Теория множеств Цермело – Френкеля - Zermelo–Fraenkel set theory

"ZFC" перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. ZFC (значения).

В теория множеств, Теория множеств Цермело – Френкеля, названный в честь математиков Эрнст Цермело и Авраам Френкель, является аксиоматическая система это было предложено в начале двадцатого века, чтобы сформулировать теория множеств без парадоксов, таких как Парадокс Рассела. Сегодня теория множеств Цермело – Френкеля с исторически противоречивой аксиома выбора (AC) входит в стандартную форму аксиоматическая теория множеств и как таковой является наиболее распространенным основа математики. Аббревиатура теории множеств Цермело – Френкеля с включенной аксиомой выбора ZFC, где C означает "выбор",^[1] и ZF относится к аксиомам теории множеств Цермело – Френкеля за исключением аксиомы выбора.

Теория множеств Цермело – Френкеля предназначена для формализации единственного примитивного понятия, а именно: наследственный обоснованный набор, так что все сущности в вселенная дискурса такие наборы. Таким образом аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля относятся только к чистые наборы и предотвратить его модели от содержания урэлементы (элементы наборов, которые сами не являются наборами). Более того, правильные классы (коллекции математические объекты определяется свойством, совместно используемым их членами, где коллекции слишком велики, чтобы их можно было установить), могут обрабатываться только косвенно. В частности, теория множеств Цермело – Френкеля не допускает существования универсальный набор (набор, содержащий все наборы), ни для неограниченное понимание, тем самым избегая парадокса Рассела. Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. (NBG) - широко используемый консервативное расширение теории множеств Цермело – Френкеля, которая допускает явное рассмотрение собственных классов.

Существует множество эквивалентных формулировок аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Большинство аксиом заявляют о существовании определенных наборов, определенных из других наборов. Например, аксиома спаривания говорит, что учитывая любые два набора ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ есть новый набор ${\displaystyle \{a,b\}}$ содержащий точно ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Другие аксиомы описывают свойства принадлежности к множеству. Целью аксиом является то, что каждая аксиома должна быть истинной, если ее интерпретировать как утверждение о совокупности всех множеств в Вселенная фон Неймана (также известная как совокупная иерархия). Формально ZFC - это однотипная теория в логика первого порядка. В подпись имеет равенство и единственный примитив бинарное отношение, установить членство, который обычно обозначают ${\displaystyle \in }$. В формула ${\displaystyle a\in b}$ означает, что набор ${\displaystyle a}$ является членом множества ${\displaystyle b}$ (что также читается как "${\displaystyle a}$ является элементом ${\displaystyle b}$" или "${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle b}$").

В метаматематика теории множеств Цермело – Френкеля. Знаменательные результаты в этой области позволили логическая независимость аксиомы выбора из оставшихся аксиом Цермело-Френкеля (см. Аксиома выбора # Независимость ) и гипотеза континуума от ZFC. В последовательность теории, такой как ZFC, не может быть доказана в рамках самой теории, как показано Вторая теорема Гёделя о неполноте.

История

Современное исследование теория множеств был инициирован Георг Кантор и Ричард Дедекинд в 1870-х гг. Однако открытие парадоксы в наивная теория множеств, такие как Парадокс Рассела, привело к стремлению к более строгой форме теории множеств, свободной от этих парадоксов.

В 1908 г. Эрнст Цермело предложил первый аксиоматическая теория множеств, Теория множеств Цермело. Однако, как впервые указал Авраам Френкель в письме Цермело от 1921 г. эта теория была неспособна доказать существование определенных множеств и Количественные числительные существование которого считалось само собой разумеющимся большинством теоретиков множеств того времени, особенно кардинальное число ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ и набор ${\displaystyle \{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},}$ где ${\displaystyle Z_{0}}$ - любое бесконечное множество и ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ это набор мощности операция.^[2] Более того, одна из аксиом Цермело ссылается на концепцию «определенного» свойства, операционный смысл которой не ясен. В 1922 году Френкель и Торальф Сколем независимо предложили операционализировать "определенное" свойство как свойство, которое можно сформулировать как хорошо сформированную формулу в логика первого порядка чья атомарные формулы были ограничены набором членства и личности. Они также независимо предложили заменить схема аксиомы спецификации с схема аксиомы замены. Добавляя эту схему, а также аксиома регулярности (впервые предложено Джон фон Нейман ),^[3] теории множеств Цермело приводит к теории, обозначенной ZF. Добавление в ZF либо аксиома выбора (AC) или эквивалентный ему оператор дает ZFC.

Аксиомы

Есть много эквивалентных формулировок аксиом ZFC; для обсуждения этого см. Френкель, Бар-Гиллель и Леви 1973. Следующий частный набор аксиом взят из Кунен (1980). Сами по себе аксиомы выражаются в символике логика первого порядка. Связанная с ним английская проза предназначена только для помощи интуиции.

Все формулировки ZFC подразумевают, что существует хотя бы один набор. Кунен включает аксиому, которая прямо утверждает существование множества, в дополнение к аксиомам, приведенным ниже (хотя он отмечает, что делает это только «для акцента»).^[4] Его упущение здесь может быть оправдано двояко. Во-первых, в стандартной семантике логики первого порядка, в которой обычно формализуется ZFC, область дискурса должно быть непустым. Следовательно, это логическая теорема логики первого порядка о том, что что-то существует - обычно выражается как утверждение, что что-то идентично самому себе, ${\displaystyle \exists x(x=x)}$. Следовательно, любая теория первого порядка утверждает, что что-то существует. Однако, как отмечалось выше, поскольку в предполагаемой семантике ZFC есть только множества, интерпретация этой логической теоремы в контексте ZFC такова, что некоторые набор существуют. Следовательно, нет необходимости в отдельной аксиоме, утверждающей, что множество существует. Во-вторых, однако, даже если ZFC сформулирован в так называемом свободная логика, в котором невозможно доказать существование чего-либо только на основе логики, аксиома бесконечности (ниже) утверждает, что бесконечный набор существует. Отсюда следует, что а set существует, и поэтому, опять же, излишне включать аксиому, утверждающую это.

1. Аксиома протяженности

Основная статья: Аксиома протяженности

Два набора равны (являются одним и тем же набором), если они имеют одинаковые элементы.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

Обратное к этой аксиоме следует из свойства подстановки равенство. Если фоновая логика не включает равенство "${\displaystyle =}$", ${\displaystyle x=y}$ может быть определено как сокращение от следующей формулы:^[5] ${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

В этом случае аксиому экстенсиональности можно переформулировать как

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

который говорит, что если ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ имеют одинаковые элементы, то они принадлежат одним и тем же множествам.^[6]

2. Аксиома регулярности (также называемая аксиомой основания)

Основная статья: Аксиома регулярности

Каждый непустой набор ${\displaystyle x}$ содержит члена ${\displaystyle y}$ такой, что ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ находятся непересекающиеся множества.

${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^[7]

или в современных обозначениях:${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y\in x\,(y\cap x=\varnothing )).}$

Это (вместе с Аксиомой спаривания) подразумевает, например, что ни один набор не является элементом самого себя и что каждый набор имеет порядковый ранг.

3. Схема аксиом спецификации (также называемая схемой аксиом разделения или ограниченного понимания)

Основная статья: Схема аксиомы спецификации

Подмножества обычно строятся с использованием обозначение конструктора наборов. Например, четные целые числа могут быть построены как подмножество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ удовлетворение сравнение по модулю предикат ${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$:

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

В общем, подмножество множества ${\displaystyle z}$ подчиняться формуле ${\displaystyle \phi (x)}$ с одной свободной переменной ${\displaystyle x}$ можно записать как:

${\displaystyle \{x\in z:\phi (x)\}.}$

Схема аксиом спецификации утверждает, что это подмножество существует всегда (это аксиома схема потому что есть одна аксиома для каждого ${\displaystyle \phi }$). Формально пусть ${\displaystyle \phi }$ - любая формула на языке ZFC со всеми свободными переменными среди ${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$ (${\displaystyle y}$ не бесплатно в ${\displaystyle \phi }$). Потом:

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi )].}$

Обратите внимание, что схема аксиом спецификации может создавать только подмножества и не позволяет создавать сущности более общей формы:

${\displaystyle \{x:\phi (x)\}.}$

Это ограничение необходимо, чтобы избежать Парадокс Рассела и его варианты, сопровождающие наивную теорию множеств с неограниченное понимание.

В некоторых других аксиоматизациях ZF эта аксиома избыточна, поскольку она следует из схема аксиомы замены и аксиома пустого множества.

С другой стороны, аксиома спецификации может использоваться для доказательства существования пустой набор, обозначенный ${\displaystyle \varnothing }$, если известно, что существует хотя бы один набор (см. выше). Один из способов сделать это - использовать свойство ${\displaystyle \phi }$ которого нет ни в одном наборе. Например, если ${\displaystyle w}$ любой существующий набор, пустой набор может быть построен как

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.}$

Таким образом аксиома пустого множества подразумевается девятью аксиомами, представленными здесь. Из аксиомы протяженности следует, что пустое множество единственно (не зависит от ${\displaystyle w}$). Обычно делают определение расширения который добавляет символ "${\displaystyle \varnothing }$"на язык ZFC.

4. Аксиома спаривания.

Основная статья: Аксиома спаривания

Если ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ являются множествами, то существует множество, которое содержит ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ как элементы.

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

Схема аксиом спецификации должна использоваться, чтобы свести это к набору с этими двумя элементами. Аксиома спаривания является частью Z, но избыточна в ZF, потому что она следует из схемы аксиом замены, если нам дан набор, по крайней мере, из двух элементов. Существование набора по крайней мере из двух элементов обеспечивается либо аксиома бесконечности, или схемой аксиом спецификации и аксиома мощности применяется дважды к любому набору.

5. Аксиома союза

Основная статья: Аксиома союза

В союз над элементами множества существует. Например, объединение элементов множества ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$ является ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

Аксиома объединения утверждает, что для любого набора множеств ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ есть набор ${\displaystyle A}$ содержащий каждый элемент, который является членом некоторого члена ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$:

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

Хотя эта формула прямо не утверждает существование ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$, набор ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ может быть построен из ${\displaystyle A}$ в приведенном выше примере с использованием схемы аксиомы спецификации:

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

6. Схема аксиом замены

Основная статья: Схема аксиомы замены

Схема аксиом замены утверждает, что образ множества под любой определяемой функция также попадет внутрь набора.

Формально пусть ${\displaystyle \phi }$ быть любым формула на языке ZFC, чей свободные переменные среди ${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$ так что в частности ${\displaystyle B}$ не бесплатно в ${\displaystyle \phi }$. Потом:

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

Для значения ${\displaystyle \exists !}$, увидеть количественная оценка уникальности.

Другими словами, если отношение ${\displaystyle \phi }$ представляет собой определяемую функцию ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle A}$ представляет свою домен, и ${\displaystyle f(x)}$ это набор для каждого ${\displaystyle x\in A,}$ затем ассортимент из ${\displaystyle f}$ является подмножеством некоторого множества ${\displaystyle B}$. Указанная здесь форма, в которой ${\displaystyle B}$ может быть больше, чем это строго необходимо, иногда называется схема аксиомы коллекции.

7. Аксиома бесконечности.

Основная статья: Аксиома бесконечности

Первые несколько ординалов фон Неймана
0	= { }	= ∅
1	= { 0}	= {∅}
2	= { 0, 1}	= { ∅, {∅} }
3	= { 0, 1, 2}	= { ∅, {∅}, {∅, {∅}} }
4	= { 0, 1, 2, 3}	= { ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }

Позволять ${\displaystyle S(w)}$ сокращать ${\displaystyle w\cup \{w\},}$ где ${\displaystyle w}$ это какой-то набор. (Мы это видим ${\displaystyle \{w\}}$ является допустимым множеством, применяя аксиому спаривания с ${\displaystyle x=y=w}$ так что набор ${\displaystyle z}$ является ${\displaystyle \{w\}}$). Тогда существует множество ${\displaystyle X}$ так что пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ является членом ${\displaystyle X}$ и, когда набор ${\displaystyle y}$ является членом ${\displaystyle X,}$ тогда ${\displaystyle S(y)}$ также является членом ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

Говоря проще, существует множество ${\displaystyle X}$ имеющий бесконечно много членов. (Однако необходимо установить, что все эти элементы разные, потому что, если два элемента одинаковы, последовательность будет повторяться в конечном цикле множеств. Аксиома регулярности предотвращает это.) Минимальный набор ${\displaystyle X}$ удовлетворяющий аксиоме бесконечности, является порядковый номер фон Неймана ${\displaystyle \omega ,}$ который также можно рассматривать как набор натуральные числа ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

8. Аксиома силовой установки.

Основная статья: Аксиома власти

По определению набор ${\displaystyle z}$ это подмножество набора ${\displaystyle x}$ тогда и только тогда, когда каждый элемент ${\displaystyle z}$ также является элементом ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

Аксиома Power Set гласит, что для любого набора ${\displaystyle x}$, есть набор ${\displaystyle y}$ который содержит каждое подмножество ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].}$

Схема аксиом спецификации затем используется для определения набор мощности ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ как подмножество таких ${\displaystyle y}$ содержащий подмножества ${\displaystyle x}$ именно так:

${\displaystyle P(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

Аксиомы 1–8 определить ZF. Часто встречаются альтернативные формы этих аксиом, некоторые из которых перечислены в Jech (2003). Некоторые аксиоматизации ZF включают аксиому, утверждающую, что пустой набор существует. Аксиомы спаривания, объединения, замены и набора мощности часто формулируются так, что члены набора ${\displaystyle x}$ чье существование утверждается, это как раз те множества, которые утверждает аксиома ${\displaystyle x}$ должен содержать.

Для превращения ZF в ZFC добавляется следующая аксиома:

9. Теорема о хорошем порядке.

Основная статья: Теорема о хорошем порядке

Для любого набора ${\displaystyle X}$, Существует бинарное отношение ${\displaystyle R}$ который хорошие порядки ${\displaystyle X}$. Это означает ${\displaystyle R}$ это линейный порядок на ${\displaystyle X}$ такой, что каждый непустой подмножество из ${\displaystyle X}$ имеет член, минимальный ${\displaystyle R}$.

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

Данные аксиомы 1 – 8, есть много утверждений, доказуемо эквивалентных аксиоме 9, наиболее известным из которых является аксиома выбора (AC), который выглядит следующим образом. Позволять ${\displaystyle X}$ быть набором, все члены которого непусты. Тогда существует функция ${\displaystyle f}$ от ${\displaystyle X}$ к союзу членов ${\displaystyle X}$, называется "функция выбора ", так что для всех ${\displaystyle Y\in X}$ надо ${\displaystyle f(Y)\in Y}$. Поскольку существование функции выбора при ${\displaystyle X}$ это конечный набор легко доказывается из аксиом 1–8, AC имеет значение только наверняка бесконечные множества. AC характеризуется как неконструктивный потому что он утверждает существование набора выбора, но ничего не говорит о том, как набор выбора должен быть «сконструирован». Много исследований^{[расплывчатый ]} пытался охарактеризовать определимость (или ее отсутствие) определенных наборов^{[пример необходим ]} чье существование AC утверждает.

Мотивация через кумулятивную иерархию

Одним из мотивов аксиом ZFC является совокупная иерархия наборов введенных Джон фон Нейман.^[8] С этой точки зрения, вселенная теории множеств строится поэтапно, по одной стадии для каждой. порядковый номер. На этапе 0 наборов еще нет. На каждом следующем этапе набор добавляется во вселенную, если все его элементы были добавлены на предыдущих этапах. Таким образом, пустой набор добавляется на этапе 1, а набор, содержащий пустой набор, добавляется на этапе 2.^[9] Совокупность всех наборов, полученных таким образом на всех этапах, известна как V. Наборы в V можно упорядочить в иерархию, назначив каждому набору первый этап, на котором этот набор был добавлен к V.

Доказуемо, что множество находится в V тогда и только тогда, когда множество чистый и обоснованный; и доказать, что V удовлетворяет всем аксиомам ZFC, если класс ординалов имеет соответствующие свойства отражения. Например, предположим, что набор Икс добавляется на этапе α, что означает, что каждый элемент Икс был добавлен на этапе раньше, чем α. Тогда каждое подмножество Икс также добавляется на этапе α, потому что все элементы любого подмножества Икс также были добавлены перед этапом α. Это означает, что любое подмножество Икс которую может построить аксиома разделения, добавляется на этапе α, и что набор степеней Икс будет добавлен на следующем этапе после α. Полный аргумент, что V удовлетворяет ZFC, см. Шенфилд (1977).

Картина вселенной множеств, стратифицированных в кумулятивную иерархию, характерна для ZFC и связанных с ними аксиоматических теорий множеств, таких как Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. (часто называемый NBG) и Теория множеств Морса – Келли. Кумулятивная иерархия несовместима с другими теориями множеств, такими как Новые основы.

Можно изменить определение V так что на каждом этапе, вместо добавления всех подмножеств объединения предыдущих этапов, подмножества добавляются только в том случае, если они определимы в определенном смысле. Это приводит к более «узкой» иерархии, которая дает конструируемая вселенная L, который также удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому выбора. Независимо от аксиом ZFC, V = L. Хотя структура L более регулярный и воспитанный, чем уV, некоторые математики утверждают, чтоV = L следует добавить в ZFC как дополнительный "аксиома конструктивности ".

Метаматематика

Виртуальные классы

Как отмечалось ранее, правильные классы (наборы математических объектов, определенных свойством, общим для их членов, которые слишком велики, чтобы их можно было установить) могут обрабатываться только косвенно в ZF (и, следовательно, ZFC). Альтернатива правильным классам, оставаясь в ZF и ZFC - это виртуальный класс обозначение конструкции введено Куайн (1969), где вся конструкция у ∈ { Икс | FИкс } просто определяется как Fу.^[10] Это обеспечивает простую нотацию для классов, которые могут содержать наборы, но не обязательно должны быть наборами, но не связаны с онтологией классов (поскольку нотация может быть синтаксически преобразована в ту, которая использует только наборы). Подход Куайна основан на более раннем подходе Бернейс и Френкель (1958). Виртуальные классы также используются в Леви (2002), Такеути и Заринг (1982), а в Метамат реализация ZFC.

Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя.

Каждая из схем аксиом замены и разделения содержит бесконечно много экземпляров. Монтегю (1961) включены результаты, впервые доказанные в его докторской диссертации 1957 г. Тезис: если ZFC непротиворечив, невозможно аксиоматизировать ZFC, используя только конечное число аксиом. С другой стороны, теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) можно конечно аксиоматизировать. Онтология NBG включает правильные классы а также наборы; набор - это любой класс, который может быть членом другого класса. NBG и ZFC - эквивалентные теории множеств в том смысле, что любые теорема не говоря уже о классах, и доказуемость в одной теории может быть доказана в другой.

Последовательность

Вторая теорема Гёделя о неполноте говорит, что рекурсивно аксиоматизируемая система, которая может интерпретировать Арифметика Робинсона может доказать свою непротиворечивость, только если она непоследовательна. Более того, арифметику Робинсона можно интерпретировать в общая теория множеств, небольшой фрагмент ZFC. Следовательно последовательность ZFC не может быть доказано в самом ZFC (если только это не противоречит действительности).Таким образом, в той степени, в которой ZFC отождествляется с обычной математикой, непротиворечивость ZFC не может быть продемонстрирована в обычной математике. Непротиворечивость ZFC действительно следует из существования слабо недоступный кардинал, что недоказуемо в ZFC, если ZFC согласован. Тем не менее, маловероятно, что ZFC таит в себе неожиданное противоречие; широко распространено мнение, что, если бы ZFC не соответствовали требованиям, этот факт к настоящему времени был бы раскрыт. В этом нет сомнений - ZFC невосприимчив к классическим парадоксам наивная теория множеств: Парадокс Рассела, то Парадокс Бурали-Форти, и Парадокс Кантора.

Абиан и Ламаккья (1978) изучил подтеория ZFC, состоящего из аксиом протяженности, объединения, мощности, замены и выбора. С помощью модели, они доказали непротиворечивость этой подтеории и доказали, что каждая из аксиом экстенсиональности, замены и мощности не зависит от четырех оставшихся аксиом этой подтеории. Если эту подтеорию дополнить аксиомой бесконечности, каждая из аксиом союза, выбора и бесконечности не зависит от пяти оставшихся аксиом. Поскольку существуют необоснованные модели, удовлетворяющие каждой аксиоме ZFC, кроме аксиомы регулярности, эта аксиома не зависит от других аксиом ZFC.

Если согласовано, ZFC не может доказать существование недоступные кардиналы это теория категорий требует. Возможны огромные наборы такого рода, если ZF дополнить Аксиома Тарского.^[11] Предполагая, что аксиома переворачивает аксиомы бесконечность, набор мощности, и выбор (7 – 9 выше) в теоремы.

Независимость

Многие важные заявления независимый ZFC (см. список операторов, неразрешимых в ZFC ). Независимость обычно подтверждается принуждение, тем самым показано, что каждая счетная транзитивная модель ZFC (иногда дополняется большие кардинальные аксиомы ) может быть расширен для удовлетворения рассматриваемого утверждения. Затем показано другое расширение, удовлетворяющее отрицанию утверждения. Доказательство независимости путем принуждения автоматически доказывает независимость от арифметических утверждений, других конкретных утверждений и больших кардинальных аксиом. Некоторые утверждения, независимые от ZFC, могут быть доказаны, в частности, внутренние модели, например, в конструируемая вселенная. Однако некоторые утверждения о конструктивных наборах не согласуются с гипотетическими аксиомами о больших кардиналах.

Форсирование доказывает, что следующие утверждения не зависят от ZFC:

• Гипотеза континуума
• Алмазный принцип
• Гипотеза суслина
• Аксиома мартина (что не является аксиомой ZFC)
• Аксиома конструктивности (V = L) (что также не является аксиомой ZFC).

Примечания:

• Согласованность V = L доказывается с помощью внутренние модели но не принуждение: любую модель ZF можно обрезать, чтобы она стала моделью ZFC + V = L.
• Алмазный принцип подразумевает гипотезу континуума и отрицание гипотезы Суслина.
• Аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума подразумевает гипотезу Суслина.
• В конструируемая вселенная удовлетворяет Обобщенная гипотеза континуума, Алмазный принцип, аксиома Мартина и гипотеза Курепы.
• Провал Гипотеза Курепы равносогласован с существованием сильно недоступный кардинал.

Вариант метода принуждение может также использоваться для демонстрации последовательности и недоказуемости аксиома выбора, т.е. что аксиома выбора не зависит от ZF. Последовательность выбора можно (относительно) легко проверить, доказав, что внутренняя модель L удовлетворяет выбору. (Таким образом, каждая модель ZF содержит подмодель ZFC, так что Con (ZF) влечет Con (ZFC).) Поскольку принуждение сохраняет выбор, мы не можем напрямую создать модель, противоречащую выбору, из модели, удовлетворяющей выбору. Однако мы можем использовать форсирование для создания модели, которая содержит подходящую подмодель, а именно такую, которая удовлетворяет ZF, но не C.

Другой метод доказательства результатов независимости, не связанный с принуждением, основан на Вторая теорема Гёделя о неполноте. Этот подход использует утверждение, независимость которого исследуется, чтобы доказать существование заданной модели ZFC, и в этом случае Con (ZFC) истинно. Так как ZFC удовлетворяет условиям второй теоремы Гёделя, непротиворечивость ZFC недоказуема в ZFC (при условии, что ZFC фактически непротиворечива). Следовательно, никакое утверждение, позволяющее такое доказательство, не может быть доказано в ZFC. Этот метод может доказать, что существование большие кардиналы не доказуемо в ZFC, но не может доказать, что допущение таких кардиналов, заданное ZFC, не противоречит.

Предлагаемые дополнения

Проект по объединению теоретиков множеств, стоящих за дополнительными аксиомами для разрешения гипотезы континуума или других метаматематических двусмысленностей, иногда называют «программой Гёделя».^[12] В настоящее время математики спорят о том, какие аксиомы являются наиболее правдоподобными или «самоочевидными», какие аксиомы являются наиболее полезными в различных областях и о том, в какой степени полезность должна уступать место правдоподобию; немного "мультивселенная Теоретики множеств утверждают, что полезность должна быть единственным окончательным критерием, в котором аксиомы обычно следует принимать. Одна школа мысли опирается на расширение «итеративной» концепции множества, чтобы создать теоретико-множественную вселенную с интересной и сложной, но достаточно управляемой структурой. путем принятия аксиом принуждения; другая школа выступает за более аккуратную, менее загроможденную вселенную, возможно, сосредоточенную на «основной» внутренней модели.^[13]

Критика

Для критики теории множеств в целом см. Возражения против теории множеств

ZFC критиковали как за чрезмерную силу, так и за чрезмерную слабость, а также за неспособность захватывать такие объекты, как соответствующие классы и универсальный набор.

Многие математические теоремы могут быть доказаны в гораздо более слабых системах, чем ZFC, например Арифметика Пеано и арифметика второго порядка (как исследовано программой обратная математика ). Saunders Mac Lane и Соломон Феферман оба подчеркнули это. Некоторая часть «основной математики» (математика, не связанная напрямую с аксиоматической теорией множеств) выходит за рамки арифметики Пеано и арифметики второго порядка, но, тем не менее, вся такая математика может быть выполнена в ZC (Теория множеств Цермело с выбором), другая теория более слабая, чем ZFC. Большая часть возможностей ZFC, включая аксиому регулярности и схему аксиом замены, включена в основном для облегчения изучения самой теории множеств.

С другой стороны, среди аксиоматические теории множеств, ZFC сравнительно слабый. в отличие Новые основы, ZFC не допускает существования универсального множества. Следовательно вселенная множеств при ZFC не замыкается при элементарных операциях алгебра множеств. в отличие теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG) и Теория множеств Морса – Келли (MK), ZFC не допускает существования правильные классы. Еще одним сравнительным недостатком ZFC является то, что аксиома выбора включенный в ZFC слабее, чем аксиома глобального выбора входит в НБГ и МК.

Есть множество математические утверждения, неразрешимые в ZFC. К ним относятся гипотеза континуума, то Проблема с Уайтхедом, а гипотеза нормального пространства Мура. Некоторые из этих гипотез можно доказать с добавлением таких аксиом, как Аксиома мартина или большие кардинальные аксиомы в ZFC. Некоторые другие решаются в ZF + AD, где AD - это аксиома детерминированности, сильное предположение несовместимо с выбором. Одной из привлекательных сторон аксиом большой кардинальности является то, что они позволяют установить многие результаты из ZF + AD в ZFC, к которым присоединяется некоторая аксиома большой мощности (см. проективная детерминированность ). В Система Мицар и Метамат приняли Теория множеств Тарского – Гротендика, расширение ZFC, так что доказательства с участием Вселенные Гротендика (встречается в теории категорий и алгебраической геометрии) можно формализовать.

Смотрите также

• Основы математики
• Внутренняя модель
• Аксиома большого кардинала

Связанный аксиоматические теории множеств:

• Теория множеств Морса – Келли
• Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя.
• Теория множеств Тарского – Гротендика
• Конструктивная теория множеств
• Теория внутреннего множества

Заметки

1. Чесельский 1997. «Аксиомы Цермело-Френкеля (сокращенно ZFC, где C означает аксиому Выбора»)
2. Эббингаус 2007, п. 136.
3. Хальбайзен 2011 С. 62–63.
4. Кунен (1980, п. 10).
5. Хэтчер 1982, п. 138, деф. 1.
6. Френкель, Бар-Гиллель и Леви 1973.
7. Шенфилд 2001, п. 239.
8. Шенфилд 1977, раздел 2.
9. Хинман 2005, п. 467.
10. (Ссылка 2014 )
11. Тарский 1939.
12. Феферман 1996.
13. Wolchover 2013.

Процитированные работы

• Абиан Александр (1965). Теория множеств и трансфинитная арифметика. В. Б. Сондерс.
• ———; Ламаккья, Самуэль (1978). "О непротиворечивости и независимости некоторых теоретико-множественных аксиом". Журнал формальной логики Нотр-Дам. 19: 155–58. Дои:10.1305 / ndjfl / 1093888220.
• Бернейс, Пол; Френкель, А.А. (1958). Аксиоматическая теория множеств. Амстердам: Северная Голландия.
• Цесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика. Издательство Кембриджского университета. п. 4. ISBN  0-521-59441-3.
• Девлин, Кит (1996) [Впервые опубликовано в 1984 году]. Радость наборов. Springer.
• Эббингаус, Хайнц-Дитер (2007). Эрнст Цермело: подход к своей жизни и работе. Springer. ISBN  978-3-540-49551-2.
• Феферман, Соломон (1996). «Программа Гёделя для новых аксиом: почему, где, как и что?». В Гайек, Петр (ред.). Гёдель '96: Логические основы математики, информатики и физики - наследие Курта Гёделя. Springer-Verlag. С. 3–22. ISBN  3-540-61434-6..
• Френкель, Авраам; Бар-Гилель, Иегошуа; Леви, Азриэль (1973) [Впервые опубликовано в 1958 году]. Основы теории множеств. Северная Голландия. Последнее слово Френкеля о ZF и ZFC.
• Хальбайзен, Лоренц Дж. (2011). Комбинаторная теория множеств: мягкое введение в принуждение. Springer. С. 62–63. ISBN  978-1-4471-2172-5.
• Хэтчер, Уильям (1982) [Впервые опубликовано в 1968 году]. Логические основы математики. Pergamon Press.
• ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 гг.. Издательство Гарвардского университета. Включает аннотированные английские переводы классических статей автора Цермело, Fraenkel, и Сколем относящийся к ZFC.
• Хинман, Питер (2005). Основы математической логики. А. К. Питерс. ISBN  978-1-56881-262-5.
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости. Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9.
• Леви, Азриэль (2002). Основная теория множеств. Dover Publications. ISBN  048642079-5.
• Ссылка, Годехард (2014). Формализм и не только: о природе математического дискурса. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN  978-1-61451-829-7.
• Монтегю, Ричард (1961). «Семантическое замыкание и нефинечная аксиоматизируемость». Инфинистические методы. Лондон: Pergamon Press. С. 45–69.
• Куайн, Уиллард ван Орман (1969). Теория множеств и ее логика (Пересмотренная ред.). Кембридж, Массачусетс и Лондон, Англия: The Belknap Press of Harvard University Press. ISBN  0-674-80207-1.
• Шенфилд, Джозеф Р. (1977). «Аксиомы теории множеств». В Барвайз, К. Дж. (ред.). Справочник по математической логике. ISBN  0-7204-2285-X.
• Шенфилд, Джозеф Р. (2001) [Впервые опубликовано в 1967 году]. Математическая логика (2-е изд.). А. К. Питерс. ISBN  978-1-56881-135-2.
• Суппес, Патрик (1972) [Впервые опубликовано в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств. Отпечаток Dover.Возможно, лучшее изложение ZFC до независимости AC и гипотезы континуума и появления крупных кардиналов. Включает множество теорем.
• Такеути, Гайси; Заринг, W M (1971). Введение в аксиоматическую теорию множеств. Springer-Verlag.
• Такеути, Гайси; Заринг, В. М. (1982). Введение в аксиоматическую теорию множеств.
• Тарский, Альфред (1939). «На упорядоченных подмножествах любого набора». Fundamenta Mathematicae. 32: 176–83. Дои:10.4064 / fm-32-1-176-783.
• Плитка, Мэри (1989). Философия теории множеств. Отпечаток Dover. Слабость по метатеории; автор не математик.
• Турлакис, Джордж (2003). Лекции по логике и теории множеств, Vol. 2. Издательство Кембриджского университета.
• Вулховер, Натали (2013). «Разрешить спор о бесконечности, новый закон логики». Журнал Quanta..
• Цермело, Эрнст (1908). "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I". Mathematische Annalen. 65: 261–281. Дои:10.1007 / BF01449999. S2CID  120085563. Английский перевод в Хейеноорт, Жан ван (1967). «Исследования по основам теории множеств». От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 гг.. Источники по истории наук. Издательство Гарвардского университета. С. 199–215. ISBN  978-0-674-32449-7.
• Цермело, Эрнст (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche". Fundamenta Mathematicae. 16: 29–47. Дои:10.4064 / fm-16-1-29-47. ISSN  0016-2736. Архивировано из оригинал 20 февраля 2006 г.

внешние ссылки

• «ZFC», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Стэнфордская энциклопедия философии статьи Томас Джеч:
  • Теория множеств;
  • Аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля..
• Метаматическая версия аксиом ZFC - Краткая и неизбыточная аксиоматизация. Фон логика первого порядка определено специально для облегчения машинной проверки доказательств.
  • А происхождение в Метамат версии схемы разделения из версии схемы замены.
• "Аксиомы Цермело-Френкеля". PlanetMath.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теория множеств Цермело-Френкеля". MathWorld.