Морфизм - Morphism

В математика, особенно в теория категорий, а морфизм структурно-сохраняющий карта от одного математическая структура к другому такого же типа. Понятие морфизма часто встречается в современной математике. В теория множеств, морфизмы функции; в линейная алгебра, линейные преобразования; в теория групп, групповые гомоморфизмы; в топология, непрерывные функции, и так далее.

В теория категорий, морфизм - это во многом аналогичная идея: задействованные математические объекты не обязательно должны быть наборами, и отношения между ними могут быть чем-то иным, чем карты, хотя морфизмы между объектами данной категории должны вести себя аналогично картам в том смысле, что они должны допускать ассоциативная операция похожий на функциональная композиция. Морфизм в теории категорий - это абстракция гомоморфизм.^[1]

Изучение морфизмов и структур (называемых «объектами»), над которыми они определяются, занимает центральное место в теории категорий. Большая часть терминологии морфизмов, а также лежащая в их основе интуиция происходит от конкретные категории, где объекты просто наборы с некоторой дополнительной структурой, и морфизмы находятся структуросохраняющие функции. В теории категорий морфизмы иногда также называют стрелки.

Определение

А категория C состоит из двух классы, один из объекты и другой из морфизмы. С каждым морфизмом связаны два объекта: источник и цель. Морфизм ж с источником Икс и цель Y написано ж : Икс → Y, и схематически изображается стрелка из Икс к Y.

Для многих общих категорий объекты наборы (часто с некоторой дополнительной структурой) и морфизмы функции от объекта к другому объекту. Поэтому источник и цель морфизма часто называют домен и codomain соответственно.

Морфизмы снабжены частичная бинарная операция, называется сочинение. Композиция двух морфизмов ж и грамм определяется именно тогда, когда цель ж источник грамм, и обозначается грамм ∘ ж (или иногда просто gf). Источник грамм ∘ ж источник ж, и цель грамм ∘ ж является целью грамм. Композиция удовлетворяет двум аксиомы:

Личность: Для каждого объекта Икс, существует идентификатор морфизма_Икс : Икс → Икс называется морфизм идентичности на Икс, такая, что для каждого морфизма ж : А → B у нас есть идентификатор_B ∘ ж = ж = ж ∘ id_А.
Ассоциативность: час ∘ (грамм ∘ ж) = (час ∘ грамм) ∘ ж всякий раз, когда определены все композиции, т.е. когда цель ж источник грамм, и цель грамм источник час.

Для конкретной категории (категории, в которой объекты являются множествами, возможно, с дополнительной структурой, а морфизмы являются функциями, сохраняющими структуру), тождественный морфизм - это просто функция идентичности, а композиция просто обычная состав функций.

Состав морфизмов часто представлен коммутативная диаграмма. Например,

Коллекция всех морфизмов из Икс к Y обозначается Hom_C(Икс,Y) или просто Hom (Икс, Y) и назвал домашний набор между Икс и Y. Некоторые авторы пишут Мор_C(Икс,Y), Мор (Икс, Y) или C (Икс, Y). Обратите внимание, что термин «гом-множество» употребляется неправильно, поскольку не обязательно, чтобы набор морфизмов был множеством. Категория, в которой Hom (Икс, Y) - набор для всех объектов Икс и Y называется местно маленький.

Обратите внимание, что домен и кодомен фактически являются частью информации, определяющей морфизм. Например, в категория наборов, где морфизмы - это функции, две функции могут быть идентичными как наборы упорядоченных пар (могут иметь одинаковые ассортимент ), имея разные кодомены. Эти две функции различны с точки зрения теории категорий. Таким образом, многие авторы требуют, чтобы hom-классы Hom (Икс, Y) быть непересекающийся. На практике это не проблема, потому что, если эта дизъюнктность не выполняется, ее можно гарантировать, добавляя домен и кодомен к морфизмам (скажем, как второй и третий компоненты упорядоченной тройки).

Некоторые особые морфизмы

Мономорфизмы и эпиморфизмы

Морфизм ж: Икс → Y называется мономорфизм если ж ∘ грамм₁ = ж ∘ грамм₂ подразумевает грамм₁ = грамм₂ для всех морфизмов грамм₁, грамм₂: Z → Икс. Мономорфизм можно назвать мононуклеоз для краткости, и мы можем использовать моник как прилагательное.^[2]

Морфизм ж имеет левый обратный если есть морфизм грамм: Y → Икс такой, что грамм ∘ ж = id_Икс. Левая обратная грамм также называется втягивание из ж.^[2] Морфизмы с обратными слева всегда являются мономорфизмами, но обратное, вообще говоря, неверно; у мономорфизма может не быть левого обратного.
А расщепляемый мономорфизм час: Икс → Y является мономорфизмом, имеющим левый обратный грамм: Y → Икс, так что грамм ∘ час = id_Икс. Таким образом час ∘ грамм: Y → Y является идемпотент; то есть, (час ∘ грамм)² = час ∘ (грамм ∘ час) ∘ грамм = час ∘ грамм.
В конкретные категории, функция, имеющая левую обратную, есть инъективный. Таким образом, в конкретных категориях мономорфизмы часто, но не всегда, инъективны. Условие инъекции сильнее, чем состояние мономорфизма, но слабее, чем условие расщепленного мономорфизма.

Двойственно к мономорфизмам морфизм ж: Икс → Y называется эпиморфизм если грамм₁ ∘ ж = грамм₂ ∘ ж подразумевает грамм₁ = грамм₂ для всех морфизмов грамм₁, грамм₂: Y → Z. Эпиморфизм можно назвать эпи для краткости, и мы можем использовать эпос как прилагательное.^[2]

Морфизм ж имеет правый обратный если есть морфизм грамм: Y → Икс такой, что ж ∘ грамм = id_Y. Правый обратный грамм также называется раздел из ж.^[2] Морфизмы, имеющие правый обратный, всегда являются эпиморфизмами, но в целом обратное неверно, поскольку эпиморфизм может не иметь правого обратного.
А расщепленный эпиморфизм является эпиморфизмом, имеющим правый обратный. Если мономорфизм ж разбивается с левым обратным грамм, тогда грамм расщепляемый эпиморфизм с правым обратным ж.
В конкретные категории, функция, имеющая правую обратную, есть сюръективный. Таким образом, в конкретных категориях эпиморфизмы часто, но не всегда, сюръективны. Состояние сюръекции сильнее, чем состояние эпиморфизма, но слабее, чем состояние расщепленного эпиморфизма. в категория наборов утверждение, что каждая сюръекция имеет секцию, эквивалентно аксиома выбора.

Морфизм, который одновременно является эпиморфизмом и мономорфизмом, называется биморфизм.

Изоморфизмы

Морфизм ж: Икс → Y называется изоморфизм если существует морфизм грамм: Y → Икс такой, что ж ∘ грамм = id_Y и грамм ∘ ж = id_Икс. Если морфизм имеет и левообратный, и правый обратный, то два обратных равны, поэтому ж является изоморфизмом и грамм называется просто обратный из ж. Обратные морфизмы, если они существуют, уникальны. Обратное грамм также является изоморфизмом, с обратным ж. Два объекта с изоморфизмом между ними называются изоморфный или эквивалент.

Хотя каждый изоморфизм является биморфизмом, биморфизм не обязательно является изоморфизмом. Например, в категории коммутативные кольца включение Z → Q является биморфизмом, который не является изоморфизмом. Однако любой морфизм, который одновременно является эпиморфизмом и Трещина мономорфизм, или одновременно мономорфизм и Трещина эпиморфизм, должен быть изоморфизмом. Категория, например Набор, в котором каждый биморфизм является изоморфизмом, называется сбалансированная категория.

Эндоморфизмы и автоморфизмы

Морфизм ж: Икс → Икс (то есть морфизм с идентичным источником и целью) является эндоморфизм из Икс. А расщепленный эндоморфизм идемпотентный эндоморфизм ж если ж допускает разложение ж = час ∘ грамм с грамм ∘ час = id. В частности, Конверт каруби категории разбивает любой идемпотентный морфизм.

An автоморфизм является морфизмом, который одновременно является эндоморфизмом и изоморфизмом. В каждой категории автоморфизмы объекта всегда образуют группа, называется группа автоморфизмов объекта.

Примеры

В конкретных категориях, изученных в универсальная алгебра (группы, кольца, модули и др.) морфизмы обычно гомоморфизмы. Точно так же понятия автоморфизма, эндоморфизма, эпиморфизма, гомеоморфизм, изоморфизм и мономорфизм находят применение в универсальной алгебре.
в категория топологических пространств, морфизмы - это непрерывные функции, а изоморфизмы называются гомеоморфизмы.
В категории гладкие многообразия, морфизмы гладкие функции а изоморфизмы называются диффеоморфизмы.
В категории малые категории, морфизмы функторы.
В категория функторов, морфизмы естественные преобразования.

Дополнительные примеры см. В записи теория категорий.

Смотрите также

Примечания

^ «морфизм». nLab. Получено 2019-06-12.
^ ^а ^б ^c ^d Якобсон (2009), стр. 15.

внешняя ссылка

«Морфизм», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
«Категория». PlanetMath.
"Типы морфизмов". PlanetMath.

[1] «морфизм». nLab. Получено 2019-06-12.

[jacobson:morphisms-2] а ^б ^c ^d Якобсон (2009), стр. 15.

[1]

[2]