Категория функторов - Functor category

В теория категорий, филиал математика, а категория функторов ${\displaystyle D^{C}}$ это категория, в которой объекты являются функторами ${\displaystyle F:C\to D}$ и морфизмы находятся естественные преобразования ${\displaystyle \eta :F\to G}$ между функторами (здесь ${\displaystyle G:C\to D}$ это еще один объект в категории). Категории функторов представляют интерес по двум основным причинам:

• многие часто встречающиеся категории являются (замаскированными) категориями функторов, поэтому любое утверждение, доказанное для общих категорий функторов, широко применимо;
• каждая категория включает в себя категория функторов (через Йонеда вложение ); категория функторов часто имеет лучшие свойства, чем исходная категория, что позволяет выполнять определенные операции, которые не были доступны в исходной настройке.

Определение

Предполагать ${\displaystyle C}$ это малая категория (т.е. объекты и морфизмы образуют набор, а не правильный класс ) и ${\displaystyle D}$ - произвольная категория. Категория функторов из ${\displaystyle C}$ к ${\displaystyle D}$, записанный как Fun (${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$), Funct (${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$), ${\displaystyle [C,D]}$, или же ${\displaystyle D^{C}}$, имеет в качестве объектов ковариантные функторы из ${\displaystyle C}$ к ${\displaystyle D}$, а как морфизмы - естественные преобразования между такими функторами. Обратите внимание, что естественные преобразования могут быть составлены: если ${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$ является естественным преобразованием функтора ${\displaystyle F:C\to D}$ к функтору ${\displaystyle G:C\to D}$, и ${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$ является естественным преобразованием функтора ${\displaystyle G}$ к функтору ${\displaystyle H}$, то сборник ${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$ определяет естественное преобразование из ${\displaystyle F}$ к ${\displaystyle H}$. С помощью этой композиции естественных преобразований (известной как вертикальная композиция, см. естественная трансформация ), ${\displaystyle D^{C}}$ удовлетворяет аксиомам категории.

Совершенно аналогично можно также рассматривать категорию всех контравариантный функторы из ${\displaystyle C}$ к ${\displaystyle D}$; мы пишем это как Funct (${\displaystyle C^{\text{op}},D}$).

Если ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ оба предаддитивные категории (т.е. их наборы морфизма абелевы группы а композиция морфизмов билинейный ), то можно рассматривать категорию всех аддитивные функторы из ${\displaystyle C}$ к ${\displaystyle D}$, обозначаемый Add (${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$).

Примеры

• Если ${\displaystyle I}$ это маленький дискретная категория (т.е. его единственными морфизмами являются тождественные морфизмы), то функтор из ${\displaystyle I}$ к ${\displaystyle C}$ по существу состоит из семейства объектов ${\displaystyle C}$, проиндексировано ${\displaystyle I}$; категория функторов ${\displaystyle C^{I}}$ можно отождествить с соответствующей категорией продукта: ее элементы - это семейства объектов в ${\displaystyle C}$ и его морфизмы являются семействами морфизмов в ${\displaystyle C}$.

• An категория стрелки ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ (чьи объекты являются морфизмами ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, морфизмы которых коммутируют квадраты в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) просто ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$, где 2 - это категория с двумя объектами и их морфизмами идентичности, а также стрелкой от одного объекта к другому (но не другой стрелкой в ​​обратном направлении).
• А ориентированный граф состоит из набора стрелок и набора вершин, а также двух функций от набора стрелки до набора вершин, определяющих начало и конец вершины каждой стрелки. Таким образом, категория всех ориентированных графов есть не что иное, как категория функторов ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$, где ${\displaystyle C}$ - категория с двумя объектами, соединенными двумя параллельными морфизмами (исходным и целевым), и Набор обозначает категория наборов.
• Любой группа ${\displaystyle G}$ можно рассматривать как однообъектную категорию, в которой каждый морфизм обратим. Категория всех ${\displaystyle G}$-наборы совпадает с категорией функторов Набор^{${\displaystyle G}$}.
• Как и в предыдущем примере, категория ${\displaystyle k}$-линейный представления группы ${\displaystyle G}$ совпадает с категорией функторов k-Вект^{${\displaystyle G}$} (куда k-Вект обозначает категорию всех векторные пространства над поле ${\displaystyle k}$).
• Любой звенеть ${\displaystyle R}$ может рассматриваться как предаддитивная категория одного объекта; категория левых модули над ${\displaystyle R}$ совпадает с категорией аддитивных функторов Add (${\displaystyle R}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) (где ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ обозначает категория абелевых групп ), а категория права ${\displaystyle R}$-modules - добавить (${\displaystyle R^{\textbf {Ab}}}$). Из-за этого примера для любой предаддитивной категории ${\displaystyle C}$, категория Добавить (${\displaystyle C}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) иногда называют "категорией левых модулей над ${\displaystyle C'}$ и добавить(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) - категория правых модулей над ${\displaystyle C}$.
• Категория предварительные пучки на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ является категорией функторов: мы превращаем топологическое пространство в категорию ${\displaystyle C}$ имея открытые наборы в ${\displaystyle X}$как объекты и единый морфизм из ${\displaystyle U}$ к ${\displaystyle V}$ если и только если ${\displaystyle U}$ содержится в ${\displaystyle V}$. Категория предпучков множеств (абелевых групп, колец) на ${\displaystyle X}$ то же самое, что и категория контравариантных функторов из ${\displaystyle C}$ к ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ (или же ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ или ${\displaystyle {\textbf {Ring}}}$). Из-за этого примера категория Funct (${\displaystyle C^{\text{op}}}$, ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$) иногда называют "категория предпучков наборов на ${\displaystyle C'}$ даже для общих категорий ${\displaystyle C}$ не возникающие из топологического пространства. Определять снопы по общей категории ${\displaystyle C}$, нужно больше структуры: a Топология Гротендика на ${\displaystyle C}$. (Некоторые авторы ссылаются на категории, которые эквивалент к ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$ так как предпучка категории.^[1])

Факты

Большинство конструкций, которые могут быть выполнены в ${\displaystyle D}$ также может проводиться в ${\displaystyle D^{C}}$ выполняя их «покомпонентно», отдельно для каждого объекта в ${\displaystyle C}$. Например, если любые два объекта ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle D}$ есть товар ${\displaystyle X\times Y}$, то любые два функтора ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle D^{C}}$ есть продукт ${\displaystyle F\times G}$, определяется ${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$ для каждого объекта ${\displaystyle c}$ в ${\displaystyle C}$. Аналогично, если ${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$ это естественное преобразование, и каждый ${\displaystyle \eta _{c}}$ имеет ядро ${\displaystyle K_{c}}$ в категории ${\displaystyle D}$, то ядро ${\displaystyle \eta }$ в категории функторов ${\displaystyle D^{C}}$ это функтор ${\displaystyle K}$ с ${\displaystyle K(c)=K_{c}}$ для каждого объекта ${\displaystyle c}$ в ${\displaystyle C}$.

Как следствие, мы имеем общее практическое правило что категория функторов ${\displaystyle D^{C}}$ разделяет большинство "хороших" свойств ${\displaystyle D}$:

• если ${\displaystyle D}$ является полный (или полные), то и ${\displaystyle D^{C}}$;
• если ${\displaystyle D}$ является абелева категория, то так ${\displaystyle D^{C}}$;

У нас также есть:

• если ${\displaystyle C}$ любая малая категория, то категория ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$ из предварительные пучки это топос.

Таким образом, из приведенных выше примеров мы можем сразу сделать вывод, что категории ориентированных графов, ${\displaystyle G}$-множества и предпучки на топологическом пространстве являются полными и кокополными топологиями, и что категории представлений ${\displaystyle G}$, модули над кольцом ${\displaystyle R}$, и предпучки абелевых групп на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ все абелевы, полны и кополны.

Вложение категории ${\displaystyle C}$ в категории функторов, которая упоминалась ранее, использует Лемма Йонеды в качестве основного инструмента. Для каждого объекта ${\displaystyle X}$ из ${\displaystyle C}$, позволять ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,X)}$ быть контравариантным представимый функтор из ${\displaystyle C}$ к ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$. Лемма Йонеды утверждает, что присвоение

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

это полное встраивание категории ${\displaystyle C}$ в категорию Funct (${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Set}}}$). Так ${\displaystyle C}$ естественно сидит внутри топоса.

То же самое можно сделать для любой предаддитивной категории. ${\displaystyle C}$: Yoneda затем дает полное вложение ${\displaystyle C}$ в категорию функторов Add (${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$). Так ${\displaystyle C}$ естественно находится внутри абелевой категории.

Упомянутая выше интуиция (конструкции, которые могут быть выполнены в ${\displaystyle D}$ можно «поднять» до ${\displaystyle D^{C}}$) можно уточнить несколькими способами; в самой лаконичной формулировке используется язык присоединенные функторы. Каждый функтор ${\displaystyle F:D\to E}$ индуцирует функтор ${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$ (по составу с ${\displaystyle F}$). Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ пара присоединенных функторов, то ${\displaystyle F^{C}}$ и ${\displaystyle G^{C}}$ также пара сопряженных функторов.

Категория функторов ${\displaystyle D^{C}}$ обладает всеми формальными свойствами экспоненциальный объект; в частности, функторы из ${\displaystyle E\times C\to D}$ находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с функторами из ${\displaystyle E}$ к ${\displaystyle D^{C}}$. Категория ${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$ всех малых категорий с функторами как морфизмами, поэтому декартова закрытая категория.

Смотрите также

• Математический портал

• Диаграмма (теория категорий)

Рекомендации

1. Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории. Издательство Кембриджского университета. Bibcode:2004hohc.book ..... L. Архивировано из оригинал на 2003-10-25.