Пересечение (теория множеств) - Intersection (set theory) - Wikipedia

Для более широкого освещения этой темы см. Пересечение (математика).

Пересечение двух множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, представленные кружками. ${\displaystyle A\cap B}$ красный.

В математика, то пересечение из двух наборы А и B, обозначаемый А ∩ B,^[1][2] это множество, содержащее все элементы А которые также принадлежат B (или, что то же самое, все элементы B которые также принадлежат А).^[3]

Обозначения и терминология

Пересечение пишется знаком «∩» между терминами; то есть в инфиксная запись. Например,

${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$

${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\emptyset }$

${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$

Пересечение более двух множеств (обобщенное пересечение) можно записать как^[1]

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$

что похоже на Обозначение заглавной буквы.

Для объяснения символов, используемых в этой статье, обратитесь к таблица математических символов.

Определение

Пересечение трех сетов:
${\displaystyle ~A\cap B\cap C}$

Пересечения Греческий, латинский и русский алфавит, учитывая только форму букв и игнорируя их произношение

Пример пересечения с множествами

Пересечение двух множеств А и B, обозначаемый А ∩ B,^[1][4] это набор всех объектов, которые являются членами обоих наборов А и B.В символах

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$

То есть, Икс является элементом пересечения А ∩ B, если и только если Икс одновременно является элементом А и элемент B.^[4]

Например:

• Пересечение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {2, 3}.
• Число 9 - это нет на пересечении множества простые числа {2, 3, 5, 7, 11, ...} и набор нечетные числа {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, потому что 9 не является простым числом.

Пересечение - это ассоциативный операция; то есть для любых наборов А, B, и C, надо А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C. Пересечение также коммутативный; для любого А и B, надо А ∩ B = B ∩ А. Таким образом, имеет смысл говорить о пересечении нескольких множеств. Пересечение А, B, C, и D, например, однозначно написано А ∩ B ∩ C ∩ D.

Внутри вселенной U, можно определить дополнять А^c из А быть набором всех элементов U не в А. Кроме того, пересечение А и B может быть написано как дополнение к союз их дополнений, легко получаемых из Законы де Моргана:
А ∩ B = (А^c ∪ B^c)^c

Пересекающиеся и непересекающиеся множества

Мы говорим что A пересекает (встречает) B в элементе x если Икс принадлежит А и B. Мы говорим что A пересекает (встречает) B если А пересекает B в некотором элементе. А пересекает B если их пересечение обитаемый.

Мы говорим что A и B являются непересекающийся если А не пересекается B. Проще говоря, у них нет общих элементов. А и B не пересекаются, если их пересечение пустой, обозначенный ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$.

Например, наборы {1, 2} и {3, 4} не пересекаются, а набор четных чисел пересекает набор кратные из 3 кратно 6.

Произвольные пересечения

Наиболее общее понятие - это пересечение произвольного непустой сбор наборов. M это непустой набор, элементы которого сами являются наборами, тогда Икс является элементом пересечение из M если и только если для каждого элемент А из M, Икс является элементом АВ символах:

${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$

Обозначения этого последнего понятия могут значительно различаться. Теоретики множеств иногда будет писать "⋂M", в то время как другие будут писать" ⋂_А∈M А". Последние обозначения можно обобщить до" ⋂_я∈я А_я", что относится к пересечению коллекции {А_я : я ∈ я}.Здесь я непустое множество, и А_я это набор для каждого я в я.

В случае, если набор индексов я это набор натуральные числа, обозначение, аналогичное обозначению бесконечный продукт можно увидеть:

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$

Если форматирование затруднено, это также можно написать "А₁ ∩ А₂ ∩ А₃ ∩ ... ". Этот последний пример, пересечение счетного множества множеств, на самом деле очень распространен; например, см. Статью о σ-алгебры.

Нулевое пересечение

Союзы аргументов в скобках

Соединение без аргумента - это тавтология (сравнивать: пустой продукт ); соответственно, пересечение множества - это вселенная.

Обратите внимание, что в предыдущем разделе мы исключили случай, когда M был пустой набор (∅). Причина в следующем: Пересечение коллекции M определяется как множество (см. обозначение построителя множеств )

${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:\forall A\in M,x\in A\}.}$

Если M пусто, наборов нет А в M, поэтому возникает вопрос: "Что Иксудовлетворяет заявленному условию? "Ответ вроде все возможные x. Когда M пусто, приведенное выше условие является примером пустая правда. Таким образом, пересечение пустого семейства должно быть универсальный набор (в элемент идентичности для операции перекрестка) ^[5]

К сожалению, по стандарту (ZFC ) теории множеств универсального множества не существует. Исправление этой проблемы может быть найдено, если мы заметим, что пересечение по набору множеств всегда является подмножеством объединения по этому набору множеств. Это можно символически записать как

${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A\subseteq \bigcup _{A\in M}A.}$

Поэтому мы можем немного изменить определение, чтобы

${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\left\{x\in \bigcup _{A\in M}A:\forall A\in M,x\in A\right\}.}$

В общем, проблем не возникает, если M пусто. Пересечение - это пустое множество, потому что объединение над пустым множеством - это пустое множество. Фактически, это операция, которую мы бы определили в первую очередь, если бы мы определяли множество в ZFC, за исключением операций, определенных аксиомами ( набор мощности набора, например), каждый набор должен быть определен как подмножество некоторого другого набора или замена.

Смотрите также

• Алгебра множеств
• Мощность
• Дополнение
• График пересечения
• Итерированная двоичная операция
• Список установленных идентичностей и отношений
• Логическое соединение
• MinHash
• Наивная теория множеств
• Симметричная разница
• Союз

Рекомендации

1. «Исчерпывающий список символов теории множеств». Математическое хранилище. 2020-04-11. Получено 2020-09-04.
2. «Пересечение множеств». web.mnstate.edu. Получено 2020-09-04.
3. «Статистика: правила вероятности». People.richland.edu. Получено 2012-05-08.
4. «Операции над множеством | Союз | Пересечение | Дополнение | Различие | Взаимоисключающие | Разделы | Закон Де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение». www.probabilitycourse.com. Получено 2020-09-04.
5. Меггинсон, Роберт Э. (1998), «Глава 1», Введение в теорию банаховых пространств, Тексты для выпускников по математике, 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 596, ISBN  0-387-98431-3

дальнейшее чтение

• Девлин, К. Дж. (1993). Радость множеств: основы современной теории множеств (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-94094-4.
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). «Теория множеств и логика». Топология (Второе изд.). Река Верхнее Седл: Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.
• Розен, Кеннет (2007). «Основные структуры: множества, функции, последовательности и суммы». Дискретная математика и ее приложения (Шестое изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-322972-0.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Перекресток». MathWorld.