Ричард Дедекинд - Richard Dedekind

Для гуманиста 16-го века см. Фридрих Дедекинд.

Ричард Дедекинд
Ричард Дедекинд 1900s.jpg
Родившийся(1831-10-06)6 октября 1831 г.
Брауншвейг, Герцогство Брауншвейг
Умер12 февраля 1916 г.(1916-02-12) (84 года)
Брауншвейг, Германская Империя
НациональностьНемецкий
Альма-матерCollegium Carolinum
Геттингенский университет
ИзвестенАбстрактная алгебра
Алгебраическая теория чисел
Действительные числа
Логика
Научная карьера
ПоляМатематика
Философия математики
ДокторантКарл Фридрих Гаусс

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (6 октября 1831 г. - 12 февраля 1916 г.) был немецким математиком, внесшим важный вклад в абстрактная алгебра (особенно теория колец ),аксиоматическая основа натуральных чисел, алгебраическая теория чисел и определение действительные числа.

Жизнь

Отцом Дедекинда был Юлиус Левин Ульрих Дедекинд, администратор Collegium Carolinum в Брауншвейг. Его матерью была Кэролайн Генриетта Дедекинд (урожденная Эмпериус), дочь профессора Коллегиума.[1] У Ричарда Дедекинда было трое старших братьев и сестер. Став взрослым, он никогда не использовал имена Юлий Вильгельм. Он родился, прожил большую часть своей жизни и умер в Брауншвейге (часто называемом «Брауншвейг» на английском языке).

Впервые он посетил Collegium Carolinum в 1848 году, прежде чем перейти в Геттингенский университет в 1850 г. Здесь Дедекинда учили теория чисел профессором Мориц Штерн. Гаусс все еще преподавал, хотя в основном на начальном уровне, и Дедекинд стал его последним учеником. Дедекинд получил докторскую степень в 1852 году за диссертацию под названием Über die Theorie der Eulerschen Integrale («К теории Эйлеровы интегралы Этот тезис не проявил таланта, очевидного в последующих публикациях Дедекинда.

В то время Берлинский университет, нет Гёттинген, был основным центром математических исследований в Германии. Таким образом, Дедекинд отправился в Берлин на два года обучения, где он и Бернхард Риманн были современниками; они оба были награждены абилитация в 1854 году. Дедекинд вернулся в Геттинген, чтобы преподавать как Приватдозент, читая курсы по вероятность и геометрия. Некоторое время он учился с Питер Густав Лежен Дирихле, и они стали хорошими друзьями. Из-за сохраняющейся слабости своих математических знаний он изучал эллиптический и абелевы функции. И все же он был первым в Геттингене, кто прочитал лекцию о Теория Галуа. Примерно в это же время он стал одним из первых, кто осознал важность понятия группы за алгебра и арифметика.

В 1858 году он начал преподавать в Политехнический школа в Цюрих (сейчас ETH Zürich). Когда Collegium Carolinum был повышен до Technische Hochschule (Технологический институт) в 1862 году Дедекинд вернулся в свой родной Брауншвейг, где провел остаток своей жизни, преподавая в институте. Он вышел на пенсию в 1894 году, но время от времени преподавал и продолжал публиковаться. Он никогда не был женат, вместо этого жил со своей сестрой Юлией.

Дедекинд был избран членом Берлинской (1880 г.) и Римской академий, а также в Французская Академия Наук (1900). Он получил почетные докторские степени университетов Осло, Цюрих, и Брауншвейг.

Работа

Дедекинд, до 1886 г.

Во время обучения математике впервые в Политехнический школе, Дедекинд разработал понятие, теперь известное как Дедекинда вырезать (Немецкий: Шнитт), теперь стандартное определение действительных чисел. Идея сокращения заключается в том, что иррациональный номер разделяет рациональное число на два класса (наборы ), причем все номера одного класса (большего) строго больше, чем все номера другого (меньшего) класса. Например, квадратный корень из 2 определяет все неотрицательные числа, квадраты которых меньше 2, и отрицательные числа в меньший класс, а положительные числа, квадраты которых больше 2, в больший класс. Каждое место на числовой прямой содержит рациональное или иррациональное число. Таким образом, нет пустых мест, промежутков или разрывов. Дедекинд опубликовал свои мысли об иррациональных числах, а Дедекинд урезал в своей брошюре «Stetigkeit und irrationale Zahlen» («Непрерывность и иррациональные числа»);[2] в современной терминологии, Vollständigkeit, полнота.

Теорема Дедекинда[3] заявляет, что если бы существовал индивидуальная переписка между двумя наборами, то два набора были «похожими». Он обратился к подобию, чтобы дать первое точное определение бесконечный набор: набор бесконечен, когда он "подобен своей собственной части", в современной терминологии равномерный к одному из своих правильные подмножества. Таким образом, множество N из натуральные числа можно показать, что они похожи на подмножество N члены которого являются квадраты каждого члена N, (N → N2):

N    1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ...             ↓           N2   1  4  9  16 25 36 49 64 81 100 ...

Дедекинд редактировал собрание сочинений Лежен Дирихле, Гаусс, и Риман. Изучение Дедекиндом работ Лежена Дирихле привело его к более позднему исследованию поля алгебраических чисел и идеалы. В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле о теория чисел в качестве Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано, что:

Хотя книга, несомненно, основана на лекциях Дирихле, и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл книгу Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле.

— Эдвардс, 1983

Издания 1879 и 1894 гг. Vorlesungen включены дополнения, вводящие понятие идеала, фундаментального для теория колец. (Слово «Кольцо», введенное позже Гильберта, не встречается в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеальный как подмножество набора чисел, состоящего из алгебраические целые числа которые удовлетворяют полиномиальным уравнениям с целое число коэффициенты. Эта концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер. Идеалы обобщают Эрнст Эдуард Куммер с идеальные числа, разработанный как часть попытки Куммера 1843 г. доказать Последняя теорема Ферма. (Таким образом, можно сказать, что Дедекинд был самым важным учеником Куммера.) В статье 1882 года Дедекинд и Генрих Мартин Вебер применял идеалы к Римановы поверхности, дающее алгебраическое доказательство Теорема Римана – Роха.

В 1888 г. он опубликовал небольшую монографию под названием Was sind und was sollen die Zahlen? («Что такое числа и для чего они нужны?» Ewald 1996: 790),[4] который включал его определение бесконечный набор. Он также предложил аксиоматический основанием для натуральных чисел, примитивными понятиями которых были числа один и функция преемника. В следующем году, Джузеппе Пеано со ссылкой на Дедекинда сформулировал эквивалентный, но более простой набор аксиом, теперь стандартные.

Дедекинд внес и другие вклады в алгебра. Например, около 1900 года он написал первые статьи о модульные решетки. В 1872 г. во время отпуска в г. Интерлакен, Дедекинд встретил Георг Кантор. Так начались прочные отношения взаимного уважения, и Дедекинд стал одним из первых математиков, которые восхищались работой Кантора о бесконечных множествах, оказавшись ценным союзником в спорах Кантора с Леопольд Кронекер, который был философски настроен против Кантора трансфинитные числа.[5]

Библиография

Основная литература на английском языке:

  • 1890. «Письмо Кеферштейну» в Жан ван Хейеноорт, 1967. Справочник по математической логике, 1879–1931 гг.. Harvard Univ. Пресс: 98–103.
  • 1963 (1901). Очерки теории чисел. Беман, У. У., изд. и транс. Дувр. Содержит английские переводы Stetigkeit und Irrationale Zahlen и Was sind und was sollen die Zahlen?
  • 1996. Теория алгебраических целых чисел. Стиллвелл, Джон, изд. и транс. Cambridge Uni. Нажмите. Перевод Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen.
  • Эвальд, Уильям Б., изд., 1996. От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики, 2 тт. Оксфордский университет. Нажмите.
    • 1854. «О введении новых функций в математику», 754–61.
    • 1872. «Непрерывность и иррациональные числа», 765–78. (перевод Stetigkeit ...)
    • 1888. Что такое числа и какими они должны быть?, 787–832. (перевод Был грех и ...)
    • 1872–82, 1899. Переписка с Кантором, 843–77, 930–40.

Основная литература на немецком языке:

  • Gesammelte Mathematische Werke (Полное собрание математических работ, т. 1–3). Проверено 5 августа 2009 года.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Джеймс, Иоан (2002). Замечательные математики. Издательство Кембриджского университета. п. 196. ISBN  978-0-521-52094-2.
  2. ^ Эвальд, Уильям Б., изд. (1996) «Непрерывность и иррациональные числа», с. 766 дюйм От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики, 2 тт. Издательство Оксфордского университета. полный текст
  3. ^ Природа и значение чисел. Очерки теории чисел. Dover (опубликовано в 1963 г.). 1901 г., Открытый суд. Часть V, параграф 64, октябрь 2011 г. Проверить значения даты в: | дата = (помощь)
  4. ^ Ричард Дедекинд (1888). Was sind und was sollen die Zahlen?. Брауншвейг: Vieweg. Доступен в Интернете по адресу: MPIWG ГДЗ UBS
  5. ^ Aczel, Амир Д. (2001), Тайна Алеф: математика, каббала и поиск бесконечности, Документальная литература «Карманные книги», Саймон и Шустер, стр. 102, ISBN  9780743422994.

Рекомендации

дальнейшее чтение

Существует онлайн-библиография вторичной литературы о Дедекинде. См. Также «Введение» Стилвелла к Дедекинду (1996).

внешняя ссылка