Слабо компактный кардинал - Weakly compact cardinal

В математика, а слабо компактный кардинал это определенный вид количественное числительное представлен Эрдеш и Тарский (1961); слабо компактные кардиналы большие кардиналы, что означает, что их существование не может быть доказано стандартные аксиомы теории множеств. (Первоначально Тарский называл их «небезупречными» кардиналами.)

Формально кардинал κ определяется как слабо компактный, если он несчетный и для каждой функции ж: [κ] ² → {0, 1} есть набор из мощность κ то есть однородный за ж. В этом контексте [κ] ² означает набор 2-элементных подмножеств κ, а подмножество S κ однородна при ж если и только если либо все из [S]² сопоставляется с 0 или все сопоставляется с 1.

Название «слабо компактный» относится к тому факту, что если кардинал слабо компактный, то некий родственный бесконечный язык удовлетворяет версию теорема компактности; Смотри ниже.

Каждый слабо компактный кардинал является отражающий кардинал, а также предел отражающих кардиналов. Это означает также, что слабо компактные кардиналы Мало кардиналов, а множество кардиналов Мало, меньших заданного слабо компактного кардинала, равно стационарный.

Эквивалентные составы

Следующее эквивалентно для любого бесчисленный кардинал κ:

κ слабо компактно.
для любого λ <κ, натурального числа n ≥ 2 и функции f: [κ]^п → λ, существует множество мощности κ, равное однородный для f. (Дрейк 1974, глава 7 теорема 3.5)
κ это недоступный и имеет свойство дерева, то есть каждые дерево высоты κ имеет либо уровень размера κ, либо ветвь размера κ.
Каждый линейный порядок мощности κ имеет возрастающую или убывающую последовательность порядкового типа κ.
κ это ${ displaystyle Pi _ {1} ^ {1}}$ -неописуемый.
κ обладает свойством расширения. Другими словами, для всех U ⊂ V_κ существует транзитивное множество Икс с κ ∈ Икс, и подмножество S ⊂ Икс, такое что (V_κ, ∈, U) является элементарная подструктура из (Икс, ∈, S). Здесь, U и S считаются унарными предикаты.
Для каждого множества S мощности κ подмножеств κ существует нетривиальный κ-полный фильтр, решающий S.
κ - это κ-раскладывающийся.
κ недоступен и бесконечный язык L_{κ, κ} удовлетворяет теореме слабой компактности.
κ недоступен и бесконечный язык L_{κ, ω} удовлетворяет теореме слабой компактности.
κ недоступен и для каждого переходный набор ${ displaystyle M}$ мощности κ с κ ${ displaystyle in M}$ , ${ displaystyle {} ^ {< kappa} M подмножество M}$ , и удовлетворяющий достаточно большому фрагменту ZFC, существует элементарное вложение ${ displaystyle j}$ из ${ displaystyle M}$ переходному множеству ${ displaystyle N}$ мощности κ такая, что ${ displaystyle ^ {< kappa} N подмножество N}$ , с критическая точка ${ Displaystyle Crit (J) =}$ κ. (Хаузер 1991, Теорема 1.3)

Язык L_{κ, κ} Говорят, что удовлетворяет теореме о слабой компактности, если всякий раз, когда Σ является набором предложений мощности не более κ и каждое подмножество с менее чем κ элементами имеет модель, то Σ имеет модель. Сильно компактные кардиналы определяются аналогично без ограничения на мощность множества предложений.

Смотрите также

Список больших кардинальных свойств

Слабо компактный кардинал - Weakly compact cardinal

Эквивалентные составы

Смотрите также

Рекомендации