Схема аксиомы спецификации - Axiom schema of specification

«Аксиома разделения» перенаправляется сюда. Об аксиомах разделения в топологии см. аксиома разделения.

Во многих популярных версиях аксиоматическая теория множеств, то схема аксиомы спецификации, также известный как схема аксиомы разделения, схема аксиом подмножества или схема аксиомы ограниченного понимания является схема аксиомы. По сути, в нем говорится, что любое определяемое подкласс комплекта есть комплект.

Некоторые математики называют это схема аксиомы понимания, хотя другие используют этот термин для неограниченный понимание, обсуждается ниже.

Потому что избегали ограничения понимания Парадокс Рассела, несколько математиков, в том числе Цермело, Fraenkel, и Гёдель считал это важнейшей аксиомой теории множеств.^[1]

утверждение

Один экземпляр схемы включен для каждого формула φ на языке теории множеств с свободные переменные среди Икс, ш₁, ..., ш_п, А. Так B не входит в свободную в φ. На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит так:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])}$

или словами:

Учитывая любые набор А, есть множество B (подмножество А) такой, что для любого множества Икс, Икс является членом B если и только если Икс является членом А и φ выполняется для Икс.

Обратите внимание, что на каждую такую ​​аксиому приходится одна аксиома. предикат φ; таким образом, это схема аксиомы.

Чтобы понять эту схему аксиомы, обратите внимание, что набор B должен быть подмножество из А. Таким образом, схема аксиом на самом деле говорит о том, что при заданном наборе А и предикат п, мы можем найти подмножество B из А члены которого как раз и являются членами А это удовлетворяет п. Посредством аксиома протяженности этот набор уникален. Обычно мы обозначаем это множество через обозначение конструктора множеств так как {C ∈ А : п(C)}. Таким образом, суть аксиомы такова:

Каждые подкласс набора, который определяется предикатом, сам является набором.

Схема аксиом спецификации характерна для систем аксиоматическая теория множеств связанных с обычной теорией множеств ZFC, но обычно не появляется в радикально разных системах альтернативная теория множеств. Например, Новые основы и положительная теория множеств использовать различные ограничения аксиома понимания из наивная теория множеств. В Альтернативная теория множеств Вопенка делает особый акцент на разрешении соответствующих подклассов множеств, называемых полусухие. Даже в системах, связанных с ZFC, эта схема иногда ограничивается формулами с ограниченными кванторами, как в Теория множеств Крипке – Платека с элементарными элементами..

Отношение к схеме аксиом замены

Схема аксиом разделения почти может быть получена из схема аксиомы замены.

Во-первых, вспомните эту схему аксиом:

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\iff \exists D\,[D\in A\land C=F(D)])}$

для любого функциональный предикат F в одном переменная что не использует символы А, B, C или D.Дан подходящий предикат п для аксиомы спецификации определим отображение F от F(D) = D если п(D) верно и F(D) = E если п(D) ложно, где E любой член А такой, что п(E) истинно, тогда множество B аксиомой замены гарантируется в точности множество B требуется для аксиомы спецификации. Проблема только в том, если нет такого E существуют. Но в этом случае набор B для аксиомы разделения требуется пустой набор, поэтому аксиома разделения следует из аксиомы замены вместе с аксиома пустого множества.

По этой причине схему аксиом спецификации часто упускают из современных списков аксиом Цермело – Френкеля. Однако это все еще важно для исторических соображений и для сравнения с альтернативными аксиоматизациями теории множеств, как это можно увидеть, например, в следующих разделах.

Неограниченное понимание

Смотрите также: Основной закон V

В схема аксиомы неограниченного понимания читает:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$

это:

Существует набор B членами которого являются именно те объекты, которые удовлетворяют предикату φ.

Этот набор B снова уникален и обычно обозначается как {Икс : φ(Икс, ш₁, ..., ш_п)}.

Эта схема аксиом негласно использовалась в первые дни наивная теория множеств, до того, как была принята строгая аксиоматизация. К сожалению, это ведет прямо к Парадокс Рассела принимая φ(Икс) быть ¬ (Икс ∈ Икс) (т.е. свойство, устанавливающее Икс не является членом самого себя). Следовательно, никакая полезная аксиоматизация теории множеств не может использовать неограниченное понимание, по крайней мере, с классическая логика.

Принятие только схемы аксиом спецификации было началом аксиоматической теории множеств. Большинство других аксиом Цермело – Френкеля (но не аксиома протяженности, то аксиома регулярности, или аксиома выбора ) затем возникла необходимость восполнить часть того, что было потеряно, путем изменения схемы понимания аксиом на схему аксиомы спецификации - каждая из этих аксиом утверждает, что определенный набор существует, и определяет этот набор, давая предикат его членам для удовлетворяют, т.е. это частный случай схемы понимания аксиомы.

Также можно предотвратить несогласованность схемы, ограничив, к каким формулам она может применяться, например только стратифицированный формулы в Новые основы (см. ниже) или только положительные формулы (формулы только с конъюнкцией, дизъюнкцией, количественной оценкой и атомарными формулами) в положительная теория множеств. Однако позитивные формулы обычно не могут выразить определенные вещи, которые могут выразить большинство теорий; например, нет дополнять или относительное дополнение в положительной теории множеств.

В теории классов NBG

В теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя, различают наборы и классы. Класс C является набором тогда и только тогда, когда он принадлежит какому-либо классу E. В этой теории есть теорема схема, которая читает

${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$

это,

"Есть класс D так что любой класс C является членом D если и только если C это набор, который удовлетворяет п."

при условии, что кванторы в предикате п ограничены наборами.

Эта схема теорем сама по себе является ограниченной формой понимания, которая позволяет избежать парадокса Рассела из-за требования, что C быть набором. Тогда спецификацию самих множеств можно записать в виде единой аксиомы

${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$

это,

"Учитывая любой класс D и любой набор А, есть набор B членами которого являются именно те классы, которые являются членами обоих А и D."

или даже проще

"The пересечение класса D и набор А сам по себе набор B.".

В этой аксиоме предикат п заменяется классом D, который может быть определен количественно. Другая более простая аксиома, которая достигает того же эффекта, -

${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$

это,

«Подкласс набора - это набор».

В настройках более высокого порядка

В напечатанный язык, где мы можем количественно оценить по предикатам, схема аксиомы спецификации становится простой аксиомой. Это во многом тот же прием, который использовался в аксиомах NBG из предыдущего раздела, где предикат был заменен классом, который затем подвергался количественной оценке.

В логика второго порядка и логика высшего порядка с семантикой высшего порядка аксиома спецификации является логической верностью и не требует явного включения в теорию.

В новых фондах Куайна

в Новые основы подход к теории множеств, впервые примененный W.V.O. Куайн аксиома понимания для данного предиката принимает неограниченную форму, но сами предикаты, которые могут использоваться в схеме, ограничены.C не в C) запрещено, потому что тот же символ C появляется по обе стороны от символа принадлежности (и так у разных «относительных типов»); Таким образом, можно избежать парадокса Рассела. п(C) быть (C = C), что разрешено, мы можем сформировать множество всех множеств. Подробнее см. стратификация.

использованная литература

1. Хайнц-Дитер Эббингаус (2007). Эрнст Цермело: подход к своей жизни и работе. Springer Science & Business Media. п. 88. ISBN  978-3-540-49553-6.

• Crossley, J.N .; Ash, C.J .; Brickhill, C.J .; Стиллвелл, J.C .; Уильямс, Н.Х. (1972). Что такое математическая логика?. Лондон-Оксфорд-Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN  0-19-888087-1. Zbl  0251.02001.
• Халмос, Пол, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (Издание Springer-Verlag).
• Jech, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9.