

Извлечение натуральных чисел из бесконечного множества

Бесконечное множество я является надмножеством натуральных чисел. Чтобы показать, что натуральные числа сами по себе составляют множество, схема аксиомы спецификации можно применить для удаления нежелательных элементов, оставив набор N всех натуральных чисел. Этот набор уникален аксиома протяженности.

Чтобы извлечь натуральные числа, нам нужно определить, какие множества являются натуральными числами. Натуральные числа могут быть определены способом, который не предполагает никаких аксиом, кроме аксиома протяженности и аксиома индукции - натуральное число либо равно нулю, либо является наследником, и каждый из его элементов равен нулю или является преемником другого его элемента. На формальном языке определение гласит:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}$

Или, еще более формально:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\land }$

${\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}$

Альтернативный метод

Альтернативный способ - следующий. Позволять ${\displaystyle \Phi (x)}$ быть формулой, которая говорит: «x является индуктивным»; т.е. ${\displaystyle \Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))}$. Неформально, что мы сделаем, это пересечем все индуктивные множества. Более формально мы хотим доказать существование единственного множества ${\displaystyle W}$ такой, что

${\displaystyle \forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).}$ (*)

Для существования мы будем использовать Аксиому Бесконечности в сочетании с Схема аксиомы спецификации. Позволять ${\displaystyle I}$ - индуктивное множество, гарантированное Аксиомой бесконечности. Затем мы используем схему спецификации аксиом, чтобы определить наш набор ${\displaystyle W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}}$ - т.е. ${\displaystyle W}$ это набор всех элементов ${\displaystyle I}$ которые также являются элементами любого другого индуктивного множества. Это явно удовлетворяет гипотезе (*), так как если ${\displaystyle x\in W}$, тогда ${\displaystyle x}$ находится в каждом индуктивном множестве, и если ${\displaystyle x}$ находится в каждом индуктивном множестве, в частности, в ${\displaystyle I}$, поэтому он также должен быть в ${\displaystyle W}$.

Для уникальности сначала заметьте, что любой набор, удовлетворяющий (*), сам по себе является индуктивным, поскольку 0 присутствует во всех индуктивных наборах, и если элемент ${\displaystyle x}$ присутствует во всех индуктивных множествах, то по индуктивному свойству - его преемник. Таким образом, если бы был другой набор ${\displaystyle W'}$ который удовлетворяет (*), мы имели бы, что ${\displaystyle W'\subseteq W}$ поскольку ${\displaystyle W}$ индуктивно, и ${\displaystyle W\subseteq W'}$ поскольку ${\displaystyle W'}$ индуктивно. Таким образом ${\displaystyle W=W'}$. Позволять ${\displaystyle \omega }$ обозначим этот уникальный элемент.

Это определение удобно, потому что принцип индукции сразу следует: Если ${\displaystyle I\subseteq \omega }$ индуктивно, то также ${\displaystyle \omega \subseteq I}$, так что ${\displaystyle I=\omega }$.

Оба эти метода производят системы, удовлетворяющие аксиомам арифметика второго порядка, поскольку аксиома власти позволяет нам количественно оценить набор мощности из ${\displaystyle \omega }$, как в логика второго порядка. Таким образом, они оба полностью определяют изоморфный систем, и поскольку они изоморфны относительно карта идентичности, они на самом деле должны быть равный.

Очевидно более слабая версия

В некоторых старых текстах используется явно более слабая версия аксиомы бесконечности, а именно:

${\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subseteq z\,\land \,y\neq z)))\,.}$

Это говорит о том, что в Икс и для каждого элемента у из Икс есть еще один элемент Икс который является строгим надмножеством у. Отсюда следует, что Икс представляет собой бесконечное множество, не говоря уже о его структуре. Однако с помощью других аксиом ZF мы можем показать, что это влечет существование ω. Во-первых, если мы возьмем мощность любого бесконечного множества Икс, то этот набор мощности будет содержать элементы, которые являются подмножествами Икс каждого конечного мощность (среди других подмножеств Икс). Для доказательства существования этих конечных подмножеств может потребоваться аксиома разделения или аксиомы спаривания и объединения. Затем мы можем применить аксиому замены, чтобы заменить каждый элемент этого набора степеней Икс посредством исходный порядковый номер той же мощности (или нулевой, если такого порядкового номера нет). Результатом будет бесконечный набор порядковых номеров. Затем мы можем применить к этому аксиому объединения, чтобы получить порядковый номер, больший или равный ω.

Независимость

Аксиома бесконечности не может быть доказана из других аксиом ZFC, если они согласованы (чтобы понять, почему, обратите внимание, что ZFC ${\displaystyle \vdash }$ Con (ZFC - Infinity) и используйте Gödel's Вторая теорема о неполноте.)

Отрицание аксиомы бесконечности не может быть выведено из остальных аксиом ZFC, если они согласованы. (Это равносильно утверждению, что ZFC непротиворечива, если другие аксиомы непротиворечивы.) Мы верим в это, но не можем это доказать (если это правда).

Действительно, используя Вселенная фон Неймана, мы можем построить модель ZFC - Infinity + (¬Infinity). это ${\displaystyle V_{\omega }\!}$, класс наследственно конечные множества, с унаследованным отношением членства. Обратите внимание, что если аксиома пустого множества не принимается как часть этой системы (поскольку она может быть получена из ZF + Infinity), то пустой домен также удовлетворяет ZFC - Infinity + ¬Infinity, поскольку все его аксиомы универсально количественно определены и, следовательно, тривиально удовлетворяются, если набор не существует.

Мощность множества натуральных чисел, алеф нуль (${\displaystyle \aleph _{0}}$), обладает многими свойствами большой кардинал. Таким образом, аксиому бесконечности иногда считают первой. аксиома большого кардинала, и наоборот, большие кардинальные аксиомы иногда называют более сильными аксиомами бесконечности.

Смотрите также

• Аксиомы Пеано
• Финитизм

Рекомендации

1. Цермело: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, в: Mathematische Annalen 65 (1908), 261–281; Axiom des Unendlichen с. 266f.

• Пол Халмос (1960) Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: Компания D. Van Nostrand. Перепечатано в 1974 году издательством Springer-Verlag. ISBN  0-387-90092-6.
• Томас Джеч (2003) Теория множества: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer-Verlag. ISBN  3-540-44085-2.
• Кеннет Кунен (1980) Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9.
• Хрбачек, Карел; Jech, Thomas (1999). Введение в теорию множеств (3-е изд.). Марсель Деккер. ISBN  0-8247-7915-0.