Универсальный набор - Universal set

Для использования в других целях см. Универсальный набор (значения).

В теория множеств, а универсальный набор - это набор, который содержит все объекты, включая его самого.^[1] В теории множеств, как обычно формулируется, концепция универсального множества приводит к Парадокс Рассела и, следовательно, не допускается. Однако некоторые нестандартные варианты теории множеств включают универсальный набор.

Обозначение

Стандартных обозначений универсального множества в данной теории множеств не существует. Общие символы включают V, U и ξ.^{[нужна цитата ]}

Причины отсутствия

Многие теории множеств не допускают существования универсального множества. Например, этому прямо противоречат такие аксиомы, как аксиома регулярности и его существование подразумевает несоответствия. Стандарт Теория множеств Цермело – Френкеля вместо этого основан на совокупная иерархия.

Парадокс Рассела

Основная статья: Парадокс Рассела

Парадокс Рассела препятствует существованию универсального набора Теория множеств Цермело – Френкеля и другие теории множеств, которые включают Цермело с аксиома понимания Эта аксиома утверждает, что для любой формулы ${\displaystyle \varphi (x)}$ и любой набор А, существует множество

${\displaystyle \{x\in A\mid \varphi (x)\}}$

который содержит именно эти элементы Икс из А это удовлетворяет ${\displaystyle \varphi }$.

С ${\displaystyle \varphi (x)}$ выбран как ${\displaystyle x\notin x}$, следует, что подмножество ${\displaystyle \{x\in A\mid x\not \in x\}}$ никогда не является членом ${\displaystyle A}$, поскольку, как Бертран Рассел наблюдается парадоксальная альтернатива: если ${\displaystyle A}$ содержит себя, то он не должен содержать себя, и наоборот.

Таким образом, поскольку для каждого набора мы можем найти набор, который он не содержит, также не существует набора всех наборов. Это действительно так даже с Предикативное понимание и более Интуиционистская логика.

Теорема кантора

Основная статья: Теорема кантора

Вторая трудность с идеей универсального набора касается набор мощности набора всех наборов. Поскольку этот набор мощности является набором наборов, он обязательно будет подмножеством набора всех наборов при условии, что оба существуют. Однако это противоречит теореме Кантора о том, что набор степеней любого множества (бесконечного или нет) всегда имеет строго более высокий мощность чем сам набор.

Теории универсальности

Трудностей, связанных с универсальным набором, можно избежать либо с помощью варианта теории множеств, в котором аксиома понимания каким-либо образом ограничена, либо с помощью универсального объекта, который не считается набором.

Ограниченное понимание

Есть известные теории последовательный (если обычная теория множеств непротиворечива), в которой универсальное множество V существует (и ${\displaystyle V\in V}$ правда). В этих теориях Цермело аксиома понимания не выполняется в целом, и аксиома осмысления наивная теория множеств ограничен другим способом. Теория множеств, содержащая универсальное множество, обязательно необоснованная теория множеств Наиболее широко изучаемая теория множеств с универсальным множеством - это Уиллард Ван Орман Куайн с Новые основы. Церковь Алонсо и Арнольд Обершельп также опубликовал работы по таким теориям множеств. Черч предположил, что его теория может быть расширена способом, совместимым с теорией Куайна,^[2][3] но для Oberschelp это невозможно, поскольку в нем одноэлементная функция доказуемо является набором,^[4] что немедленно приводит к парадоксу в New Foundations.^[5]

Другой пример положительная теория множеств, где аксиома понимания ограничена только для положительные формулы (формулы, не содержащие отрицаний). Такие теории множеств мотивированы понятиями замыкания в топологии.

Универсальные объекты, не являющиеся наборами

Основная статья: Вселенная (математика)

Идея универсального набора кажется интуитивно желательной в Теория множеств Цермело – Френкеля, особенно потому, что большинство версий этой теории допускают использование кванторов для всех наборов (см. универсальный квантор ). Один из способов позволить объекту, который ведет себя аналогично универсальному множеству, не создавая парадоксов, - это описать V и аналогичные большие коллекции, как правильные классы а не как наборы. Одно различие между универсальным набором и универсальный класс состоит в том, что универсальный класс не содержит себя, потому что правильные классы не могут быть элементами других классов.^{[нужна цитата ]} Парадокс Рассела неприменим в этих теориях, потому что аксиома понимания действует на множествах, а не на классах.

В категория наборов также можно рассматривать как универсальный объект, который, опять же, не является множеством. Он содержит все наборы как элементы, а также включает стрелки для всех функций от одного набора к другому. Опять же, он не содержит себя, потому что сам по себе не является набором.

Смотрите также

• Вселенная (математика)
• Вселенная Гротендика
• Область дискурса

Примечания

1. Форстер, 1995 г., стр. 1.
2. Церковь 1974 г.р. 308. См. Также Forster 1995 p. 136 или 2001 стр. 17.
3. Флэш Шеридан (2016). «Вариант теории множеств Черча с универсальным множеством, в котором функция синглтона является множеством» (PDF). Logique et Analyze. 59 (233). §0.2. Дои:10.2143 / LEA.233.0.3149532. Сложить резюме (PDF).
4. Обершельп 1973 с. 40.
5. Холмс 1998 стр. 110.

Рекомендации

• Церковь Алонсо (1974). «Теория множеств с универсальным множеством», Материалы Тарского симпозиума. Труды симпозиумов по чистой математике XXV, изд. Л. Хенкин, Американское математическое общество, стр. 297–308.
• Т. Э. Форстер (1995). Теория множеств с универсальным множеством: исследование нетипизированной Вселенной (Oxford Logic Guides 31). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-851477-8.
• Т. Э. Форстер (2001). «Теория множеств Черча с универсальным множеством».
• Библиография: Теория множеств с универсальным множеством, созданный Т. Э. Форстером и поддерживаемый Рэндаллом Холмсом в Государственном университете Бойсе.
• Арнольд Обершельп (1973). «Теория множеств над классами», Математические диссертации 106.
• Уиллард Ван Орман Куайн (1937) «Новые основы математической логики», Американский математический ежемесячный журнал 44. С. 70–80.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Универсальный набор». MathWorld.