Алгебраическая топология - Algebraic topology

По поводу топологии поточечной сходимости см. Алгебраическая топология (объект).

А тор, один из наиболее часто изучаемых объектов алгебраической топологии

Алгебраическая топология это филиал математика который использует инструменты из абстрактная алгебра учиться топологические пространства. Основная цель - найти алгебраические инварианты который классифицировать топологические пространства вплоть до гомеоморфизм, хотя обычно классифицируют до гомотопическая эквивалентность.

Хотя алгебраическая топология в первую очередь использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда также возможно использование топологии для решения алгебраических задач. Например, алгебраическая топология дает удобное доказательство того, что любая подгруппа из свободная группа снова свободная группа.

Основные разделы алгебраической топологии

Ниже приведены некоторые из основных областей, изучаемых в алгебраической топологии:

Гомотопические группы

Основная статья: Гомотопическая группа

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологические пространства. Первая и простейшая гомотопическая группа - это фундаментальная группа, который записывает информацию о петлях в пространстве. Интуитивно гомотопические группы записывают информацию об основной форме или отверстиях топологического пространства.

Гомология

Основная статья: Гомология

В алгебраической топологии и абстрактная алгебра, гомология (частично из Греческий ὁμός гомо "идентичный") - это некая общая процедура для связывания последовательность из абелевы группы или же модули с заданным математическим объектом, таким как топологическое пространство или группа.^[1]

Когомологии

Основная статья: Когомологии

В теория гомологии и алгебраическая топология, когомология это общий термин для последовательность из абелевы группы определяется из коцепьевой комплекс. То есть когомологии определяются как абстрактное изучение коцепи, коциклы, и кограницы. Когомологии можно рассматривать как метод отнесения алгебраические инварианты к топологическому пространству, имеющему более тонкий алгебраическая структура чем гомология. Когомологии возникают из алгебраической дуализации конструкции гомологий. Говоря менее абстрактным языком, коцепи в фундаментальном смысле должны присваивать `` количества '' цепи теории гомологии.

Коллекторы

Основная статья: Многообразие

А многообразие это топологическое пространство что рядом с каждой точкой напоминает Евклидово пространство. Примеры включают самолет, то сфера, а тор, которые могут быть реализованы в трех измерениях, но также Бутылка Клейна и реальная проективная плоскость которые не могут быть реализованы в трех измерениях, но могут быть реализованы в четырех измерениях. Обычно результаты в алгебраической топологии сосредоточены на глобальных, недифференцируемых аспектах многообразий; Например Двойственность Пуанкаре.

Теория узлов

Основная статья: Теория узлов

Теория узлов это изучение математические узлы. Узел математика, вдохновленный узлами, которые появляются в повседневной жизни на шнурках и веревках, отличается тем, что концы соединены вместе, поэтому его нельзя развязать. Говоря точным математическим языком, узел - это встраивание из круг в 3-х мерном Евклидово пространство, ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$. Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ на себя (известный как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не включают разрезание нити или пропускание нити через себя.

Комплексы

Основные статьи: Симплициальный комплекс и CW комплекс

Симплициальный 3-комплекс.

А симплициальный комплекс это топологическое пространство определенного вида, построенные путем "склеивания" точки, отрезки линии, треугольники, и их п-размерные аналоги (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициальный набор появляющиеся в современной теории симплициальных гомотопий. Чисто комбинаторный аналог симплициального комплекса - это абстрактный симплициальный комплекс.

А CW комплекс является типом топологического пространства, введенным Дж. Х. К. Уайтхед для удовлетворения потребностей теория гомотопии. Этот класс пространств шире и лучше категоричный свойства чем симплициальные комплексы, но по-прежнему сохраняет комбинаторный характер, позволяющий выполнять вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).

Метод алгебраических инвариантов

Старое название предмета было комбинаторная топология, подразумевая акцент на том, как пространство X было построено из более простых^[2] (современный стандартный инструмент для такого строительства - CW комплекс ). В 1920-х и 1930-х годах все большее внимание уделялось исследованию топологических пространств путем нахождения их соответствий алгебраическим пространствам. группы, что привело к изменению названия на алгебраическую топологию.^[3] Название комбинаторной топологии все еще иногда используется, чтобы подчеркнуть алгоритмический подход, основанный на разложении пространств.^[4]

В алгебраическом подходе обнаруживается соответствие между пространствами и группы что уважает отношение гомеоморфизм (или более общий гомотопия ) пространств. Это позволяет преобразовать утверждения о топологических пространствах в утверждения о группах, которые имеют большую управляемую структуру, что часто упрощает доказательство этих утверждений. Это можно сделать двумя основными способами: фундаментальные группы, или в более общем смысле теория гомотопии, и через гомология и когомология группы. Фундаментальные группы дают нам основную информацию о структуре топологического пространства, но они часто неабелевский и работать с ними может быть сложно. Фундаментальная группа (конечной) симплициальный комплекс имеет конечный презентация.

С другой стороны, группы гомологий и когомологий абелевы и во многих важных случаях конечно порождены. Конечно порожденные абелевы группы полностью засекречены и с ними особенно легко работать.

Настройка в теории категорий

В общем, все конструкции алгебраической топологии функториальный; понятия категория, функтор и естественная трансформация возник здесь. Фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий - это не только инварианты основного топологического пространства в том смысле, что два топологических пространства, которые гомеоморфный имеют те же ассоциированные группы, но их ассоциированные морфизмы также соответствуют - непрерывное отображение пространств индуцирует групповой гомоморфизм на ассоциированных группах, и эти гомоморфизмы можно использовать, чтобы показать несуществование (или, гораздо глубже, существование) отображений.

Одним из первых математиков, которые начали работать с различными типами когомологий, был Жорж де Рам. Можно использовать дифференциальную структуру гладкие многообразия через когомологии де Рама, или же Чех или же когомологии пучков исследовать разрешимость дифференциальные уравнения определенная на рассматриваемом многообразии. Де Рам показал, что все эти подходы взаимосвязаны и что для замкнутого ориентированного многообразия числа Бетти, полученные с помощью симплициальных гомологий, были теми же числами, что и числа, полученные с помощью когомологий де Рама. Это было расширено в 1950-х годах, когда Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод обобщил этот подход. Они определили гомологии и когомологии как функторы оснащен естественные преобразования при условии соблюдения определенных аксиом (например, слабая эквивалентность пространств переходит к изоморфизму групп гомологий), проверил, что все существующие (ко) теории гомологий удовлетворяют этим аксиомам, а затем доказал, что такая аксиоматизация однозначно характеризует теорию.

Приложения алгебраической топологии

Классические приложения алгебраической топологии включают:

• В Теорема Брауэра о неподвижной точке: каждый непрерывный карта с устройства п-диск к себе имеет фиксированную точку.
• Свободный ранг п-я группа гомологий симплициальный комплекс это п-го Бетти номер, что позволяет рассчитать Характеристика Эйлера – Пуанкаре.
• Можно использовать дифференциальную структуру гладкие многообразия через когомологии де Рама, или же Чех или же когомологии пучков исследовать разрешимость дифференциальные уравнения определенная на рассматриваемом многообразии.
• Многообразие ориентируемый когда многомерная группа целочисленных гомологий - это целые числа, и неориентируемая, когда она равна 0.
• В п-сфера допускает нигде не исчезающую непрерывную единицу векторное поле если и только если п странно. (За ${displaystyle n=2}$, это иногда называют "теорема о волосатом шарике ".)
• В Теорема Борсука – Улама.: любая непрерывная карта из п-сфера в евклидову п-пространство идентифицирует по крайней мере одну пару противоположных точек.
• Любая подгруппа свободная группа бесплатно. Этот результат весьма интересен, потому что утверждение чисто алгебраическое, но самое простое из известных доказательств - топологическое. А именно любая свободная группа грамм может быть реализована как фундаментальная группа график Икс. Основная теорема о перекрытия говорит нам, что каждая подгруппа ЧАС из грамм фундаментальная группа некоторого накрывающего пространства Y из Икс; но каждый такой Y это снова граф. Следовательно, его основная группа ЧАС бесплатно. С другой стороны, этот тип приложения также проще обрабатывается за счет использования покрывающих морфизмов группоиды, и эта техника привела к теоремам о подгруппах, еще не доказанных методами алгебраической топологии; видеть Хиггинс (1971).
• Топологическая комбинаторика.

Известные алгебраические топологи

• Фрэнк Адамс
• Майкл Атья
• Энрико Бетти
• Арман Борель
• Кароль Борсук
• Луитцен Эгбертус Ян Брауэр
• Уильям Браудер
• Рональд Браун
• Анри Картан
• Альбрехт Долд
• Чарльз Эресманн
• Сэмюэл Эйленберг
• Ганс Фройденталь
• Питер Фрейд
• Пьер Габриэль
• Александр Гротендик
• Аллен Хэтчер
• Фридрих Хирцебрух
• Хайнц Хопф
• Майкл Дж. Хопкинс
• Витольд Гуревич
• Эгберт ван Кампен
• Даниэль Кан
• Герман Кюннет
• Рут Лоуренс
• Соломон Лефшец
• Жан Лере
• Saunders Mac Lane
• Марк Маховальд
• Дж. Питер Мэй
• Барри Мазур
• Джон Милнор
• Джон Коулман Мур
• Джек Морава
• Эмми Нётер
• Сергей Новиков
• Григорий Перельман
• Лев Понтрягин
• Николае Попеску
• Михаил Постников
• Дэниел Квиллен
• Жан-Пьер Серр
• Стивен Смейл
• Эдвин Спаниер
• Норман Стинрод
• Деннис Салливан
• Рене Том
• Хироши Тода
• Леопольд Виеторис
• Хасслер Уитни
• Дж. Х. К. Уайтхед
• Гордон Томас Уайберн

Важные теоремы алгебраической топологии

• Теорема Борсука – Улама.
• Теорема Брауэра о неподвижной точке
• Теорема клеточной аппроксимации
• Теорема Эйленберга – Зильбера.
• Теорема Фрейденталя о подвеске
• Теорема Гуревича
• Теорема Кюннета
• Теорема двойственности Пуанкаре
• Теорема Зейферта – ван Кампена
• Теорема об универсальном коэффициенте
• Теорема Уайтхеда

Смотрите также

Алгебраическая K-теория Точная последовательность Глоссарий алгебраической топологии Топология Гротендика Теория высших категорий Многомерная алгебра Гомологическая алгебра

K-теория Алгеброид Ли Ложь группоид Важные публикации по алгебраической топологии Спектральная последовательность Серра Пучок Топологическая квантовая теория поля

Примечания

1. Фрали (1976), п. 163)
2. Фреше, Морис; Fan, Ky (2012), Приглашение к комбинаторной топологии, Courier Dover Publications, стр. 101, ISBN  9780486147888.
3. Хенле, Майкл (1994), Комбинаторное введение в топологию, Courier Dover Publications, стр. 221, ISBN  9780486679662.
4. Спреер, Джонатан (2011), Раздутий, срезов и групп перестановок в комбинаторной топологии, Logos Verlag Berlin GmbH, стр. 23, ISBN  9783832529833.

Рекомендации

• Аллегретти, Дилан Г. Л. (2008), Симплициальные множества и теорема ван Кампена (Обсуждает обобщенные версии теоремы ван Кампена применительно к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
• Бредон, Глен Э. (1993), Топология и геометрия, Тексты для выпускников по математике, 139, Спрингер, ISBN  0-387-97926-3.
• Браун, Р. (2007), Теория многомерных групп (Дает общее представление о многомерных теоремах ван Кампена с участием нескольких группоидов).
• Brown, R .; Разак, А. (1984), "Теорема Ван Кампена для объединения несвязных пространств", Архив. Математика., 42: 85–88, Дои:10.1007 / BF01198133. "Дает общую теорему о фундаментальный группоид с набором базовых точек пространства, которое является объединением открытых множеств ".
• Brown, R .; Харди, К .; Kamps, H .; Портер, Т. (2002), "Гомотопический двойной группоид хаусдорфова пространства", Теория Appl. Категории, 10 (2): 71–93.
• Brown, R .; Хиггинс, П.Дж. (1978), "О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств", Proc. Лондонская математика. Soc., С3-36 (2): 193–212, Дои:10.1112 / плмс / с3-36.2.193. «Первая двумерная версия теоремы ван Кампена».
• Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж .; Сивера, Рафаэль (2011), Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, Европейское математическое общество, трактаты по математике, 15, Европейское математическое общество, ISBN  978-3-03719-083-8, заархивировано из оригинал на 2009-06-04 Это обеспечивает теоретико-гомотопический подход к базовой алгебраической топологии, не нуждающийся в базисе в особые гомологии, или метод симплициальной аппроксимации. Он содержит много материала по скрещенные модули.
• Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Литература: Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-01984-1
• Гринберг, Марвин Дж.; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология: первый курс, исправленное издание, Серия лекций по математике, Вествью / Персей, ISBN  9780805335576. Функториальный, алгебраический подход, первоначально разработанный Гринбергом, с геометрической приправой, добавленной Харпером.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0. Современное геометрическое введение в алгебраическую топологию.
• Хиггинс, Филип Дж. (1971), Примечания к категориям и группоидам, Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN  9780442034061
• Маундер, К. Р. Ф. (1970), Алгебраическая топология, Лондон: Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN  0-486-69131-4.
• Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология, Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество, ISBN  978-3-03719-048-7
• ван Кампен, Эгберт (1933), «О связи между фундаментальными группами некоторых родственных пространств», Американский журнал математики, 55 (1): 261–7, JSTOR  51000091
• «Теорема Ван Кампена». PlanetMath.
• "Результат теоремы Ван Кампена". PlanetMath.

дальнейшее чтение

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79160-X. и ISBN  0-521-79540-0.
• «Алгебраическая топология», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Может JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF). Издательство Чикагского университета. Получено 2008-09-27. В разделе 2.7 дается теоретико-категориальное представление теоремы как копредел в категории группоидов.