Теорема о хорошем порядке - Well-ordering theorem - Wikipedia

«Теорема Цермело» перенаправляется сюда. По теореме Цермело в теории игр см. Теорема Цермело (теория игр).
Не путать с Принцип хорошего заказа.

В математика, то теорема о хорошем порядке, также известный как Теорема Цермело, заявляет, что каждый набор возможно хорошо организованный. Множество Икс является хорошо организованный по строгий общий порядок если каждое непустое подмножество Икс имеет наименьший элемент под заказ. Теорема о хорошем порядке вместе с Лемма Цорна являются наиболее важными математическими утверждениями, которые эквивалентны аксиома выбора (часто называемый AC, см. также Аксиома выбора § Эквиваленты ).[1][2] Эрнст Цермело ввел аксиому выбора как «неоспоримый логический принцип», чтобы доказать теорему о хорошем порядке.[3] Из теоремы об упорядочивании можно заключить, что каждое множество подвержено трансфинитная индукция, который математики считают мощным методом.[3] Одним из известных следствий теоремы является Парадокс Банаха – Тарского.

История

Георг Кантор считал теорему о хорошем порядке «фундаментальным принципом мышления».[4] Однако считается трудным или даже невозможным визуализировать правильное упорядочение ; такая визуализация должна включать аксиому выбора.[5] В 1904 г. Дьюла Кёниг утверждал, что доказал, что такой порядок не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф нашел ошибку в доказательстве.[6] Однако оказалось, что теорема о хорошем порядке эквивалентна выбранной аксиоме в том смысле, что любая из них вместе с Аксиомы Цермело – Френкеля достаточно, чтобы доказать другое, в логика первого порядка (то же самое относится к Лемма Цорна ). В логика второго порядка однако теорема о хорошем порядке строго сильнее, чем аксиома выбора: из теоремы о хорошем порядке можно вывести аксиому выбора, но из аксиомы выбора нельзя вывести теорему о хорошем порядке.[7]

Есть хорошо известный анекдот по поводу трех утверждений и их относительной податливости интуиции:

Аксиома выбора, очевидно, верна, принцип упорядоченности явно ложен, и кто может сказать о Лемма Цорна ?[8]

Доказательство AC

Аксиома выбора может быть доказана с помощью теоремы о хорошем порядке следующим образом.

Чтобы сделать функцию выбора для набора непустых множеств, E, возьмем объединение множеств в E и назови это Икс. Существует хороший порядок Икс; позволять р быть таким порядком. Функция, которая к каждому набору S из E связывает мельчайший элемент S, как приказано (ограничение S из) р, это функция выбора для коллекции E.

Существенным моментом этого доказательства является то, что оно включает только один произвольный выбор: р; применяя теорему о хорошем порядке к каждому члену S из E по отдельности не будет работать, поскольку теорема только утверждает существование хорошего упорядочения и выбирает для каждого S сделать правильный заказ не легче, чем выбрать элемент.

Примечания

  1. ^ Кучма, Марек (2009). Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств. Берлин: Springer. п. 14. ISBN  978-3-7643-8748-8.
  2. ^ Хазевинкель, Михиэль (2001). Энциклопедия математики: Приложение. Берлин: Springer. п. 458. ISBN  1-4020-0198-3.
  3. ^ а б Тьерри, Виалар (1945). Справочник по математике. Нордерштедт: Springer. п. 23. ISBN  978-2-95-519901-5.
  4. ^ Георг Кантор (1883 г.), «Ueber unndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten», Mathematische Annalen 21. С. 545–591.
  5. ^ Шеппард, Барнаби (2014). Логика бесконечности. Издательство Кембриджского университета. п. 174. ISBN  978-1-1070-5831-6.
  6. ^ Плоткин, Дж. М. (2005), "Введение в" концепцию мощности в теории множеств"", Хаусдорф об упорядоченных множествах, История математики, 25, Американское математическое общество, стр. 23–30, ISBN  9780821890516
  7. ^ Шапиро, Стюарт (1991). Основания без фундаментализма: аргументы в пользу логики второго порядка. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853391-8.
  8. ^ Кранц, Стивен Г. (2002), «Аксиома выбора», в Кранц, Стивен Г. (ред.), Справочник по логике и методам доказательства для компьютерных наук, Birkhäuser Boston, стр. 121–126, Дои:10.1007/978-1-4612-0115-1_9, ISBN  9781461201151

внешняя ссылка