N-связное пространство - N-connected space

Эта статья посвящена концепции алгебраической топологии. Для концепции теории графов см. Связность (теория графов).

в математический филиал алгебраическая топология, конкретно теория гомотопии, п-связанность (иногда, п-простая связность) обобщает понятия путевая связность и простая связность. Сказать, что пространство п-connected - это первый п гомотопические группы тривиальны, и сказать, что отображение п-connected означает, что это изоморфизм "до размера п, в гомотопия ".

п-связанное пространство

А топологическое пространство Икс как говорят п-связаны (для положительных п) когда он не пустой, соединенный путём, и его первая п гомотопические группы тождественно обращаются в нуль, т. е.

${displaystyle pi _{i}(X)cong 0,quad 1leq ileq n,}$

куда ${displaystyle pi _{i}(X)}$ обозначает я-го гомотопическая группа а 0 обозначает тривиальную группу.^[1]

Требования быть непустыми и связанными по пути можно интерпретировать как (−1) -связные и 0-связанныйсоответственно, что полезно при определении 0-связанных и 1-связанных карт, как показано ниже. 0-й гомотопический набор можно определить как:

${displaystyle pi _{0}(X,*):=[(S^{0},*),(X,*)].}$

Это всего лишь заостренный набор, а не группа, если только Икс сам по себе топологическая группа; выделенная точка - это класс тривиального отображения, отправляющего S⁰ к базовой точке Икс. Используя этот набор, пространство является 0-связным тогда и только тогда, когда 0-й гомотопический набор является одноточечным множеством. Определение гомотопических групп и этого гомотопического множества требует, чтобы Икс быть указанным (иметь выбранную базовую точку), чего нельзя сделать, если Икс пусто.

Топологическое пространство Икс является соединенный путём тогда и только тогда, когда его 0-я гомотопическая группа тождественно равна нулю, поскольку линейная связность означает, что любые две точки Икс₁ и Икс₂ в Икс может быть связано с непрерывный путь который начинается в Икс₁ и заканчивается на Икс₂, что равносильно утверждению, что каждое отображение из S⁰ (а дискретный набор двух точек) на Икс можно непрерывно деформировать до постоянного отображения. С помощью этого определения мы можем определить Икс быть п-связаны если и только если

${displaystyle pi _{i}(X)simeq 0,quad 0leq ileq n.}$

Примеры

• Пространство Икс является (−1) -связным тогда и только тогда, когда оно не пусто.
• Пространство Икс 0-связно тогда и только тогда, когда оно не пусто и соединенный путём.
• Пространство 1-связно тогда и только тогда, когда оно односвязный.
• An п-сфера является (п - 1) -связано.

пподключенная карта

Соответствующие относительный понятие к абсолютный понятие п-связаны Космос является п-связаны карта, которое определяется как карта, гомотопическое волокно Ff является (п - 1) -связанное пространство. В терминах гомотопических групп это означает, что отображение ${displaystyle fcolon X o Y}$ является п-связано тогда и только тогда, когда:

• ${displaystyle pi _{i}(f)colon pi _{i}(X){overset {sim }{ o }}pi _{i}(Y)}$ является изоморфизмом для ${displaystyle i<n}$, и
• ${displaystyle pi _{n}(f)colon pi _{n}(X) woheadrightarrow pi _{n}(Y)}$ это сюръекция.

Последнее условие часто сбивает с толку; это потому, что исчезновение (п - 1) -я гомотопическая группа гомотопическое волокно Ff соответствует сюрпризу на п^th гомотопические группы в точной последовательности:

${displaystyle pi _{n}(X){overset {pi _{n}(f)}{ o }}pi _{n}(Y) o pi _{n-1}(Ff).}$

Если группа справа ${displaystyle pi _{n-1}(Ff)}$ исчезает, то карта слева является сюръекцией.

Низкоразмерные примеры:

• Связная карта (0-связная карта) - это карта, которая находится на компонентах пути (0-я гомотопическая группа); это соответствует непустому гомотопическому слою.
• Односвязное отображение (односвязное отображение) - это отображение, которое является изоморфизмом на компонентах пути (0-я гомотопическая группа) и на фундаментальную группу (1-я гомотопическая группа).

п-связанность пространств, в свою очередь, может быть определена с точки зрения п-связность карт: пространство Икс с базовой точкой Икс₀ является п-связное пространство тогда и только тогда, когда включение базовой точки ${displaystyle x_{0}hookrightarrow X}$ является пподключенная карта. Одноточечное множество стягиваемо, поэтому все его гомотопические группы обращаются в нуль, и, следовательно, «изоморфизм ниже п и на п"соответствует первому п гомотопические группы Икс исчезновение.

Интерпретация

Это поучительно для подмножества: п-связанное включение ${displaystyle Ahookrightarrow X}$ один такой, что до измерения п - 1, гомотопии в большом пространстве Икс гомотопии в подмножестве А.

Например, для карты включения ${displaystyle Ahookrightarrow X}$ чтобы быть 1-связным, оно должно быть:

• на ${displaystyle pi _{0}(X),}$
• один на один на ${displaystyle pi _{0}(A) o pi _{0}(X),}$ и
• на ${displaystyle pi _{1}(X).}$

Один на один на ${displaystyle pi _{0}(A) o pi _{0}(X)}$ означает, что если есть путь, соединяющий две точки ${displaystyle a,bin A}$ проходя через ИКС, есть путь в А соединяя их, а на ${displaystyle pi _{1}(X)}$ означает, что на самом деле путь в Икс гомотопен пути в А.

Другими словами, функция, являющаяся изоморфизмом на ${displaystyle pi _{n-1}(A) o pi _{n-1}(X)}$ только подразумевает, что любые элементы ${displaystyle pi _{n-1}(A)}$ которые гомотопны в Икс находятся абстрактно гомотопный в А - гомотопия в А может не иметь отношения к гомотопии в Икс - в то же время п-connected (так же как и на ${displaystyle pi _{n}(X)}$) означает, что (до размерности п - 1) гомотопии в Икс можно втолкнуть в гомотопии в А.

Это дает более конкретное объяснение полезности определения п-связность: например, пространство, в котором включение k-скелет п-связанный (для п > k) - например, включение точки в п-sphere - имеет свойство, что любые ячейки в размерах между k и п не влияют на низкоразмерные гомотопические типы.

Приложения

Концепция чего-либо п-связность используется в Теорема Гуревича который описывает связь между особые гомологии и высшие гомотопические группы.

В геометрическая топология, случаи, когда включение геометрически определенного пространства, такого как пространство погружений ${displaystyle M o N,}$ в более общее топологическое пространство, такое как пространство всех непрерывных отображений между двумя ассоциированными пространствами ${displaystyle X(M) o X(N),}$ находятся п-связанные, как говорят, удовлетворяют принцип гомотопии или «принцип h». Существует ряд мощных общих методов доказательства h-принципов.

Смотрите также

• Подключенное пространство
• Соединительный спектр
• Связанный по пути
• Просто подключено

Рекомендации

1. "n-связное пространство в nLab". ncatlab.org. Получено 2017-09-18.