Клеточная гомология - Cellular homology

В математика, клеточная гомология в алгебраическая топология это теория гомологии для категории CW-комплексы. Согласен с особые гомологии, и может предоставить эффективные средства вычисления модулей гомологии.

Определение

Если ${\displaystyle X}$ CW-комплекс с п-скелет ${\displaystyle X_{n}}$, модули клеточных гомологий определяются как группы гомологии ЧАС_я сотового цепной комплекс

${\displaystyle \cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,}$

куда ${\displaystyle X_{-1}}$ принимается пустое множество.

Группа

${\displaystyle {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})}$

является свободный абелевский, с генераторами, которые можно отождествить с ${\displaystyle n}$-элементы ${\displaystyle X}$. Позволять ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ быть ${\displaystyle n}$-ячейка ${\displaystyle X}$, и разреши ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}}$ быть прикрепленной картой. Затем рассмотрим композицию

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},}$

где первая карта определяет ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ с ${\displaystyle \partial e_{n}^{\alpha }}$ через характеристическую карту ${\displaystyle \Phi _{n}^{\alpha }}$ из ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$, предмет ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ является ${\displaystyle (n-1)}$-ячейка Икс, третья карта ${\displaystyle q}$ это фактор-карта, которая сворачивается ${\displaystyle X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }}$ до точки (таким образом оборачивая ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ в сферу ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$), а последняя карта определяет ${\displaystyle X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)}$ с ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ через характеристическую карту ${\displaystyle \Phi _{n-1}^{\beta }}$ из ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$.

В карта границ

${\displaystyle \partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

тогда дается формулой

${\displaystyle {\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },}$

куда ${\displaystyle \deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)}$ это степень из ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$ и сумма берется по всем ${\displaystyle (n-1)}$-элементы ${\displaystyle X}$, рассматриваемые как генераторы ${\displaystyle {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$.

Пример

В п-мерная сфера S^п допускает структуру CW с двумя ячейками, одной 0-ячейкой и одной п-клетка. Здесь п-cell прикреплен постоянным отображением из ${\displaystyle S^{n-1}}$ в 0-ячейку. Поскольку образующие групп клеточных цепей ${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})}$ можно отождествить с k-элементы S^пу нас есть это ${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z} }$ за ${\displaystyle k=0,n,}$ и в остальном тривиален.

Следовательно, для ${\displaystyle n>1}$, результирующий цепной комплекс равен

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,}$

но тогда, поскольку все граничные отображения либо в тривиальные группы, либо из них, все они должны быть нулевыми, что означает, что группы клеточных гомологий равны

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Когда ${\displaystyle n=1}$, нетрудно убедиться, что отображение границы ${\displaystyle \partial _{1}}$ равен нулю, что означает, что приведенная выше формула верна для всех положительных ${\displaystyle n}$.

Как показывает этот пример, вычисления, выполненные с использованием клеточных гомологий, часто более эффективны, чем вычисления с использованием только сингулярных гомологий.

Другие свойства

Из комплекса клеточной цепи видно, что ${\displaystyle n}$-скелет определяет все модули гомологии меньшей размерности:

${\displaystyle {H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})}$

за ${\displaystyle k<n}$.

Важным следствием этой клеточной перспективы является то, что если CW-комплекс не имеет ячеек в последовательных измерениях, то все его модули гомологии свободны. Например, сложное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ имеет ячеистую структуру с одной ячейкой в ​​каждом четном измерении; следует, что для ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$,

${\displaystyle {H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

и

${\displaystyle {H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.}$

Обобщение

В Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха аналогичный метод вычисления (ко) гомологий CW-комплекса для произвольного экстраординарная теория (ко) гомологии.

Эйлерова характеристика

Для клеточного комплекса ${\displaystyle X}$, позволять ${\displaystyle X_{j}}$ быть его ${\displaystyle j}$-й скелет, и ${\displaystyle c_{j}}$ быть числом ${\displaystyle j}$-клеток, т. е. ранг свободного модуля ${\displaystyle {C_{j}}(X_{j},X_{j-1})}$. В Эйлерова характеристика из ${\displaystyle X}$ тогда определяется как

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Эйлерова характеристика - гомотопический инвариант. Фактически, с точки зрения Бетти числа из ${\displaystyle X}$,

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).}$

Это можно обосновать следующим образом. Рассмотрим длинную точную последовательность относительная гомология для тройки ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1},\varnothing )}$:

${\displaystyle \cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .}$

Погоня за точностью в последовательности дает

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).}$

Тот же расчет применяется к тройкам ${\displaystyle (X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )}$, ${\displaystyle (X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )}$и т. д. По индукции

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Рекомендации

• Альбрехт Долд: Лекции по алгебраической топологии, Springer ISBN  3-540-58660-1.
• Аллен Хэтчер: Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета ISBN  978-0-521-79540-1. Бесплатная электронная версия доступна на сайте домашняя страница автора.