Конструируемая вселенная - Constructible universe

Не путать с Метрика Гёделя.

В математика, в теория множеств, то конструируемая вселенная (или же Конструируемая вселенная Гёделя), обозначаемый L, это особый учебный класс из наборы которые можно полностью описать в терминах более простых множеств. L это союз конструктивная иерархия L_α . Он был представлен Курт Гёдель в его статье 1938 года «Непротиворечивость аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума».^[1] Этим он доказал, что конструируемая вселенная является внутренняя модель из ZF теория множеств, а также аксиома выбора и гипотеза обобщенного континуума верны в конструируемой вселенной. Это показывает, что оба предложения последовательный с основными аксиомы теории множеств, если сама ZF непротиворечива. Поскольку многие другие теоремы верны только в системах, в которых верно одно или оба предложения, их согласованность является важным результатом.

Что L является

L можно рассматривать как построение «этапов», напоминающих Вселенная фон Неймана, V. Этапы индексируются порядковые. Во вселенной фон Неймана на преемник этап, один берет V_α+1 быть набором все подмножества предыдущего этапа, V_α. Напротив, в конструируемой вселенной Гёделя L, один использует Только те подмножества предыдущего этапа, которые:

• определяемый формула в формальный язык теории множеств,
• с параметры с предыдущего этапа и,
• с кванторы интерпретируется как диапазон по сравнению с предыдущим этапом.

Ограничивая себя наборами, определенными только в терминах того, что уже было построено, можно гарантировать, что результирующие наборы будут построены таким образом, который не зависит от особенностей окружающей модели теории множеств и содержится в любой такой модели.

Определять

${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ is a first-order formula and }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.}$

L определяется как трансфинитная рекурсия следующее:

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• Если ${\displaystyle \lambda }$ это предельный порядковый номер, тогда ${\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$ Здесь α<λ средства α предшествует λ.
• ${\displaystyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$ Здесь Ord обозначает учебный класс всех ординалов.

Если z является элементом L_α, тогда z = {у | у ∈ L_α и у ∈ z} ∈ Def (L_α) = L_{α + 1}. Так L_α это подмножество L_α+1, который является подмножеством набор мощности из L_α. Следовательно, это башня вложенных транзитивные множества. Но L сам по себе правильный класс.

Элементы L называются «конструктивными» наборами; и L сам по себе является «конструируемой вселенной». "аксиома конструктивности ", иначе"V = L", говорит, что каждый набор (из V) конструктивно, т.е. в L.

Дополнительные факты о наборах L_α

Эквивалентное определение для L_α является:

Для любого порядкового номера α, ${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!}$.

Для любого конечного ординала п, наборы L_п и V_п одинаковы (будь то V равно L или нет), и поэтому L_ω = V_ω: их элементы точно такие наследственно конечные множества. Равенство за пределами этой точки не выполняется. Даже в моделях ZFC в котором V равно L, L_ω+1 является собственным подмножеством V_ω+1, а затем L_α+1 является собственным подмножеством мощности множества L_α для всех α > ω. С другой стороны, V = L подразумевает, что V_α равно L_α если α = ω_α, например, если α недоступен. В более общем смысле, V = L подразумевает ЧАС_α = L_α для всех бесконечных кардиналов α.

Если α - бесконечный ординал, то существует биекция между L_α и α, и биекция конструктивна. Итак, эти наборы равномерный в любой модели теории множеств, которая их включает.

Как определено выше, Def (Икс) - множество подмножеств Икс определяется как Δ₀ формулы (то есть формулы теории множеств, содержащие только ограниченные кванторы ), которые используются только в качестве параметров Икс и его элементы.

Другое определение, данное Гёделем, характеризует каждую L_α+1 как пересечение набора мощности L_α с закрытием ${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$ под набором из девяти явных функций, подобных Гёделевские операции. Это определение не ссылается на определимость.

Все арифметический подмножества ω и отношения на ω принадлежать L_ω+1 (потому что арифметическое определение дает единицу в L_ω+1). И наоборот, любое подмножество ω принадлежащий L_ω+1 является арифметическим (поскольку элементы L_ω можно закодировать натуральными числами таким образом, что ∈ определимо, т.е. арифметически). С другой стороны, L_ω+2 уже содержит определенные неарифметические подмножества ω, например, набор (кодирование натуральных чисел) истинных арифметических утверждений (это можно определить из L_ω+1 так это в L_ω+2).

Все гиперарифметический подмножества ω и отношения на ω принадлежать ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$ (куда ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ стоит за Чёрч – Клини ординал ), и наоборот, любое подмножество ω это принадлежит ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$ гиперарифметичен.^[2]

L стандартная внутренняя модель ZFC

L стандартная модель, т.е. переходный класс и он использует реальную взаимосвязь элементов, поэтому обоснованный. L является внутренней моделью, т.е. содержит все порядковые номера V и в нем нет дополнительных наборов, кроме V, но это может быть правильный подкласс V. L это модель ZFC, что означает, что он удовлетворяет следующему аксиомы:

• Аксиома регулярности: Каждый непустой набор Икс содержит некоторый элемент у такой, что Икс и у непересекающиеся множества.

(L, ∈) является подструктурой (V, ∈), что хорошо обосновано, поэтому L хорошо обосновано. В частности, если у ∈ Икс ∈ L, то по транзитивности L, у ∈ L. Если мы используем то же самое у как в V, то он по-прежнему не пересекается с Икс потому что мы используем то же отношение элементов, и новые наборы не были добавлены.

• Аксиома протяженности: Два набора являются одинаковыми, если они содержат одинаковые элементы.

Если Икс и у находятся в L и они имеют те же элементы в L, затем по Lтранзитивности, они имеют одинаковые элементы (в V). Значит, они равны (в V и таким образом в L).

• Аксиома пустого множества: {} - это набор.

{} = L₀ = {у | у∈L₀ и у=у} ∈ L₁. Итак, {} ∈ L. Поскольку отношение элементов такое же, и новые элементы не были добавлены, это пустой набор L.

• Аксиома спаривания: Если Икс, у - множества, то {Икс,у} - это набор.

Если Икс ∈ L и у ∈ L, то есть порядковый α такой, что Икс ∈ L_α и у∈L_α. Потом {Икс,у} = {s | s ∈ L_α и (s = Икс или же s = у)} ∈ L_α+1. Таким образом {Икс,у} ∈ L и имеет то же значение для L что касается V.

• Аксиома союза: Для любого набора Икс есть набор у элементы которого являются в точности элементами элементов Икс.

Если Икс ∈ L_α, то его элементы находятся в L_α и их элементы также находятся в L_α. Так у это подмножество L_α. у = {s | s ∈ L_α и существует z ∈ Икс такой, что s ∈ z} ∈ L_α+1. Таким образом у ∈ L.

• Аксиома бесконечности: Существует набор Икс такой, что {} находится в Икс и когда у в Икс, так это союз ${\displaystyle y\cup \{y\}}$.

Из трансфинитная индукция, получаем, что каждый порядковый номер α ∈ L_α+1. Особенно, ω ∈ L_ω+1 и поэтому ω ∈ L.

• Аксиома разделения: Для любого набора S и любое предложение п(Икс,z₁,...,z_п), {Икс | Икс ∈ S и п(Икс,z₁,...,z_п)} - это множество.

Индукцией по подформулам формулы п, можно показать, что существует α такой, что L_α содержит S и z₁,...,z_п и (п верно в L_α если и только если п верно в L (это называется "принцип отражения ")). Так {Икс | Икс ∈ S и п(Икс,z₁,...,z_п) держится в L} = {Икс | Икс ∈ L_α и Икс ∈ S и п(Икс,z₁,...,z_п) держится в L_α} ∈ L_α+1. Таким образом, подмножество находится в L.

• Аксиома замещения: Для любого набора S и любое отображение (формально определяемое как предложение п(Икс,у) куда п(Икс,у) и P (Икс,z) подразумевает у = z), {у | Существует Икс ∈ S такой, что п(Икс,у)} - это множество.

Позволять Q(Икс,у) - формула, которая релятивизирует п к L, т.е. все кванторы в п ограничены L. Q это гораздо более сложная формула, чем п, но это все еще конечная формула, и поскольку п было отображение над L, Q должно быть отображение на V; таким образом, мы можем применить замену в V к Q. Так {у | у ∈ L и существует Икс ∈ S такой, что п(Икс,у) держится в L} = {у | Существует Икс ∈ S такой, что Q(Икс,у)} - это множество в V и подкласс L. Снова используя аксиому замены в V, мы можем показать, что должна быть α такой, что этот набор является подмножеством L_α ∈ L_α+1. Тогда можно использовать аксиому разделения в L чтобы закончить показ того, что это элемент L.

• Аксиома власти: Для любого набора Икс существует набор у, такие что элементы у в точности подмножества Икс.

В общем, некоторые подмножества множества в L не будет в L. Таким образом, весь набор мощности установлен в L обычно не будет в L. Здесь нам нужно показать, что пересечение множества степеней с L является в L. Используйте замену в V чтобы показать, что существует такое α, что пересечение является подмножеством L_α. Тогда пересечение {z | z ∈ L_α и z это подмножество Икс} ∈ L_α+1. Таким образом, требуемый набор находится в L.

• Аксиома выбора: Учитывая набор Икс взаимно непересекающихся непустых множеств существует множество у (набор для выбора Икс), содержащий ровно один элемент от каждого члена Икс.

Можно показать, что существует определимая упорядоченность L какое определение работает одинаково в L сам. Таким образом, каждый выбирает наименьший элемент из каждого члена Икс формировать у используя аксиомы объединения и разделения в L.

Обратите внимание, что доказательство того, что L модель ZFC требует только V быть моделью ZF, т.е. мы делаем нет Предположим, что аксиома выбора верна в V.

L абсолютный и минимальный

Если W любая стандартная модель ZF с теми же порядковыми номерами, что и V, то L определено в W такой же, как L определено в V. Особенно, L_α то же самое в W и V, для любого порядкового номера α. И те же формулы и параметры в Def (L_α) производят те же конструктивные множества в L_α+1.

Кроме того, поскольку L является подклассом V и аналогично L является подклассом W, L это наименьший класс, содержащий все ординалы, который является стандартной моделью ZF. В самом деле, L является пересечением всех таких классов.

Если есть набор W в V это стандартная модель ZF, а порядковый κ это набор ординалов, которые встречаются в W, тогда L_κ это L из W. Если существует набор, являющийся стандартной моделью ZF, то наименьшим из таких наборов является такой L_κ. Этот набор называется минимальная модель ZFC. Используя нисходящий Теорема Левенгейма – Сколема, можно показать, что минимальная модель (если она существует) является счетным множеством.

Конечно, любая непротиворечивая теория должна иметь модель, поэтому даже в минимальной модели теории множеств есть множества, которые являются моделями ZF (при условии, что ZF непротиворечива). Однако эти установленные модели нестандартны. В частности, они не используют нормальное отношение элементов и не имеют достаточного обоснования.

Потому что как L из L и V из L настоящие L и оба L из L_κ и V из L_κ настоящие L_κмы получаем это V = L верно в L и в любом L_κ это модель ZF. Тем не мение, V = L не выполняется ни в одной другой стандартной модели ZF.

L и большие кардиналы

Поскольку Ord ⊂ L ⊆ V, свойства ординалов, которые зависят от отсутствия функции или другой структуры (т. е. Π₁^ZF формулы) сохраняются при спуске с V к L. Следовательно начальные порядковые номера кардиналов остаются первоначальными в L. Обычные порядковые оставаться регулярным в L. Слабый ограничить кардиналов стать сильными кардиналами лимитов в L поскольку гипотеза обобщенного континуума держит в L. Слабо недоступные кардиналы становятся сильно недоступными. Слабо Мало кардиналов стало сильно махло. И вообще любой большой кардинал собственность слабее, чем 0^# (см. список больших кардинальных свойств ) будет сохранен в L.

Однако 0^# ложно в L даже если это правда в V. Таким образом, все большие кардиналы, существование которых подразумевает 0^# перестают иметь эти большие кардинальные свойства, но сохраняют свойства более слабые, чем 0# которыми они также обладают. Например, измеримые кардиналы перестают быть измеримыми, но остаются Мало в L.

Если 0^# держит в V, то есть закрытый неограниченный класс ординалов, которые неразличимый в L. Хотя некоторые из них даже не являются начальными порядковыми номерами в V, они обладают всеми большими кардинальными свойствами слабее 0^# в L. Более того, любая строго возрастающая функция класса из класса неразличимый сам по себе может быть расширен уникальным способом до элементарное вложение из L в L. Это дает L красивая структура повторяющихся сегментов.

L можно хорошо заказать

Есть разные способы хорошо заказать L. Некоторые из них включают «тонкая структура» L, впервые описанный Рональд Бьорн Дженсен в своей статье 1972 года, озаглавленной «Тонкая структура конструктивной иерархии». Вместо объяснения тонкой структуры мы дадим схему того, как L можно упорядочить, используя только приведенное выше определение.

Предполагать Икс и у два разных набора в L и мы хотим определить, Икс < у или же Икс > у. Если Икс впервые появляется в L_α+1 и у впервые появляется в L_β+1 и β отличается от α, тогда пусть Икс < у если и только если α < β. В дальнейшем мы предполагаем, что β = α.

Сцена L_α+1 = Def (L_α) использует формулы с параметрами из L_α определить множества Икс и у. Если учесть (на данный момент) параметры, формулам можно придать стандартный Гёделевская нумерация натуральными числами. Если Φ формула с наименьшим числом Гёделя, которое может использоваться для определения Икс, и Ψ формула с наименьшим числом Гёделя, которое может использоваться для определения у, и Ψ отличается от Φ, тогда пусть Икс < у если и только если Φ < Ψ в нумерации Гёделя. В дальнейшем мы предполагаем, что Ψ = Φ.

Предположим, что Φ использует п параметры из L_α. Предполагать z₁,...,z_п это последовательность параметров, которые можно использовать с Φ определять Икс, и ш₁,...,ш_п делает то же самое для у. Тогда пусть Икс < у если и только если либо z_п < ш_п или же (z_п = ш_п и z_{п − 1} < ш_{п − 1}) или (z_п= w_п и z_{п − 1} = ш_{п − 1} и z_{п − 2} < ш_{п − 2}) и т.д. Это называется обратным лексикографический порядок; если есть несколько последовательностей параметров, которые определяют один из наборов, мы выбираем наименьший из них в этом порядке. Понятно, что возможные значения каждого параметра упорядочены в соответствии с ограничением порядка следования L к L_α, поэтому это определение включает трансфинитную рекурсию на α.

Упорядоченность значений отдельных параметров обеспечивается индуктивной гипотезой трансфинитной индукции. Ценности п- наборы параметров упорядочены при заказе товара. Формулы с параметрами хорошо упорядочены по упорядоченной сумме (по числам Гёделя) упорядоченных состояний. И L упорядочен по упорядоченной сумме (индексируется α) заказов на L_α+1.

Обратите внимание, что этот порядок можно определить в L по формуле теории множеств без параметров, только со свободными переменными Икс и у. И эта формула дает то же самое значение истины независимо от того, оценивается ли он в L, V, или же W (какая-то другая стандартная модель ZF с такими же порядковыми номерами), и мы будем считать, что формула неверна, если либо Икс или же у не в L.

Хорошо известно, что аксиома выбора эквивалентна способности хорошо упорядочить каждый набор. Уметь правильно организовать правильный класс V (как мы сделали здесь с L) эквивалентно аксиома глобального выбора, что мощнее обычного аксиома выбора потому что он также охватывает собственные классы непустых множеств.

L имеет принцип отражения

Доказывая, что аксиома разделения, аксиома замены, и аксиома выбора держать в L требует (по крайней мере, как показано выше) использования принцип отражения за L. Здесь мы описываем такой принцип.

Индукцией по п < ω, мы можем использовать ZF в V доказать, что для любого порядкового α, есть порядковый номер β > α так что для любого предложения п(z₁,...,z_k) с z₁,...,z_k в L_β и содержащие менее п символы (считая постоянный символ для элемента L_β как один символ) получаем, что п(z₁,...,z_k) держится в L_β тогда и только тогда, когда он держится L.

Гипотеза обобщенного континуума верна в L

Позволять ${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$, и разреши Т любое конструктивное подмножество S. Тогда есть некоторые β с ${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$, так ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}}$, для какой-то формулы Φ и немного ${\displaystyle z_{i}}$ срисованный с ${\displaystyle L_{\beta }}$. По нисходящей Теорема Левенгейма – Сколема и Мостовский крах, должно быть какое-то транзитивное множество K содержащий ${\displaystyle L_{\alpha }}$ и немного ${\displaystyle w_{i}}$, и имея ту же теорию первого порядка, что и ${\displaystyle L_{\beta }}$ с ${\displaystyle w_{i}}$ заменен на ${\displaystyle z_{i}}$; и это K будет иметь тот же кардинал, что и ${\displaystyle L_{\alpha }}$. С ${\displaystyle V=L}$ верно в ${\displaystyle L_{\beta }}$, это также верно в K, так ${\displaystyle K=L_{\gamma }}$ для некоторых γ имеющий тот же кардинал, что и α. И ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}}$ потому что ${\displaystyle L_{\beta }}$ и ${\displaystyle L_{\gamma }}$ есть та же теория. Так Т на самом деле в ${\displaystyle L_{\gamma +1}}$.

Итак, все конструктивные подмножества бесконечного множества S иметь ранги с (не более) одинаковыми кардинальными κ как ранг S; следует, что если δ начальный порядковый номер для κ⁺, тогда ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$ служит «силовым агрегатом» S в L. Таким образом, этот «силовой набор» ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$. А это, в свою очередь, означает, что «силовой набор» S имеет кардинал не более ||δ||. Предполагая S сам имеет кардинальный κ, тогда "силовой набор" должен иметь кардинал точно κ⁺. Но это как раз то гипотеза обобщенного континуума относиться к L.

Конструируемые множества определяются из ординалов

Существует формула теории множеств, которая выражает идею, что Икс = L_α. В нем есть только бесплатные переменные для Икс и α. Используя это, мы можем расширить определение каждого конструктивного множества. Если s ∈ L_α+1, тогда s = {у | у ∈ L_α и Φ(у,z₁,...,z_п) выполняется в (L_α, ∈)} для некоторой формулы Φ и немного z₁,...,z_п в L_α. Это эквивалентно тому, что: для всех у, у ∈ s тогда и только тогда, когда [существует Икс такой, что Икс =L_α и у ∈ Икс и Ψ(Икс,у,z₁,...,z_п)] куда Ψ(Икс, ...) является результатом ограничения каждого квантора в Φ(...) к Икс. Обратите внимание, что каждый z_k ∈ L_β+1 для некоторых β < α. Комбинируйте формулы для zс формулой для s и применить экзистенциальные кванторы над zснаружи, и получается формула, определяющая конструктивный набор s используя только порядковые номера α которые появляются в таких выражениях, как Икс = L_α как параметры.

Пример: набор {5,ω} конструктивно. Это уникальный набор s который удовлетворяет формуле:

${\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))}$,

куда ${\displaystyle Ord(a)}$ это сокращение от:

${\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).}$

Фактически, даже эта сложная формула была упрощена по сравнению с инструкциями, данными в первом абзаце. Но суть в том, что существует формула теории множеств, которая верна только для желаемого конструктивного множества. s и содержит параметры только для порядковых номеров.

Относительная конструктивность

Иногда желательно найти более узкую модель теории множеств, чем L, но он включает или находится под влиянием набора, который невозможно построить. Это порождает концепцию относительной конструктивности, у которой есть две разновидности, обозначаемые L(А) и L[А].

Класс L(А) для неконструктивного множества А является пересечением всех классов, которые являются стандартными моделями теории множеств и содержат А и все ординалы.

L(А) определяется трансфинитная рекурсия следующее:

• L₀(А) = наименьшее транзитивное множество, содержащее А как элемент, т.е. переходное закрытие из { А }.
• L_α+1(А) = Def (L_α(А))
• Если λ предельный ординал, то ${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)\!}$.
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)\!}$.

Если L(А) содержит хороший порядок транзитивного замыкания A, то он может быть расширен до хорошего порядка L(А). В противном случае аксиома выбора потерпит неудачу. L(А).

Типичный пример: ${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$, самая маленькая модель, содержащая все действительные числа, которая широко используется в современных описательная теория множеств.

Класс L[А] - класс множеств, на построение которых влияет А, куда А может быть (предположительно неконструктивным) набором или собственным классом. В определении этого класса используется Def_А (Икс), что аналогично Def (Икс) за исключением того, что вместо оценки истинности формул Φ в модели (Икс, ∈), используется модель (Икс,∈,А) куда А это унарный предикат. Предполагаемая интерпретация А(у) является у ∈ А. Тогда определение L[А] точно так же L только с Def, замененным на Def_А.

L[А] всегда является моделью аксиомы выбора. Даже если А это набор, А не обязательно сам является членом L[А], хотя всегда так, если А представляет собой набор ординалов.

Наборы в L(А) или же L[А] обычно не являются конструктивными, и свойства этих моделей могут сильно отличаться от свойств L сам.

Смотрите также

• Аксиома конструктивности
• Утверждения верны в L
• Принцип отражения
• Аксиоматическая теория множеств
• Переходный набор
• L (R)
• Порядковый определяемый

Примечания

1. Гёдель 1938.
2. Barwise 1975, стр. 60 (комментарий после доказательства теоремы 5.9)

Рекомендации

• Барвайз, Джон (1975). Допустимые множества и структуры. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-07451-1.
• Девлин, Кейт Дж. (1984). Конструктивность. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-13258-9.
• Фельгнер, Ульрих (1971). Модели теории ZF-множеств. Конспект лекций по математике. Springer-Verlag. ISBN  3-540-05591-6.
• Гёдель, Курт (1938). «Непротиворечивость аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. Национальная академия наук. 24 (12): 556–557. Дои:10.1073 / пнас.24.12.556. JSTOR  87239. ЧВК  1077160. PMID  16577857.
• Гёдель, Курт (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума. Анналы математических исследований. 3. Принстон, штат Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-07927-1. МИСТЕР  0002514.
• Jech, Thomas (2002). Теория множеств. Монографии Спрингера по математике (изд. 3-го тысячелетия). Springer. ISBN  3-540-44085-2.