Категория модели - Model category - Wikipedia

В математика, особенно в теория гомотопии, а категория модели это категория с выдающимися классами морфизмы ('стрелки') называется 'слабые эквиваленты ', 'расслоения ' и 'кофибрации 'удовлетворяющие определенным аксиомам, связывающим их. Эти абстракции от категории топологические пространства или из цепные комплексы (производная категория теория). Концепция была представлена Дэниел Дж. Квиллен (1967 ).

В последние десятилетия язык категорий моделей использовался в некоторых частях алгебраический K-теория и алгебраическая геометрия, где теоретико-гомотопические подходы привели к глубоким результатам.

Мотивация

Категории моделей могут обеспечить естественную среду для теория гомотопии: категория топологических пространств является модельной категорией с гомотопией, соответствующей обычной теории. Точно так же объекты, которые рассматриваются как пространства, часто допускают структуру категорий модели, такую как категория симплициальные множества.

Еще одна категория моделей - это категория цепные комплексы из р-модули коммутативного кольца р. Теория гомотопии в этом контексте гомологическая алгебра. Гомологии затем можно рассматривать как тип гомотопии, позволяющий обобщать гомологии на другие объекты, такие как группы и р-алгебры, одно из первых крупных приложений теории. Из-за приведенного выше примера, касающегося гомологии, изучение закрытых модельных категорий иногда рассматривается как гомотопическая алгебра.

Формальное определение

Первоначально Квиллен дал определение категории закрытых моделей, допущения которой казались сильными в то время, что побудило других ослабить некоторые допущения для определения категории модели. На практике это различие не оказалось значительным, и самые последние авторы (например, Марк Хови и Филип Хиршхорн) работают с закрытыми модельными категориями и просто отбрасывают прилагательное «закрытый».

Это определение было отделено от определения модельной структуры категории, а затем дополнительных категориальных условий для этой категории, необходимость которых может сначала показаться немотивированной, но становится важной позже. Следующее определение следует из определения, данного Хови.

А структура модели по категории C состоит из трех выделенных классов морфизмов (эквивалентных подкатегорий): слабые эквиваленты, расслоения, и кофибрации, и две функториальные факторизации ${ Displaystyle ( альфа, бета)}$ и ${ Displaystyle ( гамма, дельта)}$ при соблюдении следующих аксиом. Расслоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется расслоением. ациклический (или же банальный) расслоение^[1] и кофослоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется ациклический (или же банальный) кофибрация (или иногда называемый анодный морфизм).

Аксиомы

Втягивает: если грамм является морфизмом, принадлежащим одному из выделенных классов, и ж это втягивать из грамм (как объекты в категории стрелки ${ displaystyle C ^ {2}}$ , где 2 - двухэлементный упорядоченный набор), то ж принадлежит к тому же выдающемуся классу. Явно требование, чтобы ж это отказ от грамм означает, что существует я, j, р, и s, так что коммутирует следующая диаграмма:
2 из 3: если ж и грамм карты в C такой, что gf определено, и любые два из них являются слабыми эквивалентностями, тогда как и третье.
Подъем: ациклические кофибрации обладают свойством левого подъема по отношению к расслоениям, а кофибрации обладают свойством левого подъема по отношению к ациклическим расслоениям. Явно, если внешний квадрат следующей диаграммы коммутирует, где я это кофибрация и п является расслоением и я или же п ациклично, то существует час завершая схему.
Факторизация:
- каждый морфизм ж в C можно записать как ${ displaystyle p circ i}$ для расслоения п и ациклическая кофибрация я;
- каждый морфизм ж в C можно записать как ${ displaystyle p circ i}$ для ациклического расслоения п и кофибрация я.

А категория модели категория, имеющая модельную структуру и все (маленькие) пределы и копределы, т.е. полная и неполная категория с модельной структурой.

Определение через слабые системы факторизации

Приведенное выше определение может быть кратко сформулировано следующим эквивалентным определением: категория модели - это категория. C и три класса (так называемых) слабых эквивалентностей W, расслоения F и кофибрации C так что

C имеет все пределы и копределы,

${ displaystyle (C cap W, F)}$ это слабая система факторизации,

${ displaystyle (C, F cap W)}$ это слабая система факторизации
${ displaystyle W}$ удовлетворяет свойству 2 из 3.^[2]

Первые следствия определения

Аксиомы подразумевают, что любые два из трех классов отображений определяют третий (например, кофибрации и слабые эквивалентности определяют расслоения).

Кроме того, определение самодвойственно: если C является модельной категорией, то ее противоположная категория ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ {op}}$ также допускает модельную структуру, так что слабые эквивалентности соответствуют их противоположностям, расслоения - противоположностям софибраций, а кофибрации - противоположностям расслоений.

Примеры

Топологические пространства

В категория топологических пространств, Вершина, допускает стандартную структуру категорий модели с обычным (Серра) расслоения и со слабыми эквивалентностями как слабые гомотопические эквивалентности. Софибрации - это не обычное понятие. здесь, а скорее более узкий класс карт, которые обладают свойством левого подъема по отношению к ациклическим расслоениям Серра. Эквивалентно, они являются ретрактами относительных клеточных комплексов, как объясняется, например, в работе Хови. Категории моделей. Эта структура не уникальна; в общем, для данной категории может быть много структур категорий моделей. Для категории топологических пространств другая такая структура дается формулой Расслоения Гуревича и стандартные кофибрации, а слабые эквивалентности - это (сильные) гомотопические эквивалентности.

Цепные комплексы

Категория (неотрицательно оцененная) цепные комплексы из р-модули содержат по крайней мере две модельные структуры, обе из которых занимают важное место в гомологической алгебре:

слабые эквивалентности - это отображения, которые индуцируют изоморфизмы в гомологии;
кофибрации - это карты, которые мономорфизмы в каждой степени с проективным коядро; и
расслоения - это карты, которые эпиморфизмы в каждой ненулевой степени

или же

слабые эквивалентности - это отображения, которые индуцируют изоморфизмы в гомологии;
расслоения - это карты, которые эпиморфизмы в каждой степени с инъекцией ядро; и
кофибрации - это карты, которые мономорфизмы в каждой ненулевой степени.

Это объясняет, почему Ext-группы р-модули могут быть вычислены либо путем проективного разрешения источника, либо путем инъективного разрешения цели. Это заменители кофибранта или фибранта в соответствующих модельных структурах.

Категория произвольных цепных комплексов р-modules имеет структуру модели, которая определяется

слабые эквивалентности цепные гомотопические эквивалентности цепных комплексов;
кофибрации - это мономорфизмы, которые расщепляются как морфизмы основных р-модули; и
расслоения - это эпиморфизмы, которые расщепляются как морфизмы основных р-модули.

Дальнейшие примеры

Другие примеры категорий, допускающих модельные структуры, включают категорию всех малых категорий, категорию симплициальные множества или же симплициальные предпучки на любом маленьком Сайт Гротендика, категория топологических спектров и категории симплициальных спектров или предпучки симплициальных спектров на небольшом сайте Гротендика.

Симплициальные объекты в категории - частый источник категорий модели; например, симплициальные коммутативные кольца или симплициальный р-модули допускают естественные модельные структуры. Это следует потому, что существует присоединение между симплициальными множествами и симплициальными коммутативными кольцами (заданными забывчивым и свободным функторами), и в хороших случаях можно поднять модельные структуры под присоединением.

А категория симплициальной модели это симплициальная категория с модельной структурой, совместимой с симплициальной структурой.^[3]

Учитывая любую категорию C и категория модели M, при некоторой дополнительной гипотезе категория функторы Весело (C, M) (также называемый C-диаграммы в M) также является модельной категорией. На самом деле всегда есть два кандидатами на различные модельные структуры: в одной, так называемая проективная структура модели, расслоения и слабые эквивалентности - это те карты функторов, которые являются расслоениями и слабыми эквивалентностями при вычислении на каждом объекте C. По сути, структура инъективной модели аналогична кофибрациям и слабым эквивалентностям. В обоих случаях третий класс морфизмов задается условием подъема (см. Ниже). В некоторых случаях, когда категория C это Категория Риди, существует третья модельная структура, лежащая между проективным и инъективным.

Процесс принуждения определенных карт стать слабыми эквивалентами в новой структуре категорий модели на той же базовой категории известен как Локализация Боусфилда. Например, категория симплициальных снопы может быть получена как локализация Боусфилда модельной категории симплициальных предварительные пучки.

Денис-Чарльз Сисински разработал^[4] общая теория модельных структур на предпучковых категориях (обобщающие симплициальные множества, которые являются предпучками на категория симплекс ).

Если C является модельной категорией, то категория Pro (C) из про-объекты в C. Однако модельная структура на Pro (C) также можно построить, наложив более слабый набор аксиом на C.^[5]

Некоторые конструкции

Каждая закрытая категория моделей имеет конечный объект по полноте и исходный объект по совместимости, поскольку эти объекты являются пределом и копределом пустой диаграммы соответственно. Учитывая объект Икс в категории модели, если уникальная карта от исходного объекта до Икс кофибрация, то Икс как говорят кофибрант. Аналогично, если уникальная карта из Икс к конечному объекту - расслоение, тогда Икс как говорят волокнистый.

Если Z и Икс являются объектами модельной категории такие, что Z кофибрантно и имеется слабая эквивалентность из Z к Икс тогда Z считается замена кофибранта за Икс. Аналогично, если Z фибрантно и существует слабая эквивалентность из Икс к Z тогда Z считается замена фибранта за Икс. В общем, не все объекты являются волокнистыми или кофибрантными, хотя иногда это так. Например, все объекты являются конфибрантными в категории симплициальных множеств стандартной модели, и все объекты являются волокнистыми для указанной выше структуры категорий стандартной модели для топологических пространств.

Левая гомотопия определяется относительно цилиндрические объекты а правая гомотопия определена относительно Путь космических объектов. Эти понятия совпадают, когда домен кофибрантный, а кодомен фибрантный. В этом случае гомотопия определяет отношение эквивалентности на множествах hom в категории моделей, дающей начало гомотопическим классам.

Характеризация расслоений и кофибраций подъемными свойствами

Кофибрации можно охарактеризовать как отображения, которые обладают свойством левого подъема по отношению к ациклическим расслоениям, а ациклические кофибрации характеризуются как отображения, которые обладают свойством левого подъема по отношению к расслоениям. Точно так же расслоения можно охарактеризовать как отображения, которые имеют право подъема собственности относительно ациклических кофибраций, и ациклические расслоения характеризуются как карты, которые имеют свойство правильного подъема по отношению к кофибрациям.

Гомотопия и гомотопическая категория

В гомотопическая категория модельной категории C это локализация из C относительно класса слабых эквивалентностей. Это определение гомотопической категории не зависит от выбора расслоений и корасслоений. Однако классы расслоений и корасслоений полезны для описания гомотопической категории иным способом и, в частности, для избежания теоретико-множественных проблем, возникающих при общих локализациях категорий. Точнее, «основная теорема о модельных категориях» утверждает, что гомотопическая категория C эквивалентна категории, объекты которой являются объектами C которые одновременно являются фибрантными и кофибрантными, и чьи морфизмы являются левыми гомотопическими классами отображений (эквивалентно правыми гомотопическими классами отображений), как определено выше. (См., Например, Категории моделей от Hovey, Thm 1.2.10)

Применяя это к категории топологических пространств с модельной структурой, данной выше, полученная гомотопическая категория эквивалентна категории Комплексы CW и гомотопические классы непрерывных отображений, отсюда и название.

Квилленовые добавки

Пара присоединенные функторы

{ displaystyle F: C leftrightarrows D: G}

между двумя модельными категориями C и D называется Квиллен примыкание если F сохраняет кофибрации и ациклические кофибрации или, что эквивалентно аксиомам замкнутой модели, такие, что G сохраняет расслоения и ациклические расслоения. В этом случае F и грамм вызывать присоединение

{ displaystyle LF: Ho (C) leftrightarrows Ho (D): RG}

между гомотопическими категориями. Также существует явный критерий эквивалентности последнего (F и грамм называются Квиллен эквивалентность тогда).

Типичный пример - стандартное соединение между симплициальные множества и топологические пространства:

{ displaystyle | - |: mathbf {sSet} leftrightarrows mathbf {Top}: Sing}

включающая геометрическую реализацию симплициального множества и особых цепей в некотором топологическом пространстве. Категории sSet и Вершина не эквивалентны, но их гомотопические категории эквивалентны. Поэтому симплициальные множества часто используются в качестве моделей топологических пространств из-за этой эквивалентности гомотопических категорий.

Смотрите также

Примечания

^ Некоторые читатели находят термин «тривиальный» двусмысленным и поэтому предпочитают использовать «ациклический».
^ Риль (2014, §11.3)
^ Определение 2.1. из [1].
^ Цисинский, Дени-Шарль. Префайсо коммодели типов гомотопии. (Французский) [Предварительные пучки как модели для гомотопических типов] Astérisque No. 308 (2006), xxiv + 390 с. ISBN 978-2-85629-225-9 МИСТЕР2294028
^ Барнеа, Илан; Шланк, Томер М. (2016), "Проективная модельная структура на про-симплициальных пучках и относительный этальный гомотопический тип.", Adv. Математика., 291: 784–858, arXiv:1109.5477, Bibcode:2011arXiv1109.5477B, МИСТЕР 3459031

дальнейшее чтение

«Нужны ли нам по-прежнему категории моделей?»
"(бесконечность, 1) -категории прямо из категорий модели"
Пол Гёрсс и Кристен Шеммерхорн, Категории моделей и симплициальные методы

внешняя ссылка

Категория модели в nLab
Категория модели в лаборатории Джояла

[1] Некоторые читатели находят термин «тривиальный» двусмысленным и поэтому предпочитают использовать «ациклический».

[2] Риль (2014, §11.3)

[3] Определение 2.1. из [1].

[4] Цисинский, Дени-Шарль. Префайсо коммодели типов гомотопии. (Французский) [Предварительные пучки как модели для гомотопических типов] Astérisque No. 308 (2006), xxiv + 390 с. ISBN 978-2-85629-225-9 МИСТЕР2294028

[5] Барнеа, Илан; Шланк, Томер М. (2016), "Проективная модельная структура на про-симплициальных пучках и относительный этальный гомотопический тип.", Adv. Математика., 291: 784–858, arXiv:1109.5477, Bibcode:2011arXiv1109.5477B, МИСТЕР 3459031

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]