Прямой лимит - Direct limit

В математика, а прямой предел - это способ создания (обычно большого) объекта из множества (обычно меньших) объектов, соединенных определенным образом. Эти объекты могут быть группы, кольца, векторные пространства или вообще предметы из любых категория. То, как они собраны вместе, определяется системой гомоморфизмы (гомоморфизм групп, гомоморфизм колец или вообще морфизмы в категории) между этими меньшими объектами. Прямой предел объектов ${\displaystyle A_{i}}$, куда ${\displaystyle i}$ колеблется над некоторыми направленный набор ${\displaystyle I}$, обозначается ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$. (Это небольшое злоупотребление обозначениями поскольку он подавляет систему гомоморфизмов, которая имеет решающее значение для структуры предела.)

Прямые лимиты - это частный случай концепции копредел в теория категорий. Прямые ограничения двойной к обратные пределы которые также являются частным случаем пределы в теории категорий.

Формальное определение

Сначала дадим определение для алгебраические структуры подобно группы и модули, а затем общее определение, которое можно использовать в любом категория.

Прямые пределы алгебраических объектов

В этом разделе объекты понимаются как лежащие в основе наборы с данным алгебраическая структура, Такие как группы, кольца, модули (над фиксированным кольцом), алгебры (над фиксированным полем) и т. д. Имея это в виду, гомоморфизмы понимаются в соответствующей настройке (гомоморфизмы групп, так далее.).

Позволять ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ быть направленный частично заказанный установить (обратите внимание, что не все авторы требуют я быть направленным). Позволять А_• = (А_я)_{я ∈ я} быть семьей объектов индексированный к ${\displaystyle I\,}$ и ${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$ гомоморфизм для всех ${\displaystyle i\leq j}$ со следующими свойствами:

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$ это личность ${\displaystyle A_{i}\,}$, и
2. Условие совместимости: ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$ для всех ${\displaystyle i\leq j\leq k}$; то есть, ${\displaystyle A_{i}\xrightarrow {f_{ij}} A_{j}\xrightarrow {f_{jk}} A_{k}\;\;{\text{ is equal to }}\;\;A_{i}\xrightarrow {f_{ik}} A_{k}.}$

Тогда пара ${\displaystyle \langle A_{\bullet },f_{ij}\rangle }$ называется прямая система через ${\displaystyle I}$. Карты ж _ij называются связь, соединение, переход, или же связывание карты/морфизмы системы. Если карты связывания понятны или нет необходимости назначать им символы (например, как в формулировках некоторых теорем), то карты связывания часто опускаются (т.е. не записываются); по этой причине часто встречаются такие утверждения, как "let ${\displaystyle A_{\bullet }}$ быть прямой системой ".^{[примечание 1]}

Система называется инъективный (соотв. сюръективныйи т. д.), если это верно для всех карт связи. Если я направлен (соотв. счетный ), то система называется направленный (соотв. счетный).^[1]

В прямой предел прямой системы ${\displaystyle \left\langle A_{\bullet },f_{ij}\right\rangle }$ обозначается ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ и определяется следующим образом. Его базовым набором является несвязный союз из ${\displaystyle A_{i}\,}$с по модулю определенный отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim \,}$:

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Здесь, если ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$, тогда ${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ если только существует некоторое ${\displaystyle k\in I}$ с ${\displaystyle i\leq k}$ и ${\displaystyle j\leq k}$ и такой, что ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$. С эвристической точки зрения, два элемента в непересекающемся союзе эквивалентны тогда и только тогда, когда они «со временем становятся равными» в прямой системе. Эквивалентная формулировка, подчеркивающая двойственность обратный предел состоит в том, что элемент эквивалентен всем своим изображениям при отображении прямой системы, т.е. ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$ в любое время ${\displaystyle i\leq j}$.

Из этого определения естественно получить канонические функции ${\displaystyle \phi _{i}\colon A_{i}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$ отправка каждого элемента в его класс эквивалентности. Алгебраические операции на ${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$ определены так, что эти отображения становятся гомоморфизмами. Формально прямой предел прямой системы ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ состоит из объекта ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ вместе с каноническими гомоморфизмами ${\displaystyle \phi _{i}\colon A_{i}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$.

Прямые ограничения в произвольной категории

Прямой предел можно определить в произвольной категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ с помощью универсальная собственность. Позволять ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ быть прямой системой объектов и морфизмов в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (как определено выше). А цель или же кокон пара ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ куда ${\displaystyle X\,}$ это объект в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и ${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$ морфизмы для каждого ${\displaystyle i\in I}$ такой, что ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ в любое время ${\displaystyle i\leq j}$. А прямой предел прямой системы ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ это универсально отражающая цель ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ в том смысле, что ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ цель и для каждой цели ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$, существует уникальный морфизм ${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$ такой, что ${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$ для каждого я. Следующая диаграмма

будет затем ездить для всех я, j.

Прямой предел часто обозначают

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

с прямой системой ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ и канонические морфизмы ${\displaystyle \phi _{i}}$ быть понятым.

В отличие от алгебраических объектов, не каждая прямая система в произвольной категории имеет прямой предел. Однако если это так, то прямой предел уникален в сильном смысле: при другом прямом пределе Икс′ Существует уникальный изоморфизм Икс′ → Икс который коммутирует с каноническими морфизмами.

Примеры

• Коллекция подмножеств ${\displaystyle M_{i}}$ набора ${\displaystyle M}$ возможно частично заказанный по включению. Если коллекция направленная, ее прямым пределом является объединение ${\displaystyle \bigcup M_{i}}$. То же самое верно и для направленного сбора подгруппы данной группы или направленного набора подколец данного кольца и т. д.
• Позволять ${\displaystyle X}$ быть любым направленным множеством с величайший элемент ${\displaystyle m}$. Прямой предел любой соответствующей прямой системы изоморфен ${\displaystyle X_{m}}$ и канонический морфизм ${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$ является изоморфизмом.
• Позволять K быть полем. Для положительного целого числа прассмотрим общая линейная группа GL (п; К) состоящий из обратимых п Икс п - матрицы с записями из K. У нас есть гомоморфизм групп GL (п; К) → GL (п+1;K), который увеличивает матрицы, помещая 1 в нижнем правом углу и нули в другом месте в последней строке и столбце. Прямой предел этой системы - полная линейная группа K, записывается как GL (K). Элемент GL (K) можно представить себе как бесконечную обратимую матрицу, которая отличается от бесконечной единичной матрицы только конечным числом элементов. Группа GL (K) имеет жизненно важное значение в алгебраическая K-теория.
• Позволять п быть простое число. Рассмотрим прямую систему, состоящую из факторные группы ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ и гомоморфизмы ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$ индуцированный умножением на ${\displaystyle p}$. Прямой предел этой системы состоит из всех корни единства порядка некоторой мощности ${\displaystyle p}$, и называется Prüfer group ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$.
• Существует (неочевидный) инъективный гомоморфизм колец из кольца симметричные многочлены в ${\displaystyle n}$ переменных в кольцо симметрических многочленов от ${\displaystyle n+1}$ переменные. Образуя прямой предел этой прямой системы, получается кольцо симметрических функций.
• Позволять F быть C-ценный пучок на топологическое пространство Икс. Зафиксируйте точку Икс в Икс. Открытые кварталы Икс образуют направленное множество, упорядоченное по включению (U ≤ V если и только если U содержит V). Соответствующая прямая система (F(U), р_U,V) куда р - карта ограничения. Прямой предел этой системы называется стебель из F в Икс, обозначенный F_Икс. Для каждого района U из Икс, канонический морфизм F(U) → F_Икс сотрудники раздела s из F над U элемент s_Икс стебля F_Икс называется зародыш из s в Икс.
• Прямые лимиты в категория топологических пространств даны путем размещения окончательная топология о лежащем в основе теоретико-множественном прямом пределе.
• An инд-схема - индуктивный предел схем.

Характеристики

Прямые лимиты связаны с обратные пределы через

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

Важным свойством является то, что принятие прямых ограничений в категории модули является точный функтор. Это означает, что если вы начнете с направленной системы коротких точных последовательностей ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$ и формируя прямые ограничения, вы получаете короткую точную последовательность ${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$.

Связанные конструкции и обобщения

Отметим, что прямая система в категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ допускает альтернативное описание с точки зрения функторы. Любой направленный набор ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ можно рассматривать как малая категория ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ чьи объекты являются элементами ${\displaystyle I}$ и есть морфизмы ${\displaystyle i\rightarrow j}$ если и только если ${\displaystyle i\leq j}$. Прямая система через ${\displaystyle I}$ тогда то же самое, что и ковариантный функтор ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$. В копредел этого функтора совпадает с прямым пределом исходной прямой системы.

Понятие, тесно связанное с прямыми ограничениями, - это отфильтрованные копределы. Здесь мы начнем с ковариантного функтора ${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ из отфильтрованная категория ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ в какую-то категорию ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и образуют копредел этого функтора. Можно показать, что категория имеет все направленные пределы тогда и только тогда, когда она имеет все фильтрованные копределы, а функтор, определенный в такой категории, коммутирует со всеми прямыми пределами тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми фильтрованными копределами.^[2]

Учитывая произвольную категорию ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, могут быть прямые системы в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ которые не имеют прямого ограничения в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (рассмотрим, например, категорию конечных множеств или категорию конечно порожденных абелевых групп). В этом случае мы всегда можем вставить ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ в категорию ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ в котором существуют все прямые ограничения; объекты ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ называются инд-объекты из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

В категоричный дуальный прямого предела называется обратный предел. Как указано выше, обратные пределы можно рассматривать как пределы определенных функторов и тесно связаны с ограничениями по кофильтрованным категориям.

Терминология

В литературе можно найти термины «направленный предел», «прямой индуктивный предел», «направленный копредел», «прямой копредел» и «индуктивный предел» для концепции прямого предела, определенной выше. Термин «индуктивный предел» неоднозначен, поскольку некоторые авторы используют его для общей концепции копредела.

Смотрите также

• Прямые лимиты групп
• Обратный предел

Примечания

1. Бирстедт 1988 С. 41-56.
2. Adamek, J .; Росицки, Дж. (1994). Локально презентабельные и доступные категории. Издательство Кембриджского университета. п. 15. ISBN  9780521422611.

1. Это злоупотребление обозначениями и терминологией, поскольку вызов ${\displaystyle A_{\bullet }}$ прямая система технически некорректна.

Рекомендации

• Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). Введение в локально выпуклые индуктивные пределы. Функциональный анализ и приложения. Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek. С. 35–133. Г-Н  0046004. Получено 20 сентября 2020.
• Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Бурбаки, Николас (1968), Элементы математики. Теория множеств, Перевод с французского, Париж: Герман, Г-Н  0237342
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология. Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства. Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Мак-Лейн, Сондерс (1998), Категории для рабочего математика, Тексты для выпускников по математике, 5 (2-е изд.), Springer-Verlag