Аргумент Экмана – Хилтона - Eckmann–Hilton argument

По поводу понятия двойственности в алгебраической топологии см. Двойственность Экмана – Хилтона.

В математика, то Аргумент Экмана – Хилтона (или же Принцип Экмана – Хилтона или же Теорема Экмана – Хилтона) является аргумент около двух единичная магма структуры на набор где один гомоморфизм для другого. Учитывая это, можно показать, что структуры совпадают, и в результате магма продемонстрировал, чтобы быть коммутативный моноид. Затем это можно использовать для доказательства коммутативности высших гомотопические группы. Принцип назван в честь Бено Экманн и Питер Хилтон, который использовал его в статье 1962 года.

Результат Экмана – Хилтона

Позволять ${\displaystyle X}$ быть набор, оснащенный двумя бинарные операции, который мы напишем ${\displaystyle \circ }$ и ${\displaystyle \otimes }$, и предположим:

1. ${\displaystyle \circ }$ и ${\displaystyle \otimes }$ оба единый, что означает наличие элементов ${\displaystyle 1_{\circ }}$ и ${\displaystyle 1_{\otimes }}$ из ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle 1_{\circ }\circ a=a=a\circ 1_{\circ }}$ и ${\displaystyle 1_{\otimes }\otimes a=a=a\otimes 1_{\otimes }}$, для всех ${\displaystyle a\in X}$.
   
2. ${\displaystyle (a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)}$ для всех ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$.

потом ${\displaystyle \circ }$ и ${\displaystyle \otimes }$ одинаковы и фактически коммутативны и ассоциативны.

Замечания

Операции ${\displaystyle \otimes }$ и ${\displaystyle \circ }$ часто упоминаются как моноид структур или умножений, но это предполагает, что они предполагаются ассоциативными, а это свойство не требуется для доказательства. Собственно, ассоциативность следует. Точно так же нам не нужно требовать, чтобы две операции имели один и тот же нейтральный элемент; это следствие.

Доказательство

Во-первых, обратите внимание, что единицы этих двух операций совпадают:${\displaystyle 1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }}$.

Теперь позвольте ${\displaystyle a,b\in X}$.Потом ${\displaystyle a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a}$. Это устанавливает, что две операции совпадают и коммутативны.

Для ассоциативности ${\displaystyle (a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)}$.

Двумерное доказательство

Вышеупомянутое доказательство также имеет "двумерное" представление, которое лучше иллюстрирует приложение для более высоких гомотопические группы Для этого варианта доказательства мы записываем две операции как вертикальное и горизонтальное сопоставление, т. Е. ${\displaystyle {\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}}$ и ${\displaystyle a\ b}$. Тогда свойство взаимозаменяемости можно выразить следующим образом:

Для всех ${\displaystyle a,b,c,d\in X}$, ${\displaystyle {\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt](c\ d)\end{matrix}}={\begin{pmatrix}a\\[-60pt]c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\[-60pt]d\end{pmatrix}}}$, поэтому мы можем написать${\displaystyle {\begin{matrix}a\ b\\[-60pt]c\ d\end{matrix}}}$ без двусмысленности.

Позволять ${\displaystyle \bullet }$ и ${\displaystyle \circ }$ быть единицами для вертикальной и горизонтальной композиции соответственно. потом ${\displaystyle \bullet ={\begin{matrix}\bullet \\[-60pt]\bullet \end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ \circ \\[-60pt]\circ \ \ \bullet \end{matrix}}=\circ \ \circ =\circ }$, поэтому оба модуля равны.

Теперь для всех ${\displaystyle a,b\in X}$, ${\displaystyle a\ b={\begin{matrix}a\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ b\end{matrix}}={\begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix}}={\begin{matrix}\bullet \ \ a\\[-60pt]b\ \ \bullet \end{matrix}}=b\ a={\begin{matrix}b\ \ \bullet \\[-60pt]\bullet \ \ a\end{matrix}}={\begin{matrix}b\\[-60pt]a\end{matrix}}}$, поэтому горизонтальная композиция совпадает с вертикальной, и обе операции коммутативны.

Наконец, для всех ${\displaystyle a,b,c\in X}$,${\displaystyle a\ (b\ c)=a\ {\begin{pmatrix}b\\[-60pt]c\end{pmatrix}}={\begin{matrix}a\ \ b\\[-60pt]\bullet \ \ c\end{matrix}}={\begin{matrix}(a\ b)\\[-60pt]c\end{matrix}}=(a\ b)\ c}$, поэтому композиция ассоциативна.

Замечания

Если операции ассоциативны, каждая из них определяет структуру моноида на ${\displaystyle X}$, а приведенные выше условия эквивалентны более абстрактному условию, что ${\displaystyle \otimes }$ является гомоморфизмом моноида ${\displaystyle (X,\circ )\times (X,\circ )\to (X,\circ )}$ (или наоборот). Еще более абстрактный способ сформулировать теорему: если ${\displaystyle X}$ это моноидный объект в категория моноидов, тогда ${\displaystyle X}$ на самом деле коммутативный моноид.

Важно, что подобный аргумент НЕ дает такой тривиальный результат в случае моноидных объектов в категориях малых категорий или группоидов. Вместо этого понятие группового объекта в категории группоиды оказывается эквивалентным понятию скрещенный модуль. Это приводит к идее использования нескольких группоидных объектов в теории гомотопии.

В более общем смысле аргумент Экмана – Хилтона представляет собой частный случай использования закон обмена в теории (строгих) двойных и кратных категорий. А (строгий) двойная категория представляет собой набор или класс, снабженный двумя структурами категорий, каждая из которых является морфизмом другой структуры. Если сочинения в двух структурах категорий написаны ${\displaystyle \circ ,\otimes }$ тогда закон обмена гласит

${\displaystyle (a\circ b)\otimes (c\circ d)=(a\otimes c)\circ (b\otimes d)}$

всякий раз, когда определены обе стороны. Пример его использования и некоторые обсуждения см. В статье Хиггинса, на которую ссылаются ниже. Закон обмена означает, что двойная категория содержит семейство абелевых моноидов.

История в отношении гомотопические группы Интересно. Специалисты по топологии начала 20 века знали, что неабелевский фундаментальная группа пригодился в геометрии и анализе; этот абелевский группы гомологии может быть определен во всех измерениях; и что для связного пространства первой группой гомологий была фундаментальная группа сделал абелевский. Поэтому возникло желание обобщить неабелеву фундаментальную группу на все измерения.

В 1932 г. Эдуард Чех представил доклад на высшее гомотопические группы на Международный математический конгресс в Цюрихе. Тем не мение, Павел Александров и Хайнц Хопф быстро доказал, что эти группы абелевы для ${\displaystyle n>1}$, и на этом основании убедил Чеха отозвать свою статью, так что в Труды. Он сказал, что Витольд Гуревич присутствовал на этой конференции, и его первая работа о высших гомотопических группах появилась в 1935 году.^{[нужна цитата ]} Таким образом, мечты первых топологов долгое время считались миражом.^{[нужна цитата ]}

Кубические высшие гомотопические группоиды построены для фильтрованных пространств в книге Неабелева алгебраическая топология цитируемый ниже, который развивает базовую алгебраическую топологию, включая более высокие аналоги Теорема Зейферта – ван Кампена, без использования особые гомологии или симплициальное приближение.

Рекомендации

• Джон Баэз: принцип Экмана – Хилтона (неделя 89)
• Джон Баэз: принцип Экмана – Хилтона (неделя 100)
• Eckmann, B .; Хилтон, П. Дж. (1962), "Групповые структуры в общих категориях. I. Умножения и коумножения", Mathematische Annalen, 145 (3): 227–255, Дои:10.1007 / bf01451367, Г-Н  0136642.
• Hurewicz, W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen, Nederl. Акад. Wetensch. Proc. Сер. А, 38, стр. 112–119, 521–528.
• Коричневый, Р.; Хиггинс, П. Дж .; Сивера, Р. (2011), Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, Европейское математическое общество Трактаты по математике, 15, п. 703, г. arXiv:математика / 0407275, Г-Н  2841564.
• Хиггинс, П. Дж. (2005), «Тонкие элементы и коммутативные оболочки в кубических $ omega $ -категориях», Теория и применение категорий, 14: 60–74, Г-Н  2122826.
• Джеймс, I.M. (1999), История топологии, Северная Голландия
• Мюррей Бремнер и Сара Мадариага. (2014) Перестановка элементов в двойных полугруппах

внешняя ссылка

• Евгения Ченг из видеокоманды «Кошки» объясняет аргумент Экманна – Хилтона.
• Теория многомерных групп