Наследственно счетное множество - Hereditarily countable set

В теория множеств, набор называется наследственно счетный если это счетный набор из по наследству счетные множества. Этот индуктивное определение на самом деле обоснованный и может быть выражено на языке первый заказ теория множеств. Множество наследственно счетно тогда и только тогда, когда оно счетно, и каждый элемент его переходное закрытие счетно. Если аксиома счетного выбора то множество наследственно счетно тогда и только тогда, когда его транзитивное замыкание счетно.

В учебный класс всех наследственно счетных множеств может быть доказано, что они являются множеством из аксиом Теория множеств Цермело – Френкеля (ZF) без какой-либо формы аксиома выбора, и этот набор обозначен ${displaystyle H_{aleph _{1}}}$. Наследственно счетные множества образуют модель Теория множеств Крипке – Платека. с аксиома бесконечности (KPI), если принять аксиому счетного выбора в метатеория.

Если ${displaystyle xin H_{aleph _{1}}}$, тогда ${displaystyle L_{omega _{1}}(x)subset H_{aleph _{1}}}$.

В более общем смысле набор наследственно мощностью меньше κ если и только если это мощность меньше κ, и все его элементы наследственно имеют мощность меньше κ; класс всех таких множеств также может быть доказан как множество из аксиом ZF и обозначается ${displaystyle H_{kappa }!}$. Если аксиома выбора верна и кардинал κ регулярно, то множество наследственно имеет мощность меньше κ тогда и только тогда, когда его транзитивное замыкание имеет мощность меньше κ.

Смотрите также

• Наследственно конечное множество
• Конструируемая вселенная

внешняя ссылка

• "О наследственно счетных множествах" к Томас Джеч