CW комплекс - CW complex

А CW комплекс это своего рода топологическое пространство что особенно важно в алгебраическая топология.^[1]Он был представлен Дж. Х. К. Уайтхед^[2] для удовлетворения потребностей теория гомотопии. Этот класс пространств шире и лучше категоричный свойства чем симплициальные комплексы, но по-прежнему сохраняет комбинаторный характер, позволяющий выполнять вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом). В C означает "конечное закрытие", а W для "слабой" топологии.^{[требуется разъяснение ]}

Комплекс CW можно определить индуктивно.^[3]

• А 0-мерный комплекс CW просто набор из нуля или более дискретных точек (с дискретная топология ).
• А 1-мерный комплекс CW строится взятием несвязный союз 0-мерного комплекса CW с одной или несколькими копиями единичный интервал. Для каждой копии есть карта "клеи "его граница (его два конца) с элементами 0-мерного комплекса (точки). Топология комплекса CW - это факторное пространство определяемые этими склейками.
• В целом n-мерный комплекс CW строится взятием несвязный союз из k-мерный комплекс CW (для некоторых k<п) с одной или несколькими копиями п-мерный шар. Для каждой копии есть карта "клеи "его граница ( п-1 размерный сфера ) к элементам (п-1) -мерный комплекс. Топология комплекса CW - это факторное пространство определяемые этими склейками.
• An бесконечномерный комплекс непрерывных волн может быть построен повторением вышеуказанного процесса счетное количество раз.

В п-мерный комплекс CW, для каждого k ≤ п, а k-ячейка это интерьер k-мерный шар добавлен в k-й шаг. В k-скелет комплекса - это объединение всех его k-клетки.

Примеры

Как упоминалось выше, каждый набор дискретных точек является комплексом CW (размерности 0).

1-мерные CW-комплексы

Некоторые примеры одномерных комплексов CW:^[4]

• Интервал. Его можно построить из двух точек (Икс и y), а одномерный шар B (интервал), такой, что одна конечная точка B приклеен к Икс а другой приклеен к y. Две точки Икс и y являются 0-ячейками; интерьер B это 1-ячейка. В качестве альтернативы его можно построить только из одного интервала без 0-ячеек.
• Круг. Его можно построить из одной точки Икс и одномерный шар B, так что обе конечные точки B приклеены к Икс. Как вариант, его можно построить из двух точек Икс и y и два одномерных шара А и B, так что конечные точки А приклеены к Икс и y, и конечные точки B приклеены к Икс и y тоже.
• А график. Это одномерный комплекс CW, в котором 0-клетки являются вершинами, а 1-клетки - ребрами. Концы каждого ребра отождествляются со смежными с ним вершинами.
  • 3-регулярные графы можно рассматривать как общий Одномерные комплексы CW. В частности, если Икс является одномерным CW-комплексом, прикрепляющая карта для 1-ячейки - это карта из двухточечное пространство к Икс, ${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$. Это отображение можно возмущать, чтобы оно не пересекалось с 0-скелетом Икс если и только если ${\displaystyle f(0)}$ и ${\displaystyle f(1)}$ не являются 0-валентными вершинами Икс.
• В стандартная структура CW на вещественных числах имеет в качестве 0-остова целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ а в качестве 1-клеток интервалы ${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$. Аналогично стандартная структура CW на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ имеет кубические ячейки, которые являются произведением 0 и 1-ячеек из ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Это стандарт кубическая решетка клеточная структура на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Многомерные CW-комплексы

Некоторые примеры многомерных комплексов CW:^[4]

• An п-мерная сфера. Он допускает структуру CW с двумя ячейками, одной 0-ячейкой и одной n-ячейкой. Здесь n-ячейка ${\displaystyle D^{n}}$ прикрепляется постоянным отображением от своей границы ${\displaystyle S^{n-1}}$ в одиночную 0-ячейку. Альтернативное разложение клеток имеет один (п-1) -мерная сфера ("экватор ") и два п-ячейки, которые к нему прикреплены («верхняя полусфера» и «нижняя полусфера»). Индуктивно это дает ${\displaystyle S^{n}}$ CW-разложение с двумя ячейками в каждой размерности k, такое что ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$.
• В п-размерный реальный проективное пространство. Он допускает структуру CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении.

• Терминология для типичного 2-мерного CW-комплекса: тень.^[5]
• А многогранник естественно является комплексом CW.
• Грассманиан многообразия допускают структуру CW, называемую Клетки Шуберта.
• Дифференцируемые многообразия, алгебраические и проективные разновидности имеют комплексы CW гомотопического типа.
• В одноточечная компактификация остроконечного гиперболическое многообразие имеет каноническое CW-разложение только с одной 0-ячейкой (точкой компактификации), называемой Разложение Эпштейна – Пеннера. Такие разложения клеток часто называют идеальные полиэдральные разложения и используются в популярном компьютерном программном обеспечении, таком как SnapPea.

Не CW-комплексы

• Бесконечномерный Гильбертово пространство не комплекс CW: это Пространство Бэра и поэтому не может быть записан как счетное объединение п-скелеты, каждый из которых представляет собой замкнутый набор с пустым внутренним пространством. Этот аргумент распространяется на многие другие бесконечномерные пространства.
• Космос ${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }$ имеет гомотопический тип CW-комплекса (стягиваемый), но не допускает CW-разложения, так как не является локально сокращаемый.
• В Гавайская серьга является примером топологического пространства, не имеющего гомотопического типа комплекса CW.

Формулировка

Грубо говоря, CW комплекс состоит из основных строительных блоков, называемых клетки. Точное определение предписывает топологическое расположение ячеек. склеены.

An п-мерная замкнутая ячейка - это изображение п-размерный закрытый мяч под прикрепление карты. Например, симплекс закрытая ячейка, и в более общем смысле выпуклый многогранник это закрытая ячейка. An п-мерная открытая клетка - это топологическое пространство, гомеоморфное пространству п-размерный открытый мяч. 0-мерная открытая (и закрытая) клетка - это одиночка Космос. Закрытие-конечное означает, что каждая закрытая ячейка покрытый конечным объединением открытых клеток (или встречается только конечное число других клеток^[6]).

Комплекс CW - это Пространство Хаусдорфа Икс вместе с раздел из Икс в открытые ячейки (возможно, разного размера), которые удовлетворяют двум дополнительным свойствам:

• Для каждого п-мерная открытая ячейка C в разделе Икс, существует непрерывная карта ж от п-мерный закрытый шар для Икс такой, что
  • ограничение ж внутрь замкнутого шара находится гомеоморфизм на камеру C, и
  • образ граница замкнутого шара содержится в объединении конечного числа элементов разбиения, каждый из которых имеет размер ячейки меньше, чем п.
• Подмножество Икс является закрыто тогда и только тогда, когда он встречает закрытие каждой ячейки в замкнутом множестве.

Разделение Икс также называется клетка.

Обычные комплексы CW

Комплекс CW называется обычный если для каждого п-мерная открытая ячейка C в разделе Икс, то непрерывная карта ж от п-мерный закрытый шар для Икс это гомеоморфизм на закрытие ячейки C. Соответственно, разделение Икс также называется регулярная клеточность. А без петель граф - это регулярный одномерный CW-комплекс. А вложение замкнутого 2-клеточного графа на поверхность является правильным двумерным CW-комплексом. Наконец, гипотеза 3-сферной регулярной клеточности утверждает, что каждое 2-связный граф 1-остов регулярного CW-комплекса на 3-х мерная сфера (https://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/SergioDeAgostino/DeAgostino.pdf ).

Относительные комплексы CW

Грубо говоря, относительный комплекс CW отличается от комплекса CW тем, что мы позволяем ему иметь один дополнительный строительный блок, который не обязательно имеет ячеистую структуру. Этот дополнительный блок можно рассматривать как (-1) -мерную ячейку в предыдущем определении.^[7][8][9]

Индуктивное построение комплексов CW

Если наибольший размер любой из ячеек равен п, то говорят, что комплекс CW имеет размерность п. Если размеры ячейки не привязаны, то она называется бесконечномерной. В п-скелет комплекса CW - это объединение клеток, размерность которых не превосходит п. Если объединение набора клеток замкнуто, то это объединение само является комплексом CW, называемым подкомплексом. Таким образом п-скелет - самый крупный подкомплекс размерности п или менее.

Комплекс CW часто конструируется путем индуктивного определения его скелета путем `` прикрепления '' клеток возрастающей размерности. п-ячейка в топологическое пространство Икс один означает прилегающее пространство ${\displaystyle B\cup _{f}X}$куда ж является непрерывным отображением из граница закрытого п-мерный шар ${\displaystyle B\subseteq R^{n}}$ к Икс. Чтобы построить CW-комплекс, начните с 0-мерного CW-комплекса, то есть дискретное пространство ${\displaystyle X_{0}}$. Прикрепите 1-ячейку к ${\displaystyle X_{0}}$ для получения одномерного CW-комплекса ${\displaystyle X_{1}}$. Прикрепите 2 ячейки к ${\displaystyle X_{1}}$ для получения двумерного комплекса непрерывных волн ${\displaystyle X_{2}}$. Продолжая таким образом, мы получаем вложенную последовательность комплексов CW ${\displaystyle X_{0}\subseteq X_{1}\subseteq \cdots X_{n}\subseteq \cdots }$ возрастающей размерности такой, что если ${\displaystyle i\leq j}$ тогда ${\displaystyle X_{i}}$ это я-скелет ${\displaystyle X_{j}}$.

С точностью до изоморфизма каждый п-мерный комплекс CW может быть получен из его (п - 1) -скелет путем крепления п-ячейки, и, следовательно, любой конечномерный комплекс CW может быть построен описанным выше процессом. Это верно даже для бесконечномерных комплексов, с пониманием того, что результатом бесконечного процесса является прямой предел скелета: набор закрыт в Икс тогда и только тогда, когда он встречается с каждым скелетом в замкнутом множестве.

Гомологии и когомологии комплексов CW.

Особые гомологии и когомологии комплексов CW легко вычислить с помощью клеточная гомология. Более того, в категории CW комплексов и сотовых карт клеточная гомология можно интерпретировать как теория гомологии. Чтобы вычислить экстраординарная теория (ко) гомологии для комплекса CW Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха аналог клеточная гомология.

Некоторые примеры:

• Для сферы ${\displaystyle S^{n},}$ возьмем разложение ячеек на две ячейки: одну 0-ячейку и одну п-клетка. Клеточная гомология цепной комплекс ${\displaystyle C_{*}}$ и гомология даются:

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}$

так как все дифференциалы равны нулю.

В качестве альтернативы, если мы используем экваториальное разложение с двумя ячейками в каждом измерении

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

а дифференциалы - это матрицы вида ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}$ Это дает то же вычисление гомологии выше, поскольку цепной комплекс точен во всех членах, кроме ${\displaystyle C_{0}}$ и ${\displaystyle C_{n}.}$

• За ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$ мы получаем аналогично

${\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Оба приведенных выше примера особенно просты, потому что гомология определяется количеством ячеек, то есть: карты привязки ячеек не играют никакой роли в этих вычислениях. Это очень специфическое явление, не имеющее отношения к общему случаю.

Модификация конструкций CW

Уайтхед разработал методику замены комплекса CW гомотопически эквивалентным комплексом CW, который имеет проще CW разложение.

Рассмотрим, например, произвольный комплекс CW. Его 1-скелет может быть довольно сложным, будучи произвольным график. Теперь рассмотрим максимальное лес F в этом графике. Поскольку это набор деревьев, а деревья стягиваемы, рассмотрим пространство ${\displaystyle X/{\sim }}$ где отношение эквивалентности порождается ${\displaystyle x\sim y}$ если они содержатся в общем дереве в максимальном лесу F. Факторная карта ${\displaystyle X\to X/{\sim }}$ является гомотопической эквивалентностью. Более того, ${\displaystyle X/{\sim }}$ естественно наследует структуру CW с ячейками, соответствующими ячейкам ${\displaystyle X}$ которые не содержатся в F. В частности, 1-скелет ${\displaystyle X/{\sim }}$ представляет собой несвязное объединение клиньев окружностей.

Другой способ сформулировать сказанное выше состоит в том, что связный CW-комплекс может быть заменен гомотопически эквивалентным CW-комплексом, 0-скелет которого состоит из одной точки.

Подумайте о том, чтобы подняться по лестнице подключения - предположим, Икс является односвязным CW-комплексом, 0-остов которого состоит из точки. Можем ли мы путем соответствующих модификаций заменить Икс гомотопически эквивалентным комплексом CW, где ${\displaystyle X^{1}}$ состоит из одной точки? Ответ положительный. Первый шаг - заметить, что ${\displaystyle X^{1}}$ и прикрепляющие карты для построения ${\displaystyle X^{2}}$ из ${\displaystyle X^{1}}$ сформировать групповая презентация. В Теорема Титце для групповых представлений утверждает, что существует последовательность движений, которые мы можем выполнить, чтобы свести это групповое представление к тривиальному представлению тривиальной группы. Есть два хода Титце:

1) Добавление / удаление генератора. Добавление генератора с точки зрения CW-декомпозиции состоит из добавления 1-ячейки и 2-ячейки, присоединяемая карта которых состоит из новой 1-ячейки, а остальная часть присоединяемой карты находится в ${\displaystyle X^{1}}$. Если мы позволим ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ - соответствующий CW комплекс ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}$ тогда существует гомотопическая эквивалентность ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$ заданный, вставив новый 2-элементный Икс.

2) Добавление / удаление отношения. Действие добавления отношения аналогично, только одно заменяет Икс к ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}$ где новый 3-cell имеет присоединяемую карту, которая состоит из новой 2-ячейки и отображения остатка в ${\displaystyle X^{2}}$. Аналогичный слайд дает гомотопически эквивалентность ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$.

Если комплекс CW Икс является п-связаны можно найти гомотопически эквивалентный CW комплекс ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ чей п-скелет ${\displaystyle X^{n}}$ состоит из одной точки. Аргумент в пользу ${\displaystyle n\geq 2}$ похож на ${\displaystyle n=1}$ В этом случае только один заменяет движения Титце для представления фундаментальной группы элементарными матричными операциями для матриц представления для ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$ (используя матрицы представления из клеточная гомология. то есть: аналогично можно реализовать элементарные матричные операции последовательностью добавления / удаления ячеек или подходящих гомотопий присоединяемых карт.

Гомотопическая категория

В гомотопическая категория комплексов CW является, по мнению некоторых экспертов, лучшим, если не единственным кандидатом в то гомотопическая категория (по техническим причинам версия для заостренные места фактически используется).^[10] Вспомогательные конструкции, которые дают пространства, не являющиеся комплексами CW, должны использоваться при случае. Один из основных результатов состоит в том, что представимые функторы на гомотопической категории имеют простую характеристику ( Теорема Брауна о представимости ).

Характеристики

• Комплексы CW локально контрактируемы.
• Комплексы CW удовлетворяют требованиям Теорема Уайтхеда: отображение между CW комплексами является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах.
• Продукт двух комплексов CW может быть превращен в комплекс CW. В частности, если Икс и Y являются комплексами CW, то можно образовать комплекс CW Икс × Y в котором каждая ячейка является продуктом ячейки в Икс и ячейка в Y, наделенный слабая топология. Базовый набор Икс × Y тогда Декартово произведение из Икс и Y, как и ожидалось. Кроме того, слабая топология на этом наборе часто согласуется с более знакомыми топология продукта на Икс × Y, например, если либо Икс или же Y конечно. Однако слабую топологию можно тоньше чем топология продукта, например, если ни один Икс ни Y является локально компактный. В этом неблагоприятном случае товар Икс × Y в топологии продукта нет комплекс CW. С другой стороны, продукт Икс и Y в категории компактно порожденные пространства согласуется со слабой топологией и, следовательно, определяет комплекс CW.
• Позволять Икс и Y быть комплексами CW. Тогда функциональные пространства Hom (Икс,Y) (с компактно-открытая топология ) находятся нет CW комплексы в целом. Если Икс конечно, то Hom (Икс,Y) является гомотопический эквивалент комплексу CW по теореме Джон Милнор (1959).^[11] Обратите внимание, что Икс и Y находятся компактно порожденные хаусдорфовы пространства, поэтому Hom (Икс,Y) часто принимают вместе с компактно генерируемый вариант компактно-открытой топологии; вышеприведенные утверждения остаются верными.^[12]
• А покрывающее пространство комплекса CW также является комплексом CW.
• Комплексы CW паракомпакт. Конечные комплексы CW компактный. Компактное подпространство CW-комплекса всегда содержится в конечном подкомплексе.^[13][14]

Смотрите также

• Абстрактный клеточный комплекс
• Понятие комплекса CW адаптировано к гладкие многообразия называется обрабатывать разложение, который тесно связан с теория хирургии.

Рекомендации

Примечания

1. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79540-0. Этот учебник определяет комплексы CW в первой главе и использует их повсюду; включает приложение по топологии комплексов CW. Бесплатная электронная версия доступна на сайте домашняя страница автора.
2. Уайтхед, Дж. Х. С. (1949а). «Комбинаторная гомотопия. I.» Бык. Амер. Математика. Soc. 55 (5): 213–245. Дои:10.1090 / S0002-9904-1949-09175-9. МИСТЕР  0030759. (открытый доступ)
3. канал, Анимированная математика (2020). «1.2 Введение в алгебраическую топологию. Комплексы CW». YouTube.
4. канал, Анимированная математика (2020). «1.3 Введение в алгебраическую топологию. Примеры комплексов CW». YouTube.
5. Тураев, В. Г. (1994), "Квантовые инварианты узлов и трехмерных многообразий", Исследования Де Грюйтера по математике (Берлин: Walter de Gruyter & Co.) 18
6. Хэтчер, Аллен, Алгебраическая топология, стр. 520, Cambridge University Press (2002). ISBN  0-521-79540-0.
7. Дэвис, Джеймс Ф .; Кирк, Пол (2001). Конспект лекций по алгебраической топологии. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество.
8. https://ncatlab.org/nlab/show/CW+complex
9. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/CW-complex
10. Например, мнение «Класс CW-комплексов (или класс пространств того же гомотопического типа, что и CW-комплекс) является наиболее подходящим классом топологических пространств по отношению к теории гомотопий» появляется в Баладзе, Д. (2001) [1994], "CW-комплекс", Энциклопедия математики, EMS Press
11. Милнор, Джон (1959). «О пространствах, имеющих гомотопический тип CW-комплекса». Пер. Амер. Математика. Soc. 90: 272–280. Дои:10.1090 / с0002-9947-1959-0100267-4. JSTOR  1993204.
12. «Компактно генерируемые пространства» (PDF).
13. Хэтчер, Аллен, Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета (2002). ISBN  0-521-79540-0. Бесплатная электронная версия доступна на сайте домашняя страница автора
14. Хэтчер, Аллен, Векторные расслоения и K-теория, предварительная версия доступна на домашняя страница авторов

Общие ссылки

• Lundell, A.T .; Вайнграм, С. (1970). Топология комплексов CW. Ван Ностранд Университетская серия по высшей математике. ISBN  0-442-04910-2.
• Brown, R .; Хиггинс, П.Дж .; Сивера, Р. (2011). Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды. Европейское математическое общество Трактаты по математике Том 15. ISBN  978-3-03719-083-8. Подробнее о [1] домашняя страница первого автора]