Принцип хорошего заказа - Well-ordering principle

В математика, то принцип хорошего порядка утверждает, что каждый непустой набор положительных целых чисел содержит наименьший элемент.^[1] Другими словами, набор натуральных чисел равен хорошо организованный по своему «естественному» или «масштабному» порядку, в котором ${ displaystyle x}$ предшествует ${ displaystyle y}$ если и только если ${ displaystyle y}$ либо ${ displaystyle x}$ или сумма ${ displaystyle x}$ и некоторое положительное целое число (другие порядки включают в себя порядок ${ displaystyle 2,4,6, ...}$ ; и ${ displaystyle 1,3,5, ...}$ ).

Фраза «принцип хорошего порядка» иногда воспринимается как синоним «теорема о хорошем порядке ". В других случаях подразумевается, что набор целые числа ${ Displaystyle { ldots, -2, -1,0,1,2,3, ldots }}$ содержит хорошо организованный подмножество, называемое натуральные числа, в котором каждое непустое подмножество содержит наименьший элемент.

В зависимости от структуры, в которой вводятся натуральные числа, это свойство (второго порядка) набора натуральных чисел либо аксиома или доказуемая теорема. Например:

В Арифметика Пеано, арифметика второго порядка и связанных с ним систем, и действительно, в большинстве (не обязательно формальных) математических трактовок принципа хорошего упорядочения этот принцип выводится из принципа математическая индукция, которая сама по себе считается базовой.
Рассматривая натуральные числа как подмножество действительных чисел и предполагая, что мы уже знаем, что действительные числа полны (опять же, либо как аксиома, либо как теорема о системе действительных чисел), т. Е. Каждое ограниченное (снизу) множество имеет нижнюю грань, то также каждый набор ${ displaystyle A}$ натуральных чисел имеет нижнюю грань, скажем ${ displaystyle a ^ {*}}$ . Теперь мы можем найти целое число ${ Displaystyle п ^ {*}}$ такой, что ${ displaystyle a ^ {*}}$ лежит в полуоткрытом интервале ${ Displaystyle (п ^ {*} - 1, п ^ {*}]}$ , а затем может показать, что мы должны иметь ${ Displaystyle а ^ {*} = п ^ {*}}$ , и ${ Displaystyle п ^ {*}}$ в ${ displaystyle A}$ .
В аксиоматическая теория множеств, натуральные числа определяются как наименьшие индуктивный набор (т.е. множество, содержащее 0 и закрытое при последующей операции). Можно (даже не обращаясь к аксиома регулярности ) показывают, что множество всех натуральных чисел ${ displaystyle n}$ такой, что " ${ Displaystyle {0, ldots, п }}$ хорошо упорядочен "является индуктивным и, следовательно, должен содержать все натуральные числа; из этого свойства можно заключить, что множество всех натуральных чисел также хорошо упорядочено.

Во втором смысле эта фраза используется, когда на это предложение полагаются с целью обоснования доказательств, которые принимают следующую форму: чтобы доказать, что каждое натуральное число принадлежит определенному множеству ${ displaystyle S}$ , предположим противное, что означает, что набор контрпримеров не пуст и, следовательно, содержит наименьший контрпример. Затем покажите, что для любого контрпримера существует еще меньший контрпример, что приводит к противоречию. Этот способ аргументации является контрапозитивный доказательства полная индукция. Он беззаботно известен как "минимальный преступник "метод и по своей природе похож на Ферма метод "бесконечный спуск ".

Гаррет Биркофф и Saunders Mac Lane написал в Обзор современной алгебры что это свойство, как и аксиома наименьшей верхней границы для действительных чисел - неалгебраический; т.е. его нельзя вывести из алгебраических свойств целых чисел (которые образуют упорядоченный область целостности ).

использованная литература

^ Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр.13. ISBN 0-387-90163-9.

[1] Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр.13. ISBN 0-387-90163-9.

[1]