Скрещенный модуль - Crossed module

В математика, и особенно в теория гомотопии, а скрещенный модуль состоит из группы грамм и ЧАС, куда грамм действует на ЧАС к автоморфизмы (который мы напишем слева, ${\displaystyle (g,h)\mapsto g\cdot h}$ , а гомоморфизм групп

${\displaystyle d\colon H\longrightarrow G,\!}$

то есть эквивариантный с уважением к спряжение действие грамм на себя:

${\displaystyle d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}\!}$

а также удовлетворяет так называемому Личность Пайффера:

${\displaystyle d(h_{1})\cdot h_{2}=h_{1}h_{2}h_{1}^{-1}\!}$

Источник

Первое упоминание второй идентичности для скрещенного модуля, кажется, находится в сноске 25 на стр. 422 из Дж. Х. К. Уайтхед в цитируемой ниже статье 1941 г., а термин «скрещенный модуль» введен в его статье 1946 г., цитируемой ниже. Эти идеи были хорошо развиты в его статье 1949 года «Комбинаторная гомотопия II», в которой также была представлена ​​важная идея свободного скрещенного модуля. Идеи Уайтхеда о скрещенных модулях и их приложениях развиты и объяснены в книге Брауна, Хиггинса, Сиверы, перечисленной ниже. Некоторые обобщения идеи скрещенного модуля объясняются в статье Джанелидзе.

Примеры

Позволять N быть нормальная подгруппа группы грамм. Тогда включение

${\displaystyle d\colon N\longrightarrow G\!}$

является скрещенным модулем с действием сопряжения грамм на N.

Для любой группы грамм, модули над групповое кольцо пересекаются грамм-модули с d = 0.

Для любой группы ЧАС, гомоморфизм из ЧАС в Aut (ЧАС) отправка любого элемента ЧАС к соответствующему внутренний автоморфизм является скрещенным модулем.

Учитывая любые центральное расширение групп

${\displaystyle 1\to A\to H\to G\to 1\!}$

сюръективный гомоморфизм

${\displaystyle d\colon H\to G\!}$

вместе с действием грамм на ЧАС определяет скрещенный модуль. Таким образом, центральные расширения можно рассматривать как специальные скрещенные модули. И наоборот, скрещенный модуль с сюръективной границей определяет центральное расширение.

Если (Икс,А,Икс) - заостренная пара топологические пространства (т.е. А является подпространством ИКС, и Икс это точка в А), то граница гомотопии

${\displaystyle d\colon \pi _{2}(X,A,x)\rightarrow \pi _{1}(A,x)\!}$

из второй относительной гомотопической группы к фундаментальная группа, можно придать структуру скрещенного модуля. Функтор

${\displaystyle \Pi \colon ({\text{pairs of pointed spaces}})\rightarrow ({\text{crossed modules}})}$

удовлетворяет форме теорема ван Кампена, в том, что он сохраняет определенные копределы.

Результат по скрещенному модулю пары можно также сформулировать так: если

${\displaystyle F\rightarrow E\rightarrow B\!}$

заостренный расслоение пространств, то индуцированное отображение фундаментальных групп

${\displaystyle d\colon \pi _{1}(F)\rightarrow \pi _{1}(E)\!}$

можно придать структуру скрещенного модуля. Этот пример полезен в алгебраическая K-теория. Существуют многомерные версии этого факта, использующие п-кубики пространств.

Эти примеры предполагают, что скрещенные модули можно рассматривать как «двумерные группы». Фактически, эту идею можно уточнить, используя теория категорий. Можно показать, что скрещенный модуль по сути то же, что и категориальная группа или же 2-группа: то есть объект группы в категории категорий или, что то же самое, объект категории в категории групп. Это означает, что концепция скрещенного модуля - это одна из разновидностей результата смешения понятий «группа» и «категория». Эта эквивалентность важна для многомерных версий групп.

Классификация пространства

Любой скрещенный модуль

${\displaystyle M=(d\colon H\longrightarrow G)\!}$

имеет классификация пространства BM с тем свойством, что его гомотопические группы - Coker d в размерности 1, Ker d в размерности 2 и 0 в размерностях выше 2. Можно описать гомотопические классы отображений из a CW-комплекс к BM. Это позволяет доказать, что (точечные, слабые) гомотопические 2-типы полностью описываются скрещенными модулями.

внешняя ссылка

• Дж. Баэз и А. Лауда, Многомерная алгебра V: 2-группы
• Р. Браун, Группоиды и скрещенные объекты в алгебраической топологии
• Р. Браун, Теория многомерных групп
• Р. Браун, П. Дж. Хиггинс, Р. Сивера, Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 с. (Август 2011 г.).
• М. Форрестер-Баркер, Группировать объекты и внутренние категории
• Бехранг Нухи, Замечания о 2-группоидах, 2-группах и скрещенных модулях
• скрещенные модули в nlab

Рекомендации

• Уайтхед, Дж. Х. К., О добавлении отношений к гомотопическим группам, Анна. математики. (2) 42 (1941) 409–428.
• Уайтхед, Дж. Х. С., Примечание к предыдущей статье, озаглавленной «О добавлении отношений к гомотопическим группам», Ann. математики. (2) 47 (1946) 806–810.
• Уайтхед Дж. Х. С. Комбинаторная гомотопия. II, Бык. Амер. Математика. Soc. 55 (1949) 453–496.
• Джанелидзе Г. Внутренние скрещенные модули. Грузинская математика. J. 10 (2003), нет. 1, 99–114.