Теория множеств Морса – Келли - Morse–Kelley set theory

в основы математики, Теория множеств Морса – Келли (МК), Теория множеств Келли – Морса (Км), Теория множеств Морса – Тарского (MT), Теория множеств Куайна – Морса (QM) или система Куайна и Морса это первый заказ аксиоматическая теория множеств это тесно связано с теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG). Хотя теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя ограничивает связанные переменные в схематической формуле, появляющейся в схема аксиомы из Понимание класса чтобы пробегать только множества, теория множеств Морса – Келли позволяет этим связанным переменным пробегать правильные классы а также наборы, как впервые предложил Куайн в 1940 году для его системы ML.

Теория множеств Морса – Келли названа в честь математиков. Джон Л. Келли и Энтони Морс и был впервые изложен Ван (1949) а позже в приложении к учебнику Келли Общая топология (1955), введение в топология. Келли сказал, что система в его книге была вариантом систем из-за Торальф Сколем и Морс. Собственная версия Морса появилась позже в его книге. Теория множеств (1965).

В то время как теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя является консервативное расширение из Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC, каноническая теория множеств) в том смысле, что утверждение на языке ZFC доказуемо в NBG тогда и только тогда, когда оно доказуемо в ZFC, теория множеств Морса – Келли является правильное расширение ZFC. В отличие от теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя, где схему аксиом понимания классов можно заменить конечным числом ее примеров, теорию множеств Морса – Келли нельзя аксиоматизировать с конечной аксиоматизацией.

Аксиомы и онтология МК

NBG и МК разделяют общие онтология. В вселенная дискурса состоит из классы. Классы, которые являются членами других классов, называются наборы. Класс, который не является набором, является правильный класс. Примитивный атомарные предложения предполагают членство или равенство.

За исключением понимания класса, следующие аксиомы такие же, как и для NBG, в сторону несущественных подробностей. В символических версиях аксиом используются следующие средства записи:

• Заглавные буквы, кроме M, появляющиеся в Extensionality, Class Computing и Foundation, обозначают переменные в пределах классов. Строчная буква обозначает переменную, которая не может быть правильный класс, потому что он появляется слева от an ∈. Поскольку МК представляет собой односортированную теорию, это условное обозначение мнемонический.
• В монадический предикат ${\displaystyle \ Mx,}$ чье предполагаемое чтение - "класс Икс это набор ", сокращенно ${\displaystyle \exists W(x\in W).}$
• В пустой набор ${\displaystyle \varnothing }$ определяется ${\displaystyle \forall x(x\not \in \varnothing ).}$
• Класс V, то универсальный класс имеющий все возможные наборы в качестве членов, определяется ${\displaystyle \forall x(Mx\to x\in V).}$ V также Вселенная фон Неймана.

Расширяемость: Классы, имеющие одинаковые члены, являются одним и тем же классом.

${\displaystyle \forall X\,\forall Y\,(\forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y).}$

Набор и класс, имеющие одинаковое расширение, идентичны. Следовательно, МК не является двоякой теорией, несмотря на видимость обратного.

Фонд: Каждый непустой класс А является непересекающийся хотя бы от одного из его членов.

${\displaystyle \forall A[A\not =\varnothing \rightarrow \exists b(b\in A\land \forall c(c\in b\rightarrow c\not \in A))].}$

Понимание класса: Пусть φ (Икс) - любая формула языка МК, в которой Икс это свободная переменная и Y не бесплатно. φ (Икс) могут содержать параметры, которые являются либо наборами, либо собственными классами. Более того, количественные переменные в φ (Икс) может охватывать все классы, а не только все наборы; это единственное отличие МК от NBG. Тогда существует учебный класс ${\displaystyle Y=\{x\mid \phi (x)\}}$ чьи члены - это именно те наборы Икс такой, что ${\displaystyle \phi (x)}$ оказывается правдой. Формально, если Y несвободен в φ:

${\displaystyle \forall W_{1}...W_{n}\exists Y\forall x[x\in Y\leftrightarrow (\phi (x,W_{1},...W_{n})\land Mx)].}$

Сопряжение: Для любых комплектов Икс и у, существует множество ${\displaystyle z=\{x,y\}}$ члены которого точно Икс и у.

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,[(Mx\land My)\rightarrow \exists z\,(Mz\land \forall s\,[s\in z\leftrightarrow (s=x\,\lor \,s=y)])].}$

Сопряжение лицензирует неупорядоченную пару, в соответствии с которой упорядоченная пара, ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$, можно определить обычным образом, как ${\displaystyle \ \{\{x\},\{x,y\}\}}$. Имея в руках упорядоченные пары, понимание классов позволяет определять связи и функции на множествах как множествах упорядоченных пар, что делает возможной следующую аксиому:

Ограничение размера: C это правильный класс если и только если V возможно сопоставлен один к одному в C.

${\displaystyle {\begin{array}{l}\forall C[\lnot MC\leftrightarrow \exists F(\forall x[Mx\rightarrow \exists s(s\in C\land \langle x,s\rangle \in F)]\land \\\qquad \forall x\forall y\forall s[(\langle x,s\rangle \in F\land \langle y,s\rangle \in F)\rightarrow x=y])].\end{array}}}$

Формальная версия этой аксиомы напоминает схема аксиомы замены, и воплощает функцию класса F. В следующем разделе объясняется, почему ограничение размера сильнее, чем обычные формы аксиома выбора.

Набор мощности: Позволять п быть классом, члены которого все возможные подмножества из набора а. потом п это набор.

${\displaystyle \forall a\,\forall p\,[(Ma\land \forall x\,[x\in p\leftrightarrow \forall y\,(y\in x\rightarrow y\in a)])\rightarrow Mp].}$

Союз: Позволять ${\displaystyle s=\bigcup a}$ - класс суммы множества а, а именно союз всех членов а. потом s это набор.

${\displaystyle \forall a\,\forall s\,[(Ma\land \forall x\,[x\in s\leftrightarrow \exists y\,(x\in y\land y\in a)])\rightarrow Ms].}$

бесконечность: Существует индуктивное множество у, что означает, что (i) пустой набор является членом у; (ii) если Икс является членом у, то так ${\displaystyle x\cup \{x\}.}$.

${\displaystyle \exists y[My\land \varnothing \in y\land \forall z(z\in y\rightarrow \exists x[x\in y\land \forall w(w\in x\leftrightarrow [w=z\lor w\in z])])].}$

Обратите внимание, что п и s в Наборе Власти и Союзе универсально, а не экзистенциально, количественно, поскольку Понимания Класса достаточно, чтобы установить существование п и s. Power Set и Union служат только для установления того, что п и s не может быть правильных классов.

Вышеупомянутые аксиомы разделяются с другими теориями множеств следующим образом:

• ZFC и NBG: Сопряжение, Power Set, Union, Infinity;
• NBG (и ZFC, если количественные переменные были ограничены наборами): Extensionality, Foundation;
• NBG: Ограничение размера.

Обсуждение

Монк (1980) и Рубин (1967) - это тексты теории множеств, построенные вокруг МК; Рубина онтология включает урэлементы. Эти авторы и Мендельсон (1997: 287) утверждают, что МК делает то, что ожидается от теории множеств, будучи менее громоздким, чем ZFC и NBG.

МК строго сильнее ZFC и его консервативное расширение NBG, другая известная теория множеств с правильные классы. Фактически, NBG - а значит, и ZFC - можно доказать непротиворечивым в MK. Сила MK проистекает из его схемы аксиом, заключающейся в том, что понимание классов непредсказуемый, что означает, что φ (Икс) может содержать количественные переменные, варьирующиеся по классам. Количественные переменные в схеме аксиом NBG для понимания классов ограничены наборами; следовательно, понимание классов в NBG должно быть предикативный. (Разделение по множествам по-прежнему не является предсказуемым в NBG, потому что кванторы в φ (Икс) может распространяться на все наборы.) Схема аксиомы NBG класса Computing может быть заменена конечным числом ее экземпляров; в МК это невозможно. MK согласован относительно ZFC, дополненный аксиомой, утверждающей существование сильно недоступные кардиналы.

Единственное преимущество аксиома ограничения размера в том, что это подразумевает аксиома глобального выбора. Ограничение размера не встречается у Рубина (1967), Монка (1980) или Мендельсона (1997). Вместо этого эти авторы ссылаются на обычную форму местного аксиома выбора, и «аксиома замены»,^[1] утверждая, что если домен функции класса - это множество, ее классифицировать тоже набор. Замена может доказать все, что доказывает ограничение размера, за исключением доказательства некоторой формы аксиома выбора.

Ограничение размера плюс я будучи набором (следовательно, вселенная непуста) делает доказуемой множественность пустого множества; следовательно, нет необходимости в аксиома пустого множества. Такая аксиома, конечно, может быть добавлена, и незначительные изменения вышеприведенных аксиом потребуют этого добавления. Набор я не отождествляется с предельный порядковый номер ${\displaystyle \omega ,}$ в качестве я может быть набор больше, чем ${\displaystyle \omega .}$ В этом случае наличие ${\displaystyle \omega }$ будет следовать из любой формы ограничения размера.

Класс ординалы фон Неймана возможно хорошо организованный. Это не может быть набором (под страхом парадокса); следовательно, этот класс - правильный класс, и все подходящие классы имеют тот же размер, что и V. Следовательно V тоже можно хорошо заказать.

МК можно спутать с ZFC второго порядка, ZFC с логика второго порядка (представляющие объекты второго порядка на языке множества, а не на языке предикатов) в качестве фоновой логики. Язык ZFC второго порядка аналогичен языку MK (хотя набор и класс с одинаковым расширением больше не могут быть идентифицированы), а их синтаксический ресурсы для практического доказательства почти идентичны (и идентичны, если MK включает строгую форму ограничения размера). Но семантика ZFC второго порядка существенно отличаются от MK. Например, если MK согласован, то он имеет счетную модель первого порядка, тогда как ZFC второго порядка не имеет счетных моделей.

Теория моделей

ZFC, NBG и MK имеют модели, описываемые в терминах V, то стандартная модель из ZFC и Вселенная фон Неймана. Пусть недоступный кардинал κ быть членом V. Также пусть Def (Икс) обозначим Δ₀ определяемый подмножества из Икс (видеть конструируемая вселенная ). Потом:

• V_κ является предполагаемая модель из ZFC;
• Def (V_κ) является предполагаемой моделью версии Мендельсона NBG который исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором;
• V_{κ + 1}, то набор мощности из V_κ, является предполагаемой моделью МК.

История

МК был впервые изложен в Ван (1949) и популяризируется в приложении к Дж. Л. Келли s (1955) Общая топология, используя аксиомы, приведенные в следующем разделе. Система Энтони Морса (1965) Теория множеств эквивалентен Келли, но сформулирован на идиосинкразическом формальном языке, а не, как это делается здесь, на стандартном логика первого порядка. Первая теория множеств, включающая непредсказуемый понимание класса было Куайн ML, который построен на Новые основы а не на ZFC.^[2] Предикативный понимание класса было также предложено в Мостовский (1951) и Льюис (1991).

Аксиомы Келли Общая топология

Аксиомы и определения в этом разделе, за исключением нескольких несущественных деталей, взяты из Приложения к Келли (1955). Приведенные ниже пояснительные замечания не его. Приложение содержит 181 теорему и определение и требует внимательного чтения как сокращенное изложение аксиоматической теории множеств работающим математиком первого ранга. Келли вводил свои аксиомы постепенно, по мере необходимости для развития тем, перечисленных после каждого случая Развивать ниже.

Появляющиеся ниже и теперь общеизвестные обозначения не определены. К особенностям нотации Келли можно отнести:

• Он сделал нет отличать переменные в пределах классов от переменных в пределах множеств;
• домен f и диапазон f обозначают область определения и диапазон функции ж; эта особенность была тщательно учтена ниже;
• Его примитивный логический язык включает рефераты классов формы ${\displaystyle \ \{x:A(x)\},}$ "класс всех наборов Икс удовлетворение А(Икс)."

Определение: Икс это набор (и, следовательно, не правильный класс ) если для некоторых у, ${\displaystyle x\in y}$.

I. Объем: Для каждого Икс и каждый у, х = у если и только если для каждого z, ${\displaystyle z\in x}$ когда и только когда ${\displaystyle z\in y.}$

Идентично Расширяемость над. я будет идентично аксиома протяженности в ZFC, за исключением того, что объем я включает в себя как классы, так и наборы.

II. Классификация (схема): Аксиома приводит, если в

Для каждого ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \beta \in \{\alpha :A\}}$ если и только если ${\displaystyle \beta }$ это набор и ${\displaystyle B,}$

'α' и 'β' заменяются переменными, ' А 'формулой и' B 'по формуле, полученной из Æ путем замены каждого вхождения переменной, которая заменила α, переменной, которая заменила β, при условии, что переменная, которая заменила β, не оказывается связанной в А.

Развивать: Boolean алгебра множеств. Существование нулевой класс и универсального класса V.

III. Подмножества: Если Икс это набор, существует набор у так что для каждого z, если ${\displaystyle z\subseteq x}$, тогда ${\displaystyle z\in y.}$

Импорт III это из Набор мощности над. Эскиз доказательства Power Set из III: для любого учебный класс z который является подклассом множества Икс, класс z является членом множества у чье существование III утверждает. Следовательно z это набор.

Развивать: V это не набор. Существование синглтоны. Разделение доказуемо.

IV. Союз: Если Икс и у оба множества, то ${\displaystyle x\cup y}$ это набор.

Импорт IV это из Сопряжение над. Набросок доказательства спаривания из IV: синглтон ${\displaystyle \{x\}}$ набора Икс является набором, потому что он является подклассом набора мощности Икс (двумя приложениями III). потом IV подразумевает, что ${\displaystyle \{x,y\}}$ это набор, если Икс и у есть наборы.

Развивать: Неупорядоченный и заказанные пары, связи, функции, домен, классифицировать, функциональная композиция.

V. Замена: Если ж является функцией [класса] и домен f это набор, то диапазон f это набор.

Импорт V это то из схема аксиомы замены в NBG и ZFC.

VI. Объединение: Если Икс это набор, то ${\displaystyle \bigcup x}$ это набор.

Импорт VI это из Союз над. IV и VI можно объединить в одну аксиому.^[3]

Развивать: Декартово произведение, инъекция, сюрприз, биекция, теория порядка.

VII. Регулярность: Если ${\displaystyle x\neq \varnothing }$ есть член у из Икс такой, что ${\displaystyle x\cap y=\varnothing .}$

Импорт VII это из Фонд над.

Развивать: Порядковые номера, трансфинитная индукция.

VIII. Бесконечность: Существует набор у, так что ${\displaystyle \varnothing \in y}$ и ${\displaystyle x\cup \{x\}\in y}$ в любое время ${\displaystyle x\in y.}$

Эта аксиома или ее эквиваленты включены в ZFC и NBG. VIII утверждает безусловное существование двух множеств, бесконечный индуктивный набор у, и нулевой набор ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle \varnothing }$ это набор просто потому, что он является членом у. До этого момента все, что было доказано, является классом, и обсуждение множеств Келли было полностью гипотетическим.

Развивать: Натуральные числа, N это набор, Аксиомы Пеано, целые числа, рациональное число, действительные числа.

Определение: c это функция выбора если c это функция и ${\displaystyle c(x)\in x}$ для каждого члена Икс из домен c.

IX. Выбор: Существует функция выбора c чей домен ${\displaystyle V-\{\varnothing \}.}$.

IX очень похож на аксиома глобального выбора полученный из Ограничение размера над.

Развивать: Эквиваленты аксиомы выбора. Как и в случае с ZFC, развитие Количественные числительные требует некоторой формы выбора.

Если объем всех количественных переменных в приведенных выше аксиомах ограничен наборами, все аксиомы, кроме III и схема IV аксиомы ZFC. IV доказуемо в ZFC. Отсюда трактовка Келли МК очень ясно дает понять, что все, что отличает МК от ZFC переменные в диапазоне правильные классы а также наборы и схему классификации.

Примечания

1. См., Например, Mendelson (1997), стр. 239, аксиома R.
2. В locus citandum для ML - это изд. 1951 г. из Куайн Математическая логика. Однако краткое изложение ML, данное в Mendelson (1997), p. 296, легче понять. Схема аксиом Мендельсона ML2 идентична приведенной выше схеме аксиом понимания классов.
3. Келли (1955), стр. 261, сл. †.

Рекомендации

• Джон Л. Келли 1975 (1955) Общая топология. Springer. Ранее изд. Van Nostrand. Приложение «Теория элементарных множеств».
• Леммон, Э. Дж. (1986) Введение в аксиоматическую теорию множеств. Рутледж и Кеган Пол.
• Дэвид К. Льюис (1991) Части классов. Оксфорд: Бэзил Блэквелл.
• Мендельсон, Эллиотт (1997). Введение в математическую логику. Чепмен и Холл. ISBN  0-534-06624-0. Окончательное рассмотрение тесно связанной теории множеств NBG, а затем страница о МК. Сложнее, чем Монах или Рубин.
• Монах, Дж. Дональд (1980) Введение в теорию множеств. Кригер. Проще и менее основательно, чем Рубин.
• Морс, А. П., (1965) Теория множеств. Академическая пресса.
• Мостовский, Анджей (1950), «Некоторые непонятные определения в аксиоматической теории множеств» (PDF), Fundamenta Mathematicae, 37: 111–124, Дои:10.4064 / FM-37-1-111-124.
• Рубин, Жан Э. (1967) Теория множеств для математика. Сан-Франциско: День Холдена. Более тщательный, чем Монах; онтология включает урэлементы.
• Ван, Хао (1949), «Об аксиомах Цермело и фон Неймана для теории множеств», Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ., 35: 150–155, Дои:10.1073 / pnas.35.3.150, JSTOR  88430, МИСТЕР  0029850, ЧВК  1062986, PMID  16588874.

внешняя ссылка

• Скачать Общая топология (1955) Джона Л. Келли в различных форматах. Приложение содержит аксиоматическое развитие МК Келли.

Из дискуссионной группы по основам математики (ФОМ):

• Аллен Хейзен по теории множеств с классами.
• Сомнения Джозефа Шенфилда по поводу МК.