Положительная теория множеств - Positive set theory

В математическая логика, положительная теория множеств это название класса альтернативы установить теории в которой аксиома понимания

" ${ Displaystyle {х мид фи }}$ существуют"

справедливо по крайней мере для положительные формулы ${ displaystyle phi}$ (наименьший класс формул, содержащих формулы атомарного членства и равенства и замкнутый относительно конъюнкции, дизъюнкции, экзистенциальной и универсальной квантификации).

Обычно мотивация этих теорий топологическая: множества - это классы, которые закрываются при определенном топология. Условия замыкания для различных конструкций, разрешенных при построении положительных формул, легко мотивируются (и можно дополнительно обосновать использование универсальных кванторов, ограниченных в наборах, чтобы получить общее положительное понимание): обоснование квантора существования, похоже, требует, чтобы топология была компактный.

Теория множеств ${ displaystyle GPK _ { infty} ^ {+}}$ Оливье Эссера состоит из следующих аксиом:

В аксиома протяженности: ${ displaystyle x = y Leftrightarrow forall a , (a in x Leftrightarrow a in y)}$ .
В аксиома пустого множества: существует набор ${ displaystyle emptyset}$ такой, что ${ Displaystyle , neg существует х ; х в emptyset ,}$ (от этой аксиомы можно аккуратно отказаться, если ложная формула ${ displaystyle perp}$ входит как положительная формула).
Аксиома обобщенного позитивного понимание: если ${ displaystyle phi}$ $phi$ формула в логике предикатов, использующая только ${ displaystyle vee}$ $vee$ , ${ Displaystyle клин}$ $клин$ , ${ Displaystyle существует}$ $существуют$ , ${ displaystyle forall}$ $для всех$ , ${ displaystyle =}$ $=$ , и ${ displaystyle in}$ $в$ , то множество всех ${ displaystyle x}$ $Икс$ такой, что ${ Displaystyle фи (х)}$ $phi (х)$ тоже набор. Количественная оценка ( ${ displaystyle forall}$ $для всех$ , ${ Displaystyle существует}$ $существуют$ ) может быть ограниченным.
- Обратите внимание, что отрицание не допускается.
Аксиома закрытие: для каждой формулы ${ Displaystyle фи (х)}$ , существует набор, который является пересечением всех множеств, содержащих каждый Икс такой, что ${ Displaystyle фи (х)}$ ; это называется закрытие ${ Displaystyle {х середина фи (х) }}$ и записывается любым из различных способов представления топологических замыканий. Это можно выразить более кратко, если язык класса разрешен (любое условие в наборах, определяющих класс, как в NBG ): для любого класса C есть набор, который является пересечением всех наборов, содержащих C как подкласс. Очевидно, что это разумный принцип, если множества понимаются как замкнутые классы в топологии.
В аксиома бесконечности: the фон Нейман порядковый ${ displaystyle omega}$ существуют. Это не аксиома бесконечности в обычном смысле; если Бесконечность не держится, закрытие ${ displaystyle omega}$ существует и имеет себя в качестве единственного дополнительного члена (конечно, бесконечно); суть этой аксиомы в том, что ${ displaystyle omega}$ вообще не содержит дополнительных элементов, что повышает теорию от силы арифметики второго порядка до силы Теория множеств Морса – Келли с правильным порядковым номером класса a слабо компактный кардинал.

Интересные свойства

В универсальный набор - правильный набор в этой теории.
Множества этой теории - это наборы множеств, которые замкнуты при определенном топология на занятиях.
Теория может интерпретировать ZFC (ограничивая себя классом хорошо обоснованных наборов, который сам по себе не является набором). Фактически он интерпретирует более сильную теорию (Теория множеств Морса – Келли с правильным порядковым номером класса a слабо компактный кардинал ).

Исследователи

Исаак Малиц впервые представил теорию позитивных множеств в своей докторской диссертации 1976 г.
Церковь Алонсо был председателем комиссии, курировавшей вышеупомянутую диссертацию
Оливье Эссер кажется наиболее активным в этой области.

Смотрите также

Новые основы от Куайн

использованная литература

Эссер, Оливье (1999), "О непротиворечивости положительной теории", MLQ Math. Журнал. В., 45 (1): 105–116, Дои:10.1002 / malq.19990450110, Г-Н 1669902