Категория модулей - Category of modules

В алгебра, учитывая звенеть р, то категория левых модулей над р это категория чей объекты все остались модули над р и чей морфизмы все модульные гомоморфизмы между левым р-модули. Например, когда р кольцо целые числа Z, это то же самое, что и категория абелевых групп. В категория правых модулей определяется аналогичным образом.

Примечание: Некоторые авторы используют термин категория модуля для категории модулей. Этот термин может быть неоднозначным, поскольку он также может относиться к категории с действие моноидальной категории.[1]

Характеристики

Категории левого и правого модулей: абелевы категории. Эти категории имеют достаточно прогнозов[2] и достаточно инъекций.[3] Теорема вложения Митчелла утверждает, что каждая абелева категория возникает как полная подкатегория категории модулей.

Проективные пределы и индуктивные пределы существуют в категориях левых и правых модулей.[4]

Через коммутативное кольцо вместе с тензорное произведение модулей ⊗ категорией модулей является симметричная моноидальная категория.

Категория векторных пространств

В категория K-Vect (некоторые авторы используют VectK) есть все векторные пространства через поле K как объекты, и K-линейные карты как морфизмы. Поскольку векторные пространства над K (как поле) то же самое, что модули над звенеть K, K-Vect это частный случай р-Мод, категория левых р-модули.

Много линейная алгебра касается описания K-Vect. Например, теорема размерности для векторных пространств говорит, что классы изоморфизма в K-Vect точно соответствуют Количественные числительные, и это K-Vect является эквивалент к подкатегория из K-Vect который имеет в качестве своих объектов векторные пространства Kп, куда п - любое кардинальное число.

Обобщения

Категория связки модулей через окольцованное пространство также достаточно инъективных (хотя и не всегда достаточно проективных).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ "категория модуля в nLab". ncatlab.org.
  2. ^ тривиально, поскольку любой модуль является частным свободного модуля.
  3. ^ Даммит – Фут, Гл. 10, теорема 38.
  4. ^ Бурбаки, § 6.

внешняя ссылка