∞-группоид - ∞-groupoid

В теория категорий, раздел математики, ∞-группоид является абстрактной гомотопической моделью топологических пространств. Одна модель использует Кан комплексы которые волокнистые объекты в категории симплициальные множества (со стандартом структура модели ).^[1] Это ∞-категория обобщение группоид, категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом.

В гипотеза гомотопии утверждает, что ∞-группоиды являются пространствами.^[2]:2–3[3]

Шаровидные группоиды

Александр Гротендик предложено в Погоня за стеками^{[2]:3–4, 201} что должна существовать чрезвычайно простая модель ∞-группоидов, использующая шаровидные множества, первоначально называемые полусферическими комплексами. Эти множества построены как предварительные пучки на шаровую категорию ${\displaystyle \mathbb {G} }$. Это определяется как категория, объекты которой являются конечными ординалами. ${\displaystyle [n]}$ а морфизмы задаются

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{n}:[n]\to [n+1]\\\tau _{n}:[n]\to [n+1]\end{aligned}}}$

такие, что глобулярные отношения выполняются

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{n+1}\circ \sigma _{n}&=\tau _{n+1}\circ \sigma _{n}\\\sigma _{n+1}\circ \tau _{n}&=\tau _{n+1}\circ \tau _{n}\end{aligned}}}$

Они кодируют тот факт, что ${\displaystyle n}$-морфизмы не должны иметь видеть ${\displaystyle (n+1)}$-морфизмы. При записи их в виде шаровидного множества ${\displaystyle X_{\bullet }:\mathbb {G} ^{op}\to {\text{Sets}}}$, тогда исходная и целевая карты записываются как

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}=X_{\bullet }(\sigma _{n})\\t_{n}=X_{\bullet }(\tau _{n})\end{aligned}}}$

Мы также можем рассматривать шаровые объекты в категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ как функторы

${\displaystyle X_{\bullet }\colon \mathbb {G} ^{op}\to {\mathcal {C}}.}$

Изначально была надежда, что такой строгий модели было бы достаточно для теории гомотопии, но есть свидетельства, свидетельствующие об обратном. Оказывается для ${\displaystyle S^{2}}$ ассоциированная с ней гомотопия ${\displaystyle n}$-тип ${\displaystyle \pi _{\leq n}(S^{n})}$ никогда не может быть смоделирован как строгий шаровидный группоид для ${\displaystyle n\geq 3}$.^[2]:445[4] Это потому, что строгие ∞-группоиды только модельные пространства с тривиальным Продукт от белых угрей.^[5]

Примеры

Фундаментальный ∞-группоид

Учитывая топологическое пространство ${\displaystyle X}$ должен быть связанный фундаментальный ∞-группоид ${\displaystyle \Pi _{\infty }(X)}$ где объекты являются точками ${\displaystyle x\in X}$ 1-морфизмы ${\displaystyle f:x\to y}$ представлены в виде путей, 2-морфизмы являются гомотопиями путей, 3-морфизмы являются гомотопиями гомотопий и т. д. Из этого бесконечного группоида мы можем найти ${\displaystyle n}$-группоид называется фундаментальным ${\displaystyle n}$-группоидный ${\displaystyle \Pi _{n}(X)}$ чей гомотопический тип является типом ${\displaystyle \pi _{\leq n}(X)}$.

Отметим, что взяв фундаментальный ∞-группоид пространства ${\displaystyle Y}$ такой, что ${\displaystyle \pi _{>n}(Y)=0}$ эквивалентен фундемантальному n-группоиду ${\displaystyle \Pi _{n}(Y)}$. Такое пространство можно найти с помощью Башня Уайтхед.

Абелевы шаровидные группоиды

Один полезный случай глобулярных группоидов происходит от цепного комплекса, который ограничен сверху, поэтому давайте рассмотрим цепной комплекс ${\displaystyle C_{\bullet }\in {\text{Ch}}_{\leq 0}({\text{Ab}})}$.^[6] Есть связанный с ним шаровидный группоид. Интуитивно понятно, что объекты - это элементы в ${\displaystyle C_{0}}$, морфизмы происходят из ${\displaystyle C_{0}}$ через сетевую сложную карту ${\displaystyle d_{1}:C_{1}\to C_{0}}$, и выше ${\displaystyle n}$-морфизмы могут быть найдены из более высоких цепных комплексных отображений ${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$. Мы можем сформировать шаровое множество ${\displaystyle \mathbb {C} _{\bullet }}$ с

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} _{0}=&C_{0}\\\mathbb {C} _{1}=&C_{0}\oplus C_{1}\\&\cdots \\\mathbb {C} _{n}=&\bigoplus _{k=0}^{n}C_{k}\end{matrix}}}$

и исходный морфизм ${\displaystyle s_{n}:\mathbb {C} _{n}\to \mathbb {C} _{n-1}}$ это карта проекции

${\displaystyle pr:\bigoplus _{k=0}^{n}C_{k}\to \bigoplus _{k=0}^{n-1}C_{k}}$

и целевой морфизм ${\displaystyle t_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ является добавлением цепной комплексной карты ${\displaystyle d_{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ вместе с картой проекции. Это формирует глобулярный группоид, дающий широкий класс примеров строгих глобулярных группоидов. Более того, поскольку строгие группоиды встраиваются внутрь слабых группоидов, они также могут действовать как слабые группоиды.

Приложения

Высшие локальные системы

Одна из основных теорем о локальные системы состоит в том, что они могут быть эквивалентно описаны как функторы от фундаментальный группоид ${\displaystyle \Pi (X)=\Pi _{\leq 1}(X)}$ категории абелевых групп, категории ${\displaystyle R}$-модули или другие абелева категория. То есть локальная система эквивалентна предоставлению функтора

${\displaystyle {\mathcal {L}}:\Pi (X)\to {\text{Ab}}}$

Обобщение такого определения требует рассмотрения не только абелевой категории, но и ее производная категория. Тогда высшая локальная система является ∞-функтором

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\bullet }:\Pi _{\infty }(X)\to D({\text{Ab}})}$

со значениями в некоторой производной категории. Это имеет то преимущество, что позволяет высшим гомотопическим группам ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ действовать на более высокую локальную систему из серии усечений. Игрушечный пример для изучения взят из Пространства Эйленберга – Маклейна ${\displaystyle K(A,n)}$, или просмотрев условия из Башня Уайтхед пространства. В идеале должен быть способ восстановить категории функторов. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\bullet }:\Pi _{\infty }(X)\to D({\text{Ab}})}$ от их усечений ${\displaystyle \Pi _{n}(X)}$ и карты ${\displaystyle \tau _{\leq n-1}:\Pi _{n}(X)\to \Pi _{n-1}(X)}$ чьи волокна должны относиться к категории ${\displaystyle n}$-функторы

${\displaystyle \Pi _{n}(K(\pi _{n}(X),n))\to D(Ab)}$

Еще одно преимущество этого формализма состоит в том, что он позволяет строить высшие формы ${\displaystyle \ell }$-адические представления с помощью этальный гомотопический тип ${\displaystyle {\hat {\pi }}(X)}$ схемы ${\displaystyle X}$ и построить высшие представления этого пространства, так как они задаются функторами

${\displaystyle {\mathcal {L}}:{\hat {\pi (X)}}\to D({\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}$

Высшие герберы

Другое применение ∞-группоидов - построение n-гербов и ∞-гербов. Над пространством ${\displaystyle X}$ n-gerbe должен быть объектом ${\displaystyle {\mathcal {G}}\to X}$ так что при ограничении до достаточно небольшого подмножества ${\displaystyle U\subset X}$, ${\displaystyle {\mathcal {G}}|_{U}\to U}$ представлен n-группоидом, и на перекрытиях есть согласие до некоторой слабой эквивалентности. Если предположить, что гипотеза гомотопии верна, это эквивалентно построению объекта ${\displaystyle {\mathcal {G}}\to X}$ так что по любому открытому подмножеству

${\displaystyle {\mathcal {G}}|_{U}\to U}$

является n-группа, или гомотопия n-типа. Поскольку нерв категории можно использовать для построения произвольного гомотопического типа, функтор над сайтом ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, например

${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {X}}}$

даст пример высшего гербера, если категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$ лежать над любой точкой ${\displaystyle U\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}})}$ - непустая категория. Вдобавок можно было ожидать, что эта категория будет удовлетворять какому-то условию спуска.

Смотрите также

• Математический портал

• Погоня за стеками
• N-группа (теория категорий)
• Группоид
• Теория гомотопического типа

Рекомендации

1. "Комплекс Кан в nLab".
2. Гротендик. "Погоня за стеками". thescrivener.github.io. В архиве (PDF) из оригинала на 30 июл 2020. Получено 2020-09-17.
3. Мальциниотис, Жорж. "Бесконечные группоиды Гротендика и еще одно определение категорий бесконечности" (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 3 сентября 2020 г.
4. Симпсон, Карлос (1998-10-09). «Гомотопические типы строгих 3-группоидов». arXiv:математика / 9810059.
5. Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж. (1981). «Эквивалентность $ infty $ -группоидов и скрещенных комплексов». Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 22 (4): 371–386.
6. Ара. "Sur les infinity-groupoïdes de Grothendieck et une variante infinity-catégorique" (PDF). Раздел 1.4.3. В архиве (PDF) из оригинала 19 августа 2020 г.

Исследовательские статьи

• О гипотезе гомотопии в размерности 3
• Замечание о построении глобулярных слабых омега-группоидов из типов, топологических пространств и т. Д.
• Высшая монодромия
• Высшая теория Галуа

Приложения в алгебраической геометрии

• Гомотопические типы алгебраических многообразий - Бертран Тоен

внешняя ссылка

• бесконечный группоид в nLab
• Мальциниотис, Жорж (2010), «∞-группоиды Гротендика и еще одно определение ∞-категорий», arXiv:1009.2331 [math.CT ]
• Завадовски, Марек, Введение в категории тестов (PDF), заархивировано из оригинал (PDF) на 2015-03-26
• Этальные когомологии и представления Галуа