Дерево (теория множеств) - Tree (set theory) - Wikipedia

О других понятиях дерева в теории множеств см. дерево (дескриптивная теория множеств) и дерево (значения).

В теория множеств, а дерево это частично заказанный набор (Т, <) такие, что для каждого т ∈ Т, набор {s ∈ Т : s < т} является хорошо организованный соотношением <. Часто предполагается, что деревья имеют только один корень (т.е. минимальный элемент ), поскольку типичные вопросы, исследуемые в этой области, легко сводятся к вопросам о однокорневых деревьях.

Определение

А дерево это частично заказанный набор (посеть) (Т, <) такие, что для каждого т ∈ Т, набор {s ∈ Т : s < т} является хорошо организованный соотношением <. В частности, каждый упорядоченный набор (Т, <) - дерево. Для каждого т ∈ Т, то тип заказа из {s ∈ Т : s < т} называется высота из т (обозначается ht (т, Т)). В высота из Т сам по себе наименьший порядковый больше высоты каждого элемента Т. А корень дерева Т является элементом высоты 0. Часто предполагается, что деревья имеют только один корень. Обратите внимание, что деревья в теории множеств часто определяются так, что они растут вниз, делая корневой узел наибольшим.

Деревья с одним корнем можно рассматривать как корневые деревья в смысле теория графов одним из двух способов: либо как дерево (теория графов) или как тривиально совершенный граф. В первом случае граф является неориентированным Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества, и во втором случае граф является просто базовым (неориентированным) графом частично упорядоченного множества. Однако если Т дерево высотой> ω, то определение диаграммы Хассе не работает. Например, частично упорядоченный набор ${\displaystyle \omega +1=\left\{0,1,2,\dots ,\omega \right\}}$ не имеет диаграммы Хассе, так как не имеет предшественника ω. Следовательно, в этом случае нам требуется высота не более omega.

А ответвляться дерева является максимальной цепью в дереве (то есть любые два элемента ветви сравнимы, и любой элемент дерева нет в ветке несравнимо хотя бы с одним элементом ветки). В длина филиала является порядковый то есть порядок изоморфный в филиал. Для каждого ординала α α-й уровень из Т это набор всех элементов Т высоты α. Дерево является κ-деревом для порядкового числа κ тогда и только тогда, когда оно имеет высоту κ и каждый уровень имеет размер меньше мощности κ. В ширина дерева есть верхняя грань мощностей его уровней.

Любое однокорневое дерево высотой ${\displaystyle \leq \omega }$ образует встречную полурешетку, где встреча (общий предок) задается максимальным элементом пересечения предков, который существует, поскольку множество предков непусто и конечно хорошо упорядочено, следовательно, имеет максимальный элемент. Без единого корня пересечение родителей может быть пустым (два элемента не обязательно должны иметь общих предков), например ${\displaystyle \left\{a,b\right\}}$ где элементы не сопоставимы; тогда как если существует бесконечное число предков, не обязательно должен быть максимальный элемент - например, ${\displaystyle \left\{0,1,2,\dots ,\omega _{0},\omega _{0}'\right\}}$ куда ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{0}'}$ несопоставимы.

А поддерево дерева ${\displaystyle (T,<)}$ это дерево ${\displaystyle (T',<)}$ куда ${\displaystyle T'\subseteq T}$ и ${\displaystyle T'}$ закрыто вниз под ${\displaystyle <}$, т.е. если ${\displaystyle s,t\in T}$ и ${\displaystyle s<t}$ тогда ${\displaystyle t\in T'\implies s\in T'}$.

Теоретико-множественные свойства

В теории бесконечных деревьев есть несколько довольно просто сформулированных, но сложных проблем. Примеры этого: Гипотеза Курепы и Гипотеза суслина. Обе эти проблемы, как известно, не зависят от Теория множеств Цермело – Френкеля. Лемма Кёнига утверждает, что каждое ω-дерево имеет бесконечную ветвь. С другой стороны, это теорема ZFC о том, что существуют несчетные деревья без несчетных ветвей и бесчисленных уровней; такие деревья известны как Деревья Ароншайн. А κ-Суслин дерево дерево высоты κ, не имеющее цепей или антицепей размера κ. В частности, если κ сингулярно (т.е. не обычный ), то существует κ-дерево Ароншайна и κ-дерево Суслина. Фактически, для любого бесконечного кардинала κ каждое κ-дерево Суслина является κ-деревом Ароншайна (обратное неверно).

Гипотеза Суслина изначально была сформулирована как вопрос о некоторых общее количество заказов но это эквивалентно утверждению: Каждое дерево высотой ω₁ имеет антицепь мощности ω₁ или ветвь длины ω₁.

Смотрите также

• Кантор дерево
• Курепа дерево
• Лавровое дерево
• Дерево (описательная теория множеств)
• Непрерывный график
• Порядок префиксов

Рекомендации

• Jech, Томас (2002). Теория множеств. Springer-Verlag. ISBN  3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости. Северная Голландия. ISBN  0-444-85401-0. Глава 2, Раздел 5.
• Монк, Дж. Дональд (1976). Математическая логика. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п.517. ISBN  0-387-90170-1.
• Хайнал, Андраш; Гамбург, Питер (1999). Теория множеств. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521596671.
• Кечрис, Александр С. (1995). Классическая описательная теория множеств. Тексты для выпускников по математике 156. Springer. ISBN  0-387-94374-9 ISBN  3-540-94374-9.

внешняя ссылка

• Наборы, модели и доказательства к Иеке Мурдейк и Яап ван Остен см. определение 3.1 и упражнение 56 на стр. 68–69.
• дерево (теоретико-множественное) к Генри на PlanetMath
• ответвляться к Генри на PlanetMath
• пример дерева (теоретико-множественная) к Узеромай на PlanetMath