N-группа (теория категорий) - N-group (category theory)

Не путать с p-группа.

В математика, п-группа, или же п-мерная высшая группа, особый вид п-категория это обобщает концепцию группа к многомерная алгебра. Здесь, ${displaystyle n}$ может быть любой натуральное число или же бесконечность. Тезис Александр Гротендик студент Хоанг Сюан Синь было углубленным изучением 2 группы под прозвищем «гр-категория».

Общее определение ${displaystyle n}$-группа - предмет постоянных исследований. Однако ожидается, что каждый топологическое пространство будет гомотопия ${displaystyle n}$-группа в каждой точке, которая инкапсулирует Постникова башня пространства до гомотопическая группа ${displaystyle pi _{n}}$, или вся Постникова башня за ${displaystyle n=infty }$.

Примеры

Пространства Эйленберга-Маклана

Один из основных примеров высших групп происходит от гомотопических типов Пространства Эйленберга – Маклейна ${displaystyle K(A,n)}$ поскольку они являются фундаментальными строительными блоками для построения высших групп и гомотопических типов в целом. Например, каждая группа ${displaystyle G}$ можно превратить в пространство Эйленберга-Маклейна ${displaystyle K(G,1)}$ через симплициальную конструкцию^[1], и ведет себя функториально. Эта конструкция обеспечивает эквивалентность групп и 1-групп. Обратите внимание, что некоторые авторы пишут ${displaystyle K(G,1)}$ в качестве ${displaystyle BG}$, а для абелевой группы ${displaystyle A}$, ${displaystyle K(A,n)}$ записывается как ${displaystyle B^{n}A}$.

2 группы

Основные статьи: Двойной группоид и 2-группа

Определение и многие свойства 2 группы уже известны. 2-группы можно описать с помощью скрещенные модули и их классификационные пространства. По сути, они даются четверкой ${displaystyle (pi _{1},pi _{2},t,omega )}$ куда ${displaystyle pi _{1},pi _{2}}$ группы с ${displaystyle pi _{2}}$ абелевский

${displaystyle t:pi _{1} o { ext{Aut}}(pi _{2})}$

групповой морфизм, и ${displaystyle omega in H^{3}(Bpi _{1},pi _{2})}$ класс когомологий. Эти группы можно закодировать как гомотопические ${displaystyle 2}$-типы ${displaystyle X}$ с ${displaystyle pi _{1}(X)=pi _{1}}$ и ${displaystyle pi _{2}(X)=pi _{2}}$, причем действие происходит от действия ${displaystyle pi _{1}(X)}$ на высших гомотопических группах и ${displaystyle omega }$ исходящий из Постникова башня так как существует расслоение

${displaystyle B^{2}pi _{2} o X o Bpi _{1}}$

исходя из карты ${displaystyle Bpi _{1} o B^{3}pi _{2}}$. Обратите внимание, что эту идею можно использовать для построения других более высоких групп с данными группы, имеющими тривиальные средние группы. ${displaystyle pi _{1},e,ldots ,e,pi _{n}}$, где последовательность расслоений теперь

${displaystyle B^{n}pi _{n} o X o Bpi _{1}}$

исходя из карты ${displaystyle Bpi _{1} o B^{n+1}pi _{n}}$ чей гомотопический класс является элементом ${displaystyle H^{n+1}(Bpi _{1},pi _{n})}$.

3 группы

Другой интересный и доступный класс примеров, требующий теоретико-гомотопических методов, недоступных для строгих группоидов, связан с изучением гомотопических 3-типов групп.^[2]. Существенно, что они даны тройкой групп ${displaystyle (pi _{1},pi _{2},pi _{3})}$ при этом только первая группа неабелева, и некоторые дополнительные теоретические данные гомотопии из башни Постникова. Если взять эту 3-группу как гомотопический 3-тип ${displaystyle X}$существование универсальных покрытий дает нам гомотопический тип ${displaystyle {hat {X}} o X}$ которое укладывается в последовательность расслоений

${displaystyle {hat {X}} o X o Bpi _{1}}$

давая гомотопию ${displaystyle {hat {X}}}$ тип с ${displaystyle pi _{1}}$ тривиально, на котором ${displaystyle pi _{1}}$ действует на. Это можно понять явно, используя предыдущую модель ${displaystyle 2}$-группы, сдвинутые по степени вверх (так называемый разворот). Явно, ${displaystyle {hat {X}}}$ укладывается в башню Постникова с ассоциированным расслоением Серра

${displaystyle B^{3}pi _{3} o {hat {X}} o B^{2}pi _{2}}$

давая где ${displaystyle B^{3}pi _{3}}$-пучок ${displaystyle {hat {X}} o B^{2}pi _{2}}$ исходит с карты ${displaystyle B^{2}pi _{2} o B^{4}pi _{3}}$, дающий класс когомологий в ${displaystyle H^{4}(B^{2}pi _{2},pi _{3})}$. Потом, ${displaystyle X}$ можно восстановить с помощью гомотопического фактора ${displaystyle {hat {X}}//pi _{1}simeq X}$.

n-группы

Предыдущая конструкция дает общее представление о том, как вообще рассматривать высшие группы. Для группы n с группами ${displaystyle pi _{1},pi _{2},ldots ,pi _{n}}$ с абелевым последним сгустком, мы можем рассматривать связанный с ним гомотопический тип ${displaystyle X}$ и сначала рассмотрим универсальный чехол ${displaystyle {hat {X}} o X}$. Тогда это пространство с тривиальным ${displaystyle pi _{1}({hat {X}})=0}$, что упрощает построение остальной части гомотопического типа с помощью башни Постникова. Тогда гомотопический фактор ${displaystyle {hat {X}}//pi _{1}}$ дает реконструкцию ${displaystyle X}$, показывая данные ${displaystyle n}$-group - высшая группа, или Простое пространство, с тривиальным ${displaystyle pi _{1}}$ так что группа ${displaystyle G}$ действует на него гомотопически. Это наблюдение отражается в том факте, что гомотопические типы не реализуются симплициальные группы, но симплициальные группоиды^{[3]стр. 295} поскольку структура группоида моделирует гомотопический фактор ${displaystyle -//pi _{1}}$.

Проходит строительство 4-х групповой ${displaystyle X}$ поучительно, потому что дает общее представление о том, как строить группы в целом. Для простоты предположим ${displaystyle pi _{1}=e}$ тривиально, поэтому нетривиальные группы ${displaystyle pi _{2},pi _{3},pi _{4}}$. Это дает постников башню

${displaystyle X o X_{3} o B^{2}pi _{2} o *}$

где первое нетривиальное отображение ${displaystyle X_{3} o B^{2}pi _{2}}$ расслоение с волокном ${displaystyle B^{3}pi _{3}}$. Опять же, это классифицируется классом когомологий в ${displaystyle H^{4}(B^{2}pi _{2},pi _{3})}$. Теперь построим ${displaystyle X}$ из ${displaystyle X_{3}}$, существует ассоциированное расслоение

${displaystyle B^{4}pi _{4} o X o X_{3}}$

заданный гомотопическим классом ${displaystyle [X_{3},B^{5}pi _{4}]cong H^{5}(X_{3},pi _{4})}$. В принципе^[4] эта группа когомологий должна быть вычислима с использованием предыдущего расслоения ${displaystyle B^{3}pi _{3} o X_{3} o B^{2}pi _{2}}$ со спектральной последовательностью Серра с правильными коэффициентами, а именно ${displaystyle pi _{4}}$. Делая это рекурсивно, скажем, для ${displaystyle 5}$-группа, потребует нескольких вычислений спектральной последовательности, в худшем случае ${displaystyle n!}$ много вычислений спектральной последовательности для ${displaystyle n}$-группа.

Смотрите также

• ∞-группоид
• Скрещенный модуль
• Гипотеза гомотопии

Рекомендации

1. "О пространствах Эйленберга-Маклейна" (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 28 октября 2020 г.
2. Кондюш, Даниэль (1984-12-01). "Модули Croisés Généralisés de Longueur 2". Журнал чистой и прикладной алгебры. 34 (2): 155–178. Дои:10.1016/0022-4049(84)90034-3. ISSN  0022-4049.
3. Гёрсс, Пол Грегори. (2009). Симплициальная теория гомотопий. Жардин, Дж. Ф., 1951-. Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN  978-3-0346-0189-4. OCLC  534951159.
4. «Интегральные когомологии конечных башен Постникова» (PDF). В архиве (PDF) с оригинала 25 августа 2020 г.

• Хоанг Сюан Синь, Gr-категории, Кандидатская диссертация, (1973)
• Джон К. Баэз и Аарон Д. Лауда, Многомерная алгебра V: 2-группы, Теория и приложения категорий 12 (2004), 423–491.
• Дэвид Майкл Робертс и Урс Шрайбер, 3-группа внутренних автоморфизмов строгой 2-группы, Журнал гомотопии и родственных структур, вып. 3 (1) (2008), стр. 193–245.
• Классификация слабых 3-групп
• Стеки и гомотопическая теория симплициальных пучков

Когомологии высших групп

• Определение вторых групп гомологий и когомологий пространства с помощью гомотопических инвариантов
• Третья группа когомологий классифицирует скрещенные расширения модулей
• О второй группе когомологий симплициальной группы