Глоссарий алгебраической топологии - Glossary of algebraic topology

Это глоссарий свойств и концепций в алгебраическая топология по математике.

Смотрите также: глоссарий топологии, список тем по алгебраической топологии, глоссарий теории категорий, глоссарий дифференциальной геометрии и топологии, Хронология многообразий.

• соглашение: На протяжении всей статьи я обозначает единичный интервал, S^п то п-сфера и D^п то п-диск. Кроме того, в статье предполагается, что пробелы разумный; это может означать, например, что пространство представляет собой комплекс CW или компактно генерируемый слабо хаусдорфово пространство. Точно так же не делается никаких попыток дать окончательное определение термина спектр. А симплициальный набор не мыслится как пространство; т.е. мы обычно различаем симплициальные множества и их геометрические реализации.
• Критерий включения: Поскольку нет глоссарий гомологической алгебры прямо сейчас в Википедии этот глоссарий также включает несколько понятий из гомологической алгебры (например, цепная гомотопия); некоторые концепции в геометрическая топология также честная игра. С другой стороны, элементы, которые появляются в глоссарий топологии обычно опускаются. Абстрактная теория гомотопии и теория мотивационной гомотопии также выходят за рамки. Глоссарий теории категорий охватывает (или будет охватывать) концепции теории категории моделей.

!$@

*

Базовая точка базируемого пространства.

${\displaystyle X_{+}}$

Для безосновательного пространства Икс, Икс₊ - базисное пространство, полученное присоединением непересекающейся базовой точки.

А

абсолютный возврат по соседству

Абстрактные

1. Абстрактная теория гомотопии.

Адамс

1.  Джон Фрэнк Адамс.

2. Программа Спектральная последовательность Адамса.

3. В Гипотеза Адамса.

4. Адамс е-инвариантный.

5. Операции Адамса.

Александр двойственность

Александр трюк

В Александр трюк создает раздел карты ограничений ${\displaystyle \operatorname {Top} (D^{n+1})\to \operatorname {Top} (S^{n})}$, Сверху обозначает группа гомеоморфизмов; а именно, сечение задается отправкой гомеоморфизма ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ к гомеоморфизму

${\displaystyle {\widetilde {f}}:D^{n+1}\to D^{n+1},\,0\mapsto 0,0\neq x\mapsto |x|f(x/|x|)}$.

Этот раздел фактически является гомотопическим обратным.^[1]

Analysis Situs

асферическое пространство

Асферическое пространство

карта сборки

Атья

1.  Майкл Атья.

2.  Дуальность Атьи.

3. В Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха.

B

барная конструкция

основанное пространство

Пара (Икс, Икс₀) состоящий из пробела Икс и точка Икс₀ в Икс.

Бетти номер

Гомоморфизм Бокштейна

Борель

Гипотеза Бореля.

Гомологии Бореля – Мура

Теорема Борсука

Ботт

1.  Рауль Ботт.

2. Программа Теорема периодичности Ботта для унитарных групп говорят: ${\displaystyle \pi _{q}U=\pi _{q+2}U,q\geq 0}$.

3. В Теорема периодичности Ботта для ортогональных групп говорят: ${\displaystyle \pi _{q}O=\pi _{q+8}O,q\geq 0}$.

Теорема Брауэра о неподвижной точке

В Теорема Брауэра о неподвижной точке говорит, что любая карта ${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$ имеет фиксированную точку.

C

крышка продукта

Когомологии Чеха

сотовый

1. Карта ƒ:Икс→Y между комплексами CW сотовый если ${\displaystyle f(X^{n})\subset Y^{n}}$ для всех п.

2. Программа клеточная аппроксимационная теорема говорит, что любое отображение между комплексами CW гомотопно сотовая карта между ними.

3. В клеточная гомология - (канонические) гомологии CW-комплекса. Обратите внимание, что это относится к комплексам CW, а не к пространствам в целом. Клеточные гомологии хорошо вычислимы; это особенно полезно для пространств с естественными клеточными разложениями, таких как проективные пространства или грассманианы.

цепная гомотопия

Данные цепные карты ${\displaystyle f,g:(C,d_{C})\to (D,d_{D})}$ между цепными комплексами модулей, a цепная гомотопия s из ж к грамм является последовательностью гомоморфизмов модулей ${\displaystyle s_{i}:C_{i}\to D_{i+1}}$ удовлетворение ${\displaystyle f_{i}-g_{i}=d_{D}\circ s_{i}+s_{i-1}\circ d_{C}}$.

карта цепи

Цепная карта ${\displaystyle f:(C,d_{C})\to (D,d_{D})}$ между цепными комплексами модулей - это последовательность гомоморфизмов модулей ${\displaystyle f_{i}:C_{i}\to D_{i}}$ который коммутирует с дифференциалами; т.е. ${\displaystyle d_{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ d_{C}}$.

цепная гомотопическая эквивалентность

Цепное отображение, являющееся изоморфизмом с точностью до цепной гомотопии; то есть, если ƒ:C→D цепное отображение, то это цепная гомотопическая эквивалентность, если существует цепное отображение грамм:D→C такой, что граммƒ и ƒграмм цепно гомотопны единичным гомоморфизмам на C и D, соответственно.

смена волокна

В смена волокна расслоения п является гомотопической эквивалентностью с точностью до гомотопии между слоями п индуцированный путем в базе.

разнообразие персонажей

В разнообразие персонажей^[2] группы π и алгебраической группы грамм (например, редуктивная комплексная группа Ли) - это фактор геометрической теории инвариантов к грамм:

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!/G}$.

характеристический класс

Пусть Vect (Икс) - множество классов изоморфизма векторных расслоений на Икс. Мы можем просмотреть ${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Vect} (X)}$ как контравариантный функтор из Вершина к Набор отправив карту ƒ:Икс → Y к откату ƒ^* вдоль него. Затем характеристический класс это естественная трансформация от Vect к функтору когомологий H^*. Явно каждому векторному расслоению E мы назначаем класс когомологий, скажем, c(E). Назначение естественно в том смысле, что ƒ^*c (E) = c (ƒ^*E).

теория хроматической гомотопии

теория хроматической гомотопии.

учебный класс

1.  Черн класс.

2.  Класс Штифеля – Уитни.

классификация пространства

Грубо говоря, классификация пространства - пространство, представляющее некоторый контравариантный функтор, определенный в категории пространств; Например, ${\displaystyle BU}$ классифицирующее пространство в смысле ${\displaystyle [-,BU]}$ это функтор ${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Vect} ^{\mathbb {R} }(X)}$ который переводит пространство в набор классов изоморфизма вещественных векторных расслоений на пространстве.

сжимая

кобарная спектральная последовательность

кобордизм

1. См. кобордизм.

2. А кольцо кобордизма кольцо, элементы которого являются классами кобордизмов.

3. См. Также теорема о h-кобордизме, теорема о s-кобордизме.

кольцо коэффициентов

Если E является кольцевым спектром, то его кольцо коэффициентов является кольцом ${\displaystyle \pi _{*}E}$.

последовательность кофайбер

Последовательность кофайбер - это любая последовательность, эквивалентная последовательности ${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}}$ для некоторых ƒ где ${\displaystyle C_{f}}$ - приведенный конус отображения of (называемый коралловым слоем).

кофибрантное приближение

кофибрация

Карта ${\displaystyle i:A\to B}$ это кофибрация если он удовлетворяет свойству: данный ${\displaystyle h_{0}:B\to X}$ и гомотопия ${\displaystyle g_{t}:A\to X}$ такой, что ${\displaystyle g_{0}=h_{0}\circ i}$, существует гомотопия ${\displaystyle h_{t}:B\to X}$ такой, что ${\displaystyle h_{t}\circ i=g_{t}}$.^[3] Кослоение инъективно и является гомеоморфизмом своего образа.

когерентная гомотопия

согласованность

Видеть когерентность (теория гомотопии)

когомотопическая группа

Для базового пространства Икс, множество гомотопических классов ${\displaystyle [X,S^{n}]}$ называется п-й когомотопическая группа из Икс.

операция когомологии

завершение

сложный бордизм

комплексно ориентированный

Мультипликативная теория когомологий E является комплексно ориентированный если карта ограничений E²(Cп^∞) → E²(Cп¹) сюръективно.

конус

В конус над пространством Икс является ${\displaystyle CX=X\times I/X\times \{0\}}$. В уменьшенный конус получается из уменьшенный цилиндр ${\displaystyle X\wedge I_{+}}$ сворачивая верх.

соединительный

Спектр E является соединительный если ${\displaystyle \pi _{q}E=0}$ для всех отрицательных целых чисел q.

конфигурационное пространство

постоянный

А постоянная связка на пространстве Икс это связка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на Икс такой, что для некоторого набора А и немного карты ${\displaystyle A\to {\mathcal {F}}(X)}$, естественная карта ${\displaystyle A\to {\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}_{x}}$ биективен для любого Икс в Икс.

непрерывный

Непрерывные когомологии.

сжимаемое пространство

Пространство стягиваемый если тождественное отображение на пространстве гомотопно постоянному отображению.

покрытие

1. Карта п: Y → Икс это покрытие или покрывающую карту, если каждая точка Икс есть район N то есть равномерно покрытый к п; это означает, что прообраз N представляет собой несвязное объединение открытых множеств, каждое из которых отображается в N гомеоморфно.

2. Это п-полосы, если каждое волокно п⁻¹(Икс) имеет ровно п элементы.

3. Это универсальный если Y просто связано.

4. Морфизм покрытия - это отображение над Икс. В частности, автоморфизм покрытия п:Y→Икс (также называемый преобразование колоды ) - это карта Y→Y над Икс что имеет обратное; т.е. гомеоморфизм над Икс.

5. А грамм-покрытие покрытие, возникающее из групповое действие на пространстве Икс группой грамм, покрывающая карта является факторной картой из Икс к орбитальное пространство X / G. Это понятие используется для утверждения универсального свойства: если Икс допускает универсальное покрытие (в частности, связное), то

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)}$ - множество классов изоморфизма грамм-покрытия.

В частности, если грамм абелева, то левая часть равна ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)=\operatorname {H} ^{1}(X;G)}$ (ср. неабелевы когомологии.)

чашка продукта

CW комплекс

А CW комплекс это пространство Икс оборудован CW структурой; т.е. фильтрация

${\displaystyle X^{0}\subset X^{1}\subset X^{2}\subset \cdots \subset X}$

такой, что (1) Икс⁰ дискретна и (2) Икс^п получается из Икс^п-1 прикрепив п-клетки.

циклическая гомология

D

преобразование колоды

Другой термин для автоморфизма покрытия.

Когомологии Делиня – Бейлинсона

Когомологии Делиня – Бейлинсона

разворот

цикл вырождения

степень

E

Аргумент Экмана – Хилтона

В Аргумент Экмана – Хилтона.

Двойственность Экмана – Хилтона

Пространства Эйленберга – Маклейна

Для абелевой группы π группа Пространства Эйленберга – Маклейна ${\displaystyle K(\pi ,n)}$ характеризуются

${\displaystyle \pi _{q}K(\pi ,n)={\begin{cases}\pi &{\text{if }}q=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$.

Аксиомы Эйленберга – Стинрода

В Аксиомы Эйленберга – Стинрода представляют собой набор аксиом, которым должна удовлетворять любая теория когомологий (сингулярная, клеточная и т. д.). Ослабление аксиом (а именно отказ от аксиомы размерности) приводит к обобщенная теория когомологий.

Теорема Эйленберга – Зильбера.

E_п-алгебра

эквивариантная алгебраическая топология

Эквивариантная алгебраическая топология это исследование пространств с (непрерывное) групповое действие.

точный

Последовательность отмеченных множеств ${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y{\overset {g}{\to }}Z}$ является точный если изображение ж совпадает с прообразом выбранной точки Z.

иссечение

В иссечение аксиома гомологии гласит: если ${\displaystyle U\subset X}$ и ${\displaystyle {\overline {U}}\subset \operatorname {int} (A)}$, то для каждого q,

${\displaystyle \operatorname {H} _{q}(X-U,A-U)\to \operatorname {H} _{q}(X,A)}$

является изоморфизмом.

эксцизивная пара / триада

F

гомология факторизации

послойная гомотопическая эквивалентность

Данный D→B, E→B, карта ƒ:D→E над B это послойная гомотопическая эквивалентность если он обратим с точностью до гомотопии над B. Основной факт в том, что если D→B, E→B расслоения, то гомотопическая эквивалентность из D к E является послойной гомотопической эквивалентностью.

расслоение

Карта п:E → B это расслоение если для любой данной гомотопии ${\displaystyle g_{t}:X\to B}$ и карта ${\displaystyle h_{0}:X\to E}$ такой, что ${\displaystyle p\circ h_{0}=g_{0}}$, существует гомотопия ${\displaystyle h_{t}:X\to E}$ такой, что ${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$. (Вышеуказанное свойство называется свойство гомотопического подъема.) Покрывающее отображение - основной пример расслоения.

последовательность расслоений

Один говорит ${\displaystyle F\to X{\overset {p}{\to }}B}$ последовательность расслоений, означающая, что п расслоение и что F гомотопически эквивалентен гомотопическому слою п, с некоторым пониманием базовых точек.

конечно доминируемый

фундаментальный класс

фундаментальная группа

В фундаментальная группа пространства Икс с базовой точкой Икс₀ - группа гомотопических классов петель в Икс₀. Это в точности первая гомотопическая группа группы (Икс, Икс₀) и, таким образом, обозначается ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

фундаментальный группоид

В фундаментальный группоид пространства Икс категория, объекты которой являются точками Икс и чьи морфизмы Икс → у - гомотопические классы путей из Икс к у; таким образом, множество всех морфизмов из объекта Икс₀ по определению является основной группой ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$.

свободный

Синоним необоснованного. Например, свободное пространство пространства Икс относится к пространству всех карт из я к Икс; т.е. ${\displaystyle X^{I}}$ в то время как пространство пути базового пространства Икс состоит из таких карт, которые сохраняют базовую точку (т. е. 0 идет в базовую точку Икс).

Теорема Фрейденталя о подвеске

Для пространства с невырожденной базой Икс, то Теорема Фрейденталя о подвеске говорит: если Икс является (п-1) -связны, то гомоморфизм надстройки

${\displaystyle \pi _{q}X\to \pi _{q+1}\Sigma X}$

биективен для q < 2п - 1 и сюръективен, если q = 2п - 1.

грамм

G-расслоение

А G-расслоение с некоторыми топологический моноид грамм. Примером является Расслоение пространства путей Мура.

Γ-пространство

обобщенная теория когомологий

А обобщенная теория когомологий является контравариантным функтором из категории пар пространств в категорию абелевых групп, удовлетворяющих всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, кроме аксиомы размерности.

гипотеза геометризации

гипотеза геометризации

род

завершение группы

группа

H-пространство Икс как говорят групповой или же группа если ${\displaystyle \pi _{0}X}$ это группа; т.е. Икс удовлетворяет групповым аксиомам с точностью до гомотопии.

Последовательность гизина

ЧАС

h-кобордизм

h-кобордизм.

Теорема Хилтона – Милнора

В Теорема Хилтона – Милнора.

H-пространство

An H-пространство это базовое пространство, которое является единичная магма вплоть до гомотопии.

гомолог

Два цикла гомологичны, если они принадлежат одному и тому же классу гомологий.

гомотопическая категория

Позволять C - подкатегория категории всех пространств. Тогда гомотопическая категория из C - категория, класс объектов которой совпадает с классом объектов C но набор морфизмов из объекта Икс к объекту у - множество гомотопических классов морфизмов из Икс к у в C. Например, отображение является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является изоморфизмом в гомотопической категории.

гомотопический копредел

гомотопия над пространством B

Гомотопия час_т так что для каждого фиксированного т, час_т карта над B.

гомотопическая эквивалентность

1. Карта ƒ:Икс→Y это гомотопическая эквивалентность если он обратим с точностью до гомотопии; то есть существует отображение g: Y→Икс такой, что грамм ∘ ƒ гомотопно тождественному отображению на Икс и ƒ ∘ грамм гомотопно тождественному отображению на Y.

2. Два пространства называются гомотопически эквивалентными, если между ними существует гомотопическая эквивалентность. Например, по определению пространство стягиваемо, если оно гомотопически эквивалентно пространству. точечное пространство.

гомотопическая теорема об удалении

В гомотопическая теорема об удалении заменяет неспособность вырезать гомотопические группы.

гомотопическое волокно

В гомотопическое волокно базируемой карты ƒ:Икс→Y, обозначаемый Fƒ, это откат ${\displaystyle PY\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$ вдоль ж.

гомотопический волокнистый продукт

Волокнистый продукт - это особый вид предел. Заменив этот предел lim на предел гомотопии холим дает гомотопический волокнистый продукт.

гомотопическая группа

1. Для базового пространства Икс, позволять ${\displaystyle \pi _{n}X=[S^{n},X]}$, множество гомотопических классов базовых отображений. потом ${\displaystyle \pi _{0}X}$ - набор компонент линейной связности Икс, ${\displaystyle \pi _{1}X}$ фундаментальная группа Икс и ${\displaystyle \pi _{n}X,\,n\geq 2}$ являются (высшими) п-й гомотопические группы из Икс.

2. Для базовых пространств ${\displaystyle A\subset X}$, то относительная гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ определяется как ${\displaystyle \pi _{n-1}}$ пространства путей, которые начинаются в базовой точке Икс и закончиться где-то в А. Эквивалентно, это ${\displaystyle \pi _{n-1}}$ гомотопического слоя ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$.

3. Если E спектр, то ${\displaystyle \pi _{k}E=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}E_{n}.}$

4. Если Икс базовое пространство, то стабильный k-я гомотопическая группа из Икс является ${\displaystyle \pi _{k}^{s}X=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}\Sigma ^{n}X}$. Другими словами, это k-я гомотопическая группа подвесного спектра Икс.

гомотопический фактор

Если грамм это Группа Ли действующий на многообразии Икс, то фактор-пространство ${\displaystyle (EG\times X)/G}$ называется гомотопический фактор (или конструкция Бореля) Икс к грамм, куда НАПРИМЕР это универсальный набор грамм.

гомотопическая спектральная последовательность

гомотопическая сфера

Хопф

1.  Хайнц Хопф.

2.  Инвариант Хопфа.

3. В Теорема Хопфа об индексе.

4.  Строительство Хопфа.

Hurewicz

В Теорема Гуревича устанавливает связь между гомотопическими группами и группами гомологий.

я

бесконечное пространство цикла

машина бесконечного цикла

бесконечный картографический телескоп

интеграция вдоль волокна

изотопия

J

J-гомоморфизм

Видеть J-гомоморфизм.

присоединиться

В присоединиться базируемых пространств Икс, Y является ${\displaystyle X\star Y=\Sigma (X\wedge Y).}$

K

k-инвариантный

Кан комплекс

Видеть Кан комплекс.

Инвариант Кервера

В Инвариант Кервера.

Кошульская двойственность

Кошульская двойственность.

Формула Кюннета

L

Lazard кольцо

В Lazard кольцо L (огромное) коммутативное кольцо вместе с формальный групповой закон универсальный среди всех формальных групповых законов в том смысле, что любой формальный групповой закон грамм над коммутативным кольцом р получается через гомоморфизм колец L → р отображение ƒ на грамм. Согласно теореме Квиллена, это также кольцо коэффициентов сложный бордизм MU. В Спецификация из L называется пространство модулей формальных групповых законов.

Теорема Лефшеца о неподвижной точке

В Теорема Лефшеца о неподвижной точке говорит: учитывая конечный симплициальный комплекс K и его геометрическая реализация Икс, если карта ${\displaystyle f:X\to X}$ не имеет неподвижной точки, то число Лефшеца ж; то есть,

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }(-1)^{q}\operatorname {tr} (f_{*}:\operatorname {H} _{q}(X)\to \operatorname {H} _{q}(X))}$

равно нулю. Например, это подразумевает Теорема Брауэра о неподвижной точке поскольку число Лефшеца ${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$ равна единице при исчезновении высших гомологий.

пространство объектива

В пространство объектива факторпространство ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n}||z|=1\}/\mu _{p}}$ куда ${\displaystyle \mu _{p}}$ это группа п-корней из единицы, действующий на единичную сферу ${\displaystyle \zeta \cdot (z_{1},\dots ,z_{n})=(\zeta z_{1},\dots ,\zeta z_{n})}$.

Спектральная последовательность Лере

местный коэффициент

1. Модуль над групповое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}B]}$ для некоторого базового пространства B; другими словами, абелева группа вместе с гомоморфизмом ${\displaystyle \pi _{1}B\to \operatorname {Aut} (A)}$.

2. Программа система местных коэффициентов над базовым пространством B с абелевой группой А расслоение над B с дискретным волокном А. Если B допускает универсальное покрытие ${\displaystyle {\widetilde {B}}}$, то этот смысл совпадает со значением 1. в том смысле, что любая локальная система коэффициентов над B можно представить как связанный пакет ${\displaystyle {\widetilde {B}}\times _{\pi _{1}B}A}$.

местная сфера

Локализация сферы в некотором простом числе

локализация

локально постоянный пучок

А локально постоянный пучок на пространстве Икс пучок такой, что каждая точка Икс есть открытая окрестность, в которой пучок постоянный.

пространство петли

В пространство петли ${\displaystyle \Omega X}$ базового пространства Икс это пространство всех циклов, начинающихся и заканчивающихся в базовой точке Икс.

M

Теорема Мадсена – Вейсса

отображение

1.  

Конус отображения отображения ƒ:Икс→Y получается приклеиванием конуса к Икс к Y.

В картографический конус (или кофайбер) карты ƒ:Икс→Y является ${\displaystyle C_{f}=Y\cup _{f}CX}$.

2. Программа картографический цилиндр карты ƒ:Икс→Y является ${\displaystyle M_{f}=Y\cup _{f}(X\times I)}$. Примечание: ${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$.

3. Уменьшенные версии вышеупомянутого получены за счет использования уменьшенного конуса и уменьшенного цилиндра.

4. отображение пространства пути п_п карты п:E→B это откат ${\displaystyle B^{I}\to B}$ вдоль п. Если п расслоение, то естественное отображение E→п_п это послойная гомотопическая эквивалентность; таким образом, грубо говоря, можно заменить E пространством путей отображения без изменения гомотопического типа слоя.

Последовательность Майера – Виеториса

категория модели

Презентация ∞-категория.^[4] Смотрите также категория модели.

Пространство Мура

мультипликативный

А обобщенная теория когомологий E мультипликативен, если E^*(Икс) это градуированное кольцо. Например, обычная теория когомологий и комплексная K-теории мультипликативны (фактически, теории когомологий, определяемые E_∞-кольца мультипликативны.)

N

п-клетка

Еще один термин для п-диск.

п-связаны

Основанное пространство Икс является п-связаны если ${\displaystyle \pi _{q}X=0}$ для всех целых чисел q ≤ п. Например, "1-связное" - то же самое, что "односвязный ".

п-эквивалент

NDR-пара

Пара пробелов ${\displaystyle A\subset X}$ считается NDR-пара (= пара отвода деформации окрестности), если есть карта ${\displaystyle u:X\to I}$ и гомотопия ${\displaystyle h_{t}:X\to X}$ такой, что ${\displaystyle A=u^{-1}(0)}$, ${\displaystyle h_{0}=\operatorname {id} _{X}}$, ${\displaystyle h_{t}|_{A}=\operatorname {id} _{A}}$ и ${\displaystyle h_{1}(\{x|u(x)<1\})\subset A}$.
Если А является замкнутым подпространством в Икс, то пара ${\displaystyle A\subset X}$ является NDR-парой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$ это кофибрация.

нильпотентный

1.  нильпотентное пространство; например, односвязное пространство нильпотентно.

2. Программа нильпотентная теорема.

неабелевский

1.  неабелевы когомологии

2.  неабелева алгебраическая топология

нормализованный

Учитывая симплициальная группа грамм, то нормализованный цепной комплекс NG из грамм дан кем-то ${\displaystyle (NG)_{n}=\cap _{1}^{\infty }\operatorname {ker} d_{i}^{n}}$ с п-й дифференциал, определяемый ${\displaystyle d_{0}^{n}}$; интуитивно выбрасываются вырожденные цепи.^[5] Его еще называют Комплекс Мура.

О

обструктивный коцикл

теория препятствий

Теория препятствий представляет собой набор конструкций и вычислений, указывающих, когда некоторое отображение на подмногообразии (подкомплексе) можно или нельзя продолжить до полного многообразия. Обычно они включают Постникова башня, убийство гомотопических групп, обструктивные коциклы, так далее.

конечного типа

Комплекс CW имеет конечный тип, если в каждом измерении есть только конечное число клеток.

операда

Портмоне «операций» и «монады». Видеть операда.

категория орбиты

ориентация

1. В ориентационное покрытие (или ориентационное двойное покрытие) коллектора представляет собой двухслойное покрытие, так что каждое волокно над Икс соответствует двум различным способам ориентирования окрестности Икс.

2. An ориентация многообразия - участок ориентировочного покрытия; т. е. последовательный выбор точки в каждом слое.

3. An ориентировочный характер (также называется первым Класс Штифеля – Уитни ) - гомоморфизм групп ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\to \{\pm 1\}}$ что соответствует ориентационному покрытию многообразия Икс (ср. #covering.)

4. См. Также ориентация векторного расслоения а также ориентационный пучок.

п

п-адическая гомотопическая теория

В п-адическая гомотопическая теория.

класс пути

Класс эквивалентности путей (два пути эквивалентны, если они гомотопны друг другу).

подъем пути

А функция подъема пути для карты п: E → B это раздел ${\displaystyle E^{I}\to P_{p}}$ куда ${\displaystyle P_{p}}$ это отображение пространства пути из п. Например, покрытие - это расслоение с уникальной функцией подъема пути. С формальной точки зрения карта является расслоением тогда и только тогда, когда для нее существует функция подъема пути.

пространство пути

В пространство пути базового пространства Икс является ${\displaystyle PX=\operatorname {Map} (I,X)}$, пространство базовых карт, где базовая точка я равно 0. Иными словами, это (теоретико-множественный) слой ${\displaystyle X^{I}\to X,\,\chi \mapsto \chi (0)}$ над базовой точкой Икс. Проекция ${\displaystyle PX\to X,\,\chi \mapsto \chi (1)}$ называется расслоение пространства путей, слой которого над базовой точкой Икс это пространство петли ${\displaystyle \Omega X}$. Смотрите также отображение пространства пути.

фантомная карта

Пуанкаре

1. В Теорема двойственности Пуанкаре говорит: учитывая многообразие M измерения п и абелева группа А, существует естественный изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {H} _{c}^{*}(M;A)\simeq \operatorname {H} _{n-*}(M;A)}$.

2.  Гипотеза Пуанкаре

Конструкция Понтрягина – Тома.

Система Постникова

А Система Постникова - последовательность расслоений, такая что все предыдущие многообразия гомотопические группы ниже заданного измерения.

главное расслоение

Обычно синоним грамм-фибрация.

проклятый

теория проконечной гомотопии; это изучает бесконечные пространства.

правильно прерывистый

Не особо точный термин. Но это могло означать, например, что грамм дискретна и каждая точка грамм-пространство имеет окрестность V так что для каждого грамм в грамм это не элемент идентичности, gV пересекает V в конечном числе точек.

откат

Учитывая карту п:E→B, то откат из п вдоль ƒ:Икс→B это пространство ${\displaystyle f^{*}E=\{(e,x)\in E\times X|p(e)=f(x)\}}$ (кратко это эквалайзер из п и ж). Это пространство над Икс через проекцию.

Последовательность кукол

В Последовательность кукол относится к любой из последовательностей

${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \cdots ,}$

${\displaystyle \cdots \to \Omega X\to \Omega Y\to F_{f}\to X{\overset {f}{\to }}Y}$

куда ${\displaystyle C_{f},F_{f}}$ являются гомотопическим кофеволокном и гомотопическим слоем ж.

выталкивание

Данный ${\displaystyle A\subset B}$ и карта ${\displaystyle f:A\to X}$, то выталкивание из Икс и B вдоль ж является

${\displaystyle X\cup _{f}B=X\sqcup B/(a\sim f(a))}$;

то есть Икс и B склеены вместе А через ж. Карта ж обычно называется прикрепляемой картой.

Важный пример - когда B = D^п, А = S^п-1; в этом случае формирование такого выталкивателя называется прикреплением п-cell (имеется в виду п-disk) в Икс.

Q

квази-расслоение

А квази-расслоение отображение такое, что слои гомотопически эквивалентны друг другу.

Quillen

1.  Дэниел Квиллен

2. Теорема Квиллена гласит, что ${\displaystyle \pi _{*}MU}$ это Lazard кольцо.

р

рациональный

1. В теория рациональной гомотопии.

2. Программа рационализация пространства Икс это, грубо говоря, локализация из Икс на нуле. Точнее, Икс₀ вместе с j: Икс → Икс₀ это рационализация Икс если карта ${\displaystyle \pi _{*}X\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} }$ индуцированный j является изоморфизмом векторных пространств и ${\displaystyle \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} \simeq \pi _{*}X_{0}}$.

3. В рациональный гомотопический тип из Икс является слабым гомотопическим типом Икс₀.

регулятор

1.  Регулятор Бореля.

2.  Регулятор Бейлинсона.

Рейдемейстер

Кручение Рейдемейстера.

уменьшенный

В уменьшенная подвеска базового пространства Икс это потрясающий продукт ${\displaystyle \Sigma X=X\wedge S^{1}}$. Это связано с функтор цикла к ${\displaystyle \operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y)}$ куда ${\displaystyle \Omega Y=\operatorname {Map} (S^{1},Y)}$ это пространство петель.

кольцевой спектр

А кольцевой спектр - это спектр, удовлетворяющий аксиомам кольца либо на носу, либо с точностью до гомотопии. Например, комплексная K-теория - кольцевой спектр.

S

Самельсон продукт

Серр

1.  Жан-Пьер Серр.

2.  Серр класс.

3.  Спектральная последовательность Серра.

просто

простая гомотопическая эквивалентность

Карта ƒ:Икс→Y между конечными симплициальными комплексами (например, многообразиями) является простая гомотопическая эквивалентность если он гомотопен композиции конечного числа элементарные расширения и элементарный коллапс. Гомотопическая эквивалентность является простой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда ее Кручение белой головки исчезает.

симплициальное приближение

Видеть симплициальная аппроксимационная теорема.

симплициальный комплекс

Видеть симплициальный комплекс; основной пример - триангуляция многообразия.

симплициальные гомологии

А симплициальные гомологии - (канонические) гомологии симплициального комплекса. Обратите внимание, что это относится к симплициальным комплексам, а не к пространствам; ср. # особая гомология.

сигнатурный инвариант

единственное число

1. Учитывая пространство Икс и абелевой группы π группа особых гомологий из Икс с коэффициентами в π является

${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(X;\pi )=\operatorname {H} _{*}(C_{*}(X)\otimes \pi )}$

куда ${\displaystyle C_{*}(X)}$ это особый цепной комплекс из Икс; т.е. пКусок -й степени - это свободная абелева группа, порожденная всеми отображениями ${\displaystyle \triangle ^{n}\to X}$ из стандарта п-просто для Икс. Особые гомологии - это частный случай симплициальные гомологии; действительно, для каждого места Икс, Здесь сингулярный симплициальный комплекс из Икс ^[6] чьи гомологии являются сингулярными гомологиями Икс.

2. Программа функтор сингулярных симплексов это функтор ${\displaystyle \mathbf {Top} \to s\mathbf {Set} }$ из категории всех пространств в категорию симплициальных множеств, то есть правого сопряженного к Функтор геометрической реализации.

3. В сингулярный симплициальный комплекс пространства Икс это нормализованный цепной комплекс особого симплекса Икс.

наклонный продукт

аргумент малого объекта

разбить продукт

В разбить продукт базируемых пространств Икс, Y является ${\displaystyle X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y}$. Он характеризуется сопряженным соотношением

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$.

Спаниер – Уайтхед

В Двойственность Спаниера – Уайтхеда.

спектр

Примерно последовательность пространств вместе с отображениями (называемыми структурными картами) между последовательными терминами; видеть спектр (топология).

связка сфер

А связка сфер представляет собой пучок волокон, слои которого представляют собой сферы.

сферический спектр

В сферический спектр - спектр, состоящий из последовательности сфер ${\displaystyle S^{0},S^{1},S^{2},S^{3},\dots }$ вместе с картами между сферами, заданными подвесами. Короче говоря, это спектр подвески из ${\displaystyle S^{0}}$.

стабильная гомотопическая группа

Видеть # гомотопическая группа.

Гомологии Стинрода

Гомологии Стинрода.

Операция Стинрода

Салливан

1.  Деннис Салливан.

2. Программа Гипотеза Салливана.

3.  Бесконечно малые вычисления в топологии, 1977 - представляет теория рациональной гомотопии (вместе с бумагой Квиллена).

4. Салливана алгебра в теории рациональной гомотопии.

спектр подвески

В спектр подвески базового пространства Икс спектр, задаваемый ${\displaystyle X_{n}=\Sigma ^{n}X}$.

симметричный спектр

Видеть симметричный спектр.

Т

Том

1.  Рене Том.

2. Если E - векторное расслоение на паракомпакте Икс, то Пространство Тома ${\displaystyle {\text{Th}}(E)}$ из E получается путем сначала замены каждого волокна его компактификацией, а затем схлопывания основания Икс.

3. В Изоморфизм Тома говорит: для каждого ориентируемое векторное расслоение E ранга п на коллекторе Икс, выбор ориентации ( Том класс из E) индуцирует изоморфизм

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {H} }}^{*+n}({\text{Th}}(E);\mathbb {Z} )\simeq \operatorname {H} ^{*}(X;\mathbb {Z} )}$.

топологические киральные гомологии

передача

нарушение

U

универсальный коэффициент

В теорема об универсальном коэффициенте.

до гомотопии

Утверждение выполняется в гомотопическая категория в отличие от категории пространств.

V

ван Кампен

В теорема ван Кампена говорит: если пробел Икс линейно связно и если Икс₀ это точка в Икс, тогда

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\varinjlim \pi _{1}(U,x_{0})}$

где копредел пробегает какую-то открытую крышку Икс состоящий из линейно связанных открытых подмножеств, содержащих Икс₀ такое, что крышка замкнута относительно конечных пересечений.

W

Вальдхаузен S-конструкция

Вальдхаузен S-конструкция.

Препятствие конечности стены

слабая эквивалентность

Карта ƒ:Икс→Y базовых пространств - это слабая эквивалентность если для каждого q, индуцированное отображение ${\displaystyle f_{*}:\pi _{q}X\to \pi _{q}Y}$ биективен.

клин

Для базовых пространств Икс, Y, то клин ${\displaystyle X\wedge Y}$ из Икс и Y это сопродукт из Икс и Y; конкретно, это получается путем их несвязного объединения и последующего определения соответствующих базовых точек.

хорошо указал

Основанное пространство хорошо указал (или с невырожденной базой), если включение базовой точки является кофибрированием.

Уайтхед

1.  Дж. Х. К. Уайтхед.

2.  Теорема Уайтхеда говорит, что для Комплексы CW, то гомотопическая эквивалентность это то же самое, что и слабая эквивалентность.

3.  Группа Уайтхеда.

4.  Продукт от белых угрей.

номер намотки

Примечания

1. Позволять р, s обозначают ограничение и сечение. Для каждого ж в ${\displaystyle \operatorname {Top} (D^{n+1})}$, определять ${\displaystyle h_{t}(f)(x)=tf(x/t),|x|\leq t,h_{t}(f)(x)=|x|f(x/|x|),|x|>t}$. потом ${\displaystyle h_{t}:s\circ r\sim \operatorname {id} }$.
2. Несмотря на название, это не может быть алгебраическое многообразие в строгом смысле; например, он не может быть несводимым. Кроме того, без некоторого предположения о конечности грамм, это всего лишь схема.
3. Хэтчер, Гл. 4. Х.
4. Как относиться к категориям моделей?
5. https://ncatlab.org/nlab/show/Moore+complex
6. http://ncatlab.org/nlab/show/singular+simplicial+complex

Рекомендации

• Адамс, Дж. Ф. (1974). Стабильная гомотопия и обобщенные гомологии. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-00524-9.
• Адамс, Дж. Ф. (1978). Бесконечные петли. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08206-5.
• Ботт, Рауль; Ту, Лоринг (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии, Спрингер, ISBN  0-387-90613-4
• Bousfield, A.K .; Кан, Д. М. (1987), Пределы гомотопии, пополнения и локализации, Конспект лекций по математике, 304, Спрингер, ISBN  9783540061052
• Дэвис, Джеймс Ф .; Кирк, Пол. «Конспект лекций по алгебраической топологии» (PDF).
• Фултон, Уильям (2013). Алгебраическая топология: первый курс. Springer. ISBN  978-1-4612-4180-5.
• Хэтчер, Аллен. «Алгебраическая топология».
• Гесс, Кэтрин (28 апреля 2006 г.). «Рациональная теория гомотопий: краткое введение». arXiv:математика / 0604626. Bibcode:2006математика ...... 4626H.
• "алгебраическая топология" (PDF). Осень 2010 г. Лекции Майкла Хопкинса и заметки Ахила Мэтью, Гарвард.
• Лурье, Дж. (2015). «Алгебраическая K-теория и топология многообразий». Математика 281. Гарвардский университет.
• Лурье, Дж. (2011). "Теория хроматической гомотопии". 252x. Гарвардский университет.
• Мэй, Дж. «Краткий курс алгебраической топологии» (PDF).
• May, J .; Понто, К. «Более краткая алгебраическая топология: категории локализации, завершения и модели» (PDF).
• Май; Сигурдссон. "Параметризованная теория гомотопий" (PDF). (несмотря на название, он содержит значительное количество общих результатов.)
• Салливан, Деннис. «Геометрическая топология» (PDF). примечания MIT 1970 года
• Уайтхед, Джордж Уильям (1978). Элементы теории гомотопии. Тексты для выпускников по математике. 61 (3-е изд.). Springer-Verlag. С. xxi + 744. ISBN  978-0-387-90336-1. МИСТЕР  0516508.
• Викельгрен, Кирстен Грэм. "8803 Стабильная теория гомотопии".

дальнейшее чтение

• Хосе И. Бургос Хиль, Регуляторы Бейлинсона и Бореля

внешняя ссылка

• Алгебраическая топология: справочник по литературе