Классификация пространства - Classifying space

В математика особенно в теория гомотопии, а классификация пространства BG из топологическая группа грамм является частным от слабо сжимаемый Космос НАПРИМЕР (т.е. топологическое пространство, все гомотопические группы тривиальны) собственным свободное действие из грамм. Он обладает тем свойством, что любой грамм основной пакет через паракомпакт многообразие изоморфно откат основного пакета НАПРИМЕР → BG.^[1] Как объяснено ниже, это означает, что классификация пространств представлять многозначный функтор на гомотопическая категория топологических пространств. Термин классифицирующее пространство может также использоваться для пространств, которые представляют многозначный функтор в категории топологические пространства, Такие как Пространство Серпинского. Это понятие обобщается понятием классификация топосов. Однако в оставшейся части статьи обсуждается более часто используемое понятие классификации пространства до гомотопии.

Для дискретная группа грамм, BG это, грубо говоря, соединенный путём топологическое пространство Икс так что фундаментальная группа из Икс изоморфен грамм и выше гомотопические группы из Икс находятся банальный, то есть, BG является Пространство Эйленберга – Маклейна, или К (G, 1).

Мотивация

Пример классифицирующего помещения для бесконечная циклическая группа грамм это круг в качестве Икс. Когда грамм это дискретная группа, еще один способ указать условие на Икс это то универсальный чехол Y из Икс является стягиваемый. В этом случае карта проекции

${\displaystyle \pi :Y\longrightarrow X\ }$

становится пучок волокон со структурной группой грамм, на самом деле основной пакет за грамм. Интерес к концепции классифицирующего пространства действительно возникает из-за того, что в данном случае Y имеет универсальная собственность в отношении основного грамм-бандлы, в гомотопическая категория. На самом деле это более фундаментально, чем условие, что высшие гомотопические группы исчезают: основная идея заключается в том, что грамм, чтобы найти такое сжимаемое пространство Y на котором грамм действует свободно. (The слабая эквивалентность Идея теории гомотопии связывает эти две версии.) В случае примера с кругом, мы говорим, что мы замечаем, что бесконечная циклическая группа C свободно действует на реальная линия р, который является стягиваемым. Принимая Икс как факторное пространство окружности, мы можем рассматривать проекцию π из р = Y к Икс как спираль в геометрическом выражении, претерпевает проекцию из трех измерений на плоскость. Утверждается, что π обладает универсальным свойством среди основных C-бандлеры; что любой принципал C-бандл определенным образом 'происходит от' π.

Формализм

Более формальное утверждение учитывает, что грамм может быть топологическая группа (не просто дискретная группа), и что групповые действия из грамм считаются непрерывными; в отсутствие непрерывных действий концепция классифицирующего пространства может быть рассмотрена в гомотопических терминах с помощью Пространство Эйленберга – Маклейна строительство. В теории гомотопий определение топологического пространства BG, то классификация пространства для главного грамм-бандлы, дается вместе с пространством НАПРИМЕР какой общая площадь из универсальный комплект над BG. То есть то, что предоставляется, на самом деле непрерывное отображение

${\displaystyle \pi :EG\longrightarrow BG.\ }$

Предположим, что гомотопическая категория Комплексы CW с этого момента основная категория. В классификация собственность требуется от BG фактически относится к π. Мы должны иметь возможность сказать, что при любом принципе грамм-пучок

${\displaystyle \gamma :Y\longrightarrow Z\ }$

над пространством Z, Существует классифицирующая карта φ из Z к BG, такая, что γ - откат π вдоль φ. Говоря менее абстрактно, построение γ посредством "скручивания" должно быть сведено через φ к скручиванию, уже выраженному конструкцией π.

Чтобы это было полезной концепцией, очевидно, должна быть какая-то причина полагать, что такие пространства BG существовать. В абстрактных терминах (которые изначально не использовались примерно в 1950 году, когда эта идея была впервые представлена) это вопрос о том, контравариантный функтор из гомотопической категории в категория наборов, определяется

час(Z) = множество классов изоморфизма главных грамм-бандлы на Z

это представимый функтор. Известные абстрактные условия для этого (Теорема Брауна о представимости ) гарантируют, что результат, как теорема существования, утвердительно и не слишком сложно.

Примеры

1. В круг S¹ классифицирующее пространство для бесконечная циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Общая площадь ${\displaystyle E\mathbb {Z} =\mathbb {R} .}$
2. В п-тор ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ классифицирующее пространство для ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, то свободная абелева группа ранга п. Общая площадь ${\displaystyle E\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}.}$
3. Клин п круги - это классифицирующее пространство для свободная группа ранга п.
4. А закрыто (то есть компактный и без границы) связаны поверхность S из род по крайней мере 1 классифицирующее пространство для его фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(S).}$
5. А закрыто (то есть компактный и без границы) связаны гиперболическое многообразие M классифицирующее пространство для фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$.
6. Конечная локально связная КОШКА (0) кубический комплекс является классифицирующим пространством своего фундаментальная группа.
7. В бесконечномерное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$ является классифицирующим пространством циклической группы ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$ Общая площадь ${\displaystyle E\mathbb {Z} _{2}=S^{\infty }}$ (это прямой предел сфер ${\displaystyle S^{n},}$ эквивалентно, гильбертово пространство с удаленным началом; он сжимаемый).
8. Космос ${\displaystyle B\mathbb {Z} _{n}=S^{\infty }/\mathbb {Z} _{n}}$ классифицирующее пространство для циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$ Здесь, ${\displaystyle S^{\infty }}$ понимается как некоторое подмножество бесконечномерного гильбертова пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$ с удаленным происхождением; считается, что циклическая группа действует на него путем умножения с корнями из единицы.
9. Неупорядоченный конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ классифицирующее пространство Группа косичек Артина ${\displaystyle B_{n}}$,^[2] и заказанное пространство конфигурации ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ классифицирующее пространство для чистой группы кос Артина ${\displaystyle P_{n}.}$
10. (Неупорядоченный) конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$ классифицирующее пространство для симметрической группы ${\displaystyle S_{n}.}$^[3]
11. Бесконечномерный комплекс проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ классифицирующее пространство BS¹ для круга S¹ рассматривается как компактная топологическая группа.
12. В Грассманиан ${\displaystyle Gr(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$ из п-самолеты в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ классифицирующее пространство ортогональная группа O (п). Общая площадь ${\displaystyle EO(n)=V(n,\mathbb {R} ^{\infty })}$, то Коллектор Штифеля из п-мерные ортонормированные системы отсчета в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }.}$

Приложения

Это все еще оставляет вопрос об эффективных расчетах с BG; например, теория характеристические классы по сути то же самое, что вычисление группы когомологий из BG, по крайней мере в рамках ограничительной теории гомотопий, для интересных групп грамм Такие как Группы Ли (Теорема Х. Картана ).^{[требуется разъяснение ]} Как показали Теорема периодичности Ботта, то гомотопические группы из BG также представляют фундаментальный интерес. Ранние работы по классификации пространств вводили конструкции (например, барная конструкция ), который дал конкретные описания как симплициальный комплекс.

Примером классифицирующего пространства является то, что когда грамм цикличен второго порядка; тогда BG является реальное проективное пространство бесконечного измерения, что соответствует наблюдению, что НАПРИМЕР можно принять как стягиваемое пространство, полученное в результате удаления начала координат в бесконечномерном Гильбертово пространство, с грамм действуя через v собираюсь -v, и с учетом гомотопическая эквивалентность в выборе BG. Этот пример показывает, что классификация пространств может быть сложной.

В отношениях с дифференциальная геометрия (Теория Черна – Вейля ) и теория Грассманианы, гораздо более практический подход к теории возможен для таких случаев, как унитарные группы которые представляют наибольший интерес. Строительство Комплекс Тома MG показал, что пробелы BG также были замешаны в теория кобордизма, так что они заняли центральное место в геометрических соображениях, исходящих из алгебраическая топология. С групповые когомологии могут (во многих случаях) быть определены с помощью классификационных пространств, они также могут рассматриваться как основополагающие во многих гомологическая алгебра.

Обобщения включают те, которые используются для классификации слоения, а классификация топосов для логических теорий исчисления предикатов в интуиционистская логика занимающие место «пространства моделей».

Смотрите также

• Классифицирующее пространство для O (n), BO (п)
• Классифицирующее пространство для U (n), BU (п)
• Классифицирующий стек
• Теорема Бореля
• Эквивариантные когомологии

Примечания

1. Сташефф, Джеймс Д. (1971), "ЧАС-пространства и классифицирующие пространства: основы и последние разработки », Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970), Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 247–272, Теорема 2
2. Арнольд, Владимир I. (1969). «Кольцо когомологий группы цветных кос». Владимир И. Арнольд - Собрание сочинений. Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 183–186. Дои:10.1007/978-3-642-31031-7_18. ISBN  978-3-642-31030-0.
3. "классификация пространства в nLab". ncatlab.org. Получено 2017-08-22.

Рекомендации

• J.P. May, Краткий курс алгебраической топологии
• Классификация пространства в nLab
• «Классифицирующее пространство», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]