Клубный набор - Club set

В математика, особенно в математическая логика и теория множеств, а клубный набор является подмножеством предельный порядковый номер то есть закрыто под топология заказа, и неограничен (см. ниже) относительно предельного ординала. Название клуб является сокращением «замкнутого и неограниченного».

Формальное определение

Формально, если ${\displaystyle \kappa }$ - предельный ординал, то множество ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ является закрыто в ${\displaystyle \kappa }$ если и только если для каждого ${\displaystyle \alpha <\kappa }$, если ${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0}$, тогда ${\displaystyle \alpha \in C}$. Таким образом, если предел некоторой последовательности из ${\displaystyle C}$ меньше чем ${\displaystyle \kappa }$, то предел также находится в ${\displaystyle C}$.

Если ${\displaystyle \kappa }$ предельный порядковый номер и ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ тогда ${\displaystyle C}$ является неограниченный в ${\displaystyle \kappa }$ если для любого ${\displaystyle \alpha <\kappa }$, существует некоторое ${\displaystyle \beta \in C}$ такой, что ${\displaystyle \alpha <\beta }$.

Если множество одновременно замкнуто и неограниченно, то это клубный набор. Закрыто правильные классы также представляют интерес (каждый собственный класс ординалов неограничен в классе всех ординалов).

Например, набор всех счетный limit ordinals - это клуб, установленный относительно первый несчетный порядковый номер; но это не клубный набор по отношению к любому более высокому предельному порядковому номеру, поскольку он не является ни замкнутым, ни неограниченным. ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ замкнуто неограниченно в ${\displaystyle \kappa }$. На самом деле клубный набор - это не что иное, как ассортимент нормальная функция (т.е. возрастающий и непрерывный).

В более общем смысле, если ${\displaystyle X}$ непустое множество и ${\displaystyle \lambda }$ кардинал, то ${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$ является клуб если каждое объединение подмножества ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle C}$ и каждое подмножество ${\displaystyle X}$ мощности меньше чем ${\displaystyle \lambda }$ содержится в каком-то элементе ${\displaystyle C}$ (видеть стационарный набор ).

Закрытый неограниченный фильтр

Позволять ${\displaystyle \kappa \,}$ быть предельным порядковым номером несчетного конфинальность ${\displaystyle \lambda \,.}$ Для некоторых ${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$, позволять ${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,}$ - последовательность замкнутых неограниченных подмножеств ${\displaystyle \kappa \,.}$ потом ${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$ также замкнуто неограниченно. Чтобы убедиться в этом, можно заметить, что пересечение замкнутых множеств всегда замкнуто, поэтому нам просто нужно показать, что это пересечение неограниченно. Так что исправьте любое ${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$ и для каждого п<ω выбираем из каждого ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ элемент ${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$ что возможно, потому что каждый из них неограничен. Поскольку это коллекция из менее чем ${\displaystyle \lambda \,}$ порядковые, все меньше ${\displaystyle \kappa \,,}$ их наименьшая верхняя граница также должна быть меньше, чем ${\displaystyle \kappa \,,}$ так что мы можем назвать это ${\displaystyle \beta _{n+1}\,.}$ Этот процесс генерирует счетную последовательность ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots \,.}$ Предел этой последовательности должен фактически быть пределом последовательности ${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots \,,}$ и поскольку каждый ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ закрыт и ${\displaystyle \lambda \,}$ неисчислимо, этот лимит должен быть в каждом ${\displaystyle C_{\xi }\,,}$ и, следовательно, этот предел является элементом пересечения выше ${\displaystyle \beta _{0}\,,}$ что показывает, что пересечение неограничено. QED.

Из этого видно, что если ${\displaystyle \kappa \,}$ обычный кардинал, то ${\displaystyle \{S\subset \kappa :\exists C\subset S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}\,}$ не является основным ${\displaystyle \kappa \,}$-полный фильтр на ${\displaystyle \kappa \,.}$

Если ${\displaystyle \kappa \,}$ является обычным кардиналом, то клубные множества также закрываются диагональное пересечение.

Фактически, если ${\displaystyle \kappa \,}$ регулярно и ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ есть ли какой-либо фильтр на ${\displaystyle \kappa \,,}$ замкнутый относительно диагонального пересечения, содержащий все множества вида ${\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,}$ за ${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$ тогда ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ должны включать все комплекты клюшек.

Смотрите также

• Клубный фильтр
• Стационарный набор
• Клубный костюм

Рекомендации

• Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Леви, Азриэль (1979) Основная теория множеств, Перспективы математической логики, Springer-Verlag. Перепечатано в 2002 г., Дувр. ISBN  0-486-42079-5
• В этой статье использованы материалы Club on PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.