Клубный фильтр - Club filter - Wikipedia

В математика, особенно в теория множеств, если ${\displaystyle \kappa }$ это обычный бесчисленный кардинал тогда ${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$, то фильтр из всех наборы содержащий подмножество клубов из ${\displaystyle \kappa }$, это ${\displaystyle \kappa }$-полный фильтр закрыт под диагональное пересечение называется клубный фильтр.

Чтобы увидеть, что это фильтр, обратите внимание, что ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {club} (\kappa )}$ поскольку он, таким образом, замкнут и неограничен (см. клубный набор ). Если ${\displaystyle x\in \operatorname {club} (\kappa )}$ тогда любой подмножество из ${\displaystyle \kappa }$ содержащий ${\displaystyle x}$ также в ${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$, поскольку ${\displaystyle x}$и, следовательно, все, что его содержит, содержит клубный набор.

Это ${\displaystyle \kappa }$-полный фильтр, потому что пересечение менее чем ${\displaystyle \kappa }$ клубные наборы - это клубные наборы. Чтобы увидеть это, предположим ${\displaystyle \langle C_{i}\rangle _{i<\alpha }}$ это последовательность клубных сетов, где ${\displaystyle \alpha <\kappa }$. Очевидно ${\displaystyle C=\bigcap C_{i}}$ замкнуто, так как любая последовательность, которая появляется в ${\displaystyle C}$ появляется в каждом ${\displaystyle C_{i}}$, и поэтому его предел также в каждом ${\displaystyle C_{i}}$. Чтобы показать, что он неограничен, возьмите ${\displaystyle \beta <\kappa }$. Позволять ${\displaystyle \langle \beta _{1,i}\rangle }$ быть возрастающей последовательностью с ${\displaystyle \beta _{1,1}>\beta }$ и ${\displaystyle \beta _{1,i}\in C_{i}}$ для каждого ${\displaystyle i<\alpha }$. Такую последовательность можно построить, поскольку каждое ${\displaystyle C_{i}}$ неограничен. С ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ и ${\displaystyle \kappa }$ регулярна, предел этой последовательности меньше ${\displaystyle \kappa }$. Мы называем это ${\displaystyle \beta _{2}}$, и определим новую последовательность ${\displaystyle \langle \beta _{2,i}\rangle }$ аналогично предыдущей последовательности. Мы можем повторить этот процесс, получив последовательность последовательностей ${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$ где каждый элемент последовательности больше, чем каждый член предыдущих последовательностей. Тогда для каждого ${\displaystyle i<\alpha }$, ${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$ - возрастающая последовательность, содержащаяся в ${\displaystyle C_{i}}$, и все эти последовательности имеют один и тот же предел (предел ${\displaystyle \langle \beta _{j,i}\rangle }$). Тогда этот предел содержится в каждом ${\displaystyle C_{i}}$, и поэтому ${\displaystyle C}$, и больше, чем ${\displaystyle \beta }$.

Чтобы увидеть это ${\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )}$ замкнуто относительно диагонального пересечения, пусть ${\displaystyle \langle C_{i}\rangle }$, ${\displaystyle i<\kappa }$ последовательность клубных множеств, и пусть ${\displaystyle C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}}$. Показывать ${\displaystyle C}$ закрыто, предположим ${\displaystyle S\subseteq \alpha <\kappa }$ и ${\displaystyle \bigcup S=\alpha }$. Тогда для каждого ${\displaystyle \gamma \in S}$, ${\displaystyle \gamma \in C_{\beta }}$ для всех ${\displaystyle \beta <\gamma }$. Поскольку каждый ${\displaystyle C_{\beta }}$ закрыто, ${\displaystyle \alpha \in C_{\beta }}$ для всех ${\displaystyle \beta <\alpha }$, так ${\displaystyle \alpha \in C}$. Показывать ${\displaystyle C}$ неограничен, пусть ${\displaystyle \alpha <\kappa }$, и определим последовательность ${\displaystyle \xi _{i}}$, ${\displaystyle i<\omega }$ следующее: ${\displaystyle \xi _{0}=\alpha }$, и ${\displaystyle \xi _{i+1}}$ минимальный элемент ${\displaystyle \bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }}$ такой, что ${\displaystyle \xi _{i+1}>\xi _{i}}$. Такой элемент существует, так как согласно вышеизложенному пересечение ${\displaystyle \xi _{i}}$ клубные наборы клубные. потом ${\displaystyle \xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha }$ и ${\displaystyle \xi \in C}$, так как он есть в каждом ${\displaystyle C_{i}}$ с ${\displaystyle i<\xi }$.

Рекомендации

• Jech, Томас, 2003. Теория множества: издание третьего тысячелетия, переработанное и дополненное. Springer. ISBN  3-540-44085-2.

Эта статья включает материал из клубного фильтра по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.