Бинарная операция - Binary operation

Бинарная операция

{displaystyle circ}

вычисление, объединяющее аргументы

Икс

и

у

к

{displaystyle xcirc y}

В математика, а бинарная операция или же диадическая операция вычисление, объединяющее два элемента (называемых операнды ) для создания другого элемента. Более формально бинарная операция - это операция из арность два.

В частности, двоичная операция на набор это операция, два домены и codomain тот же набор. Примеры включают знакомые арифметические операции из добавление, вычитание, умножение. Другие примеры легко найти в различных областях математики, например векторное сложение, матричное умножение и спряжение в группах.

Операция арности два, которая включает несколько множеств, иногда также называется бинарная операция. Например, скалярное умножение из векторные пространства принимает скаляр и вектор для создания вектора, и скалярное произведение требуется два вектора для создания скаляра. Такие бинарные операции можно назвать просто бинарные функции.

Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства алгебраические структуры, которые изучаются в алгебра, в частности в полугруппы, моноиды, группы, кольца, поля, и векторные пространства.

Терминология

Точнее, бинарная операция над набор S это отображение элементов Декартово произведение $S \times S$ к S:^[1]^[2]^[3]

{displaystyle, fcolon S imes Sightarrow S.}

Поскольку результат выполнения операции над парой элементов S снова является элементом S, операция называется закрыто (или же внутренний) бинарная операция на S (или иногда выражается как наличие собственности закрытие ).^[4] Если ж это не функция, но вместо этого частичная функция, это называется частичная бинарная операция. Например, разделение действительные числа это частичная бинарная операция, потому что нельзя делить на ноль: а/ 0 не определено ни для каких реальных а. Однако как в универсальная алгебра и теория моделей рассматриваемые бинарные операции определены на всех $S \times S$ .

Иногда, особенно в Информатика, термин используется для любых двоичная функция.

Свойства и примеры

Типичными примерами бинарных операций являются добавление (+) и умножение (×) из числа и матрицы а также состав функций на одном комплекте. Например,

О множестве действительных чисел р, $ж (а, б) = а + б$ является бинарной операцией, поскольку сумма двух действительных чисел является действительным числом.
О множестве натуральных чисел N, $ж (а, б) = а + б$ является бинарной операцией, поскольку сумма двух натуральных чисел является натуральным числом. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
На множестве M (2,р) из $2 \times 2$ матрицы с действительными записями, $ж (А, B) = А + B$ является бинарной операцией, так как сумма двух таких матриц равна $2 \times 2$ матрица.
На множестве M (2,р) из $2 \times 2$ матрицы с действительными записями, $ж (А, B) = AB$ является бинарной операцией, так как произведение двух таких матриц есть $2 \times 2$ матрица.
Для данного набора C, позволять S быть набором всех функций $час : C \to C$ . Определять $ж : S \times S \to S$ к $ж (час 1, час 2)(c) = (час 1 \circ час 2) (c) = час 1 (час 2 (c))$ для всех $c \in C$ , композиция двух функций час₁ и час₂ в S. потом ж является бинарной операцией, поскольку композиция двух функций снова является функцией на множестве C (то есть член S).

Многие бинарные операции, представляющие интерес как для алгебры, так и для формальной логики, являются коммутативный, удовлетворяющий $ж (а, б) = ж (б, а)$ для всех элементов а и б в S, или же ассоциативный, удовлетворяющий $ж (ж (а, б), c) = ж (а, ж (б, c))$ для всех а, б и c в S. Многие также имеют элементы идентичности и обратные элементы.

Первые три приведенных выше примера коммутативны, а все приведенные выше примеры ассоциативны.

О множестве действительных чисел р, вычитание, то есть, $ж (а, б) = а - б$ , является бинарной операцией, которая не является коммутативной, поскольку, как правило, $а - б \neq б - а$ . Он также не ассоциативен, так как, в общем, $а - (б - c) \neq (а - б) - c$ ; например, $1 - (2 - 3) = 2$ но $(1 - 2) - 3 = -4$ .

О множестве натуральных чисел N, бинарная операция возведение в степень, $ж (а, б) = а б$ , не коммутативна, поскольку, $а б \neq б а$ (ср. Уравнение xʸ = yˣ ), а также не ассоциативен, поскольку $ж (ж (а, б), c) \neq ж (а, ж (б, c))$ . Например, с $а = 2$ , $б = 3$ и $c = 2$ , $ж (2 3,2) = ж (8,2) = 8 2 = 64$ , но $ж (2,3 2) = ж (2,9) = 2 9 = 512$ . Изменяя набор N к набору целых чисел Z, эта двоичная операция становится частичной двоичной операцией, поскольку теперь она не определена, когда $а = 0$ и б - любое отрицательное целое число. Для любого набора эта операция имеет правильная личность (что равно 1), поскольку $ж (а, 1) = а$ для всех а в наборе, который не является личность (двусторонняя идентичность), поскольку $ж (1, б) \neq б$ в целом.

Разделение (/), частичная бинарная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация (↑↑), как бинарная операция над натуральными числами, не коммутативна, не ассоциативна и не имеет элемента идентичности.

Обозначение

Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксная запись Такие как $а * б$ , $а + б$ , $а \cdot б$ или (по сопоставление без символа) ab а не функциональной записью вида $ж (а, б)$ . Полномочия обычно также записываются без оператора, но со вторым аргументом как надстрочный индекс.

Бинарные операции иногда используют префиксную или (вероятно, чаще) постфиксную нотацию, причем в обоих случаях не используются круглые скобки. Их еще называют, соответственно, Польская нотация и обратная польская запись.

Пара и кортеж

Бинарная операция, ab, зависит от упорядоченная пара (а, б) и так (ab)c (где круглые скобки здесь означают сначала действие с упорядоченной парой (а, б), а затем обработайте результат, используя упорядоченную пару ((ab), c)) в общем случае зависит от упорядоченной пары ((а, б), c). Таким образом, для общего неассоциативного случая бинарные операции могут быть представлены с помощью бинарные деревья.

Тем не мение:

Если операция ассоциативная, (ab)c = а(до н.э), то значение (ab)c зависит только от кортеж (а, б, c).
Если операция коммутативная, ab = ба, то значение (ab)c зависит только от {{а, б}, c}, где фигурные скобки указывают мультимножества.
Если операция одновременно ассоциативна и коммутативна, то значение (ab)c зависит только от мультимножества {а, б, c}.
Если операция ассоциативная, коммутативная и идемпотент, аа = а, то значение (ab)c зависит только от набор {а, б, c}.

Бинарные операции как тернарные отношения

Бинарная операция ж на съемочной площадке S можно рассматривать как тернарное отношение на S, то есть множество троек (а, б, ж(а, б)) в S × S × S для всех а и б в S.

Внешние бинарные операции

An внешний бинарная операция двоичная функция из K × S к S. Это отличается от бинарная операция над множеством в том смысле, что K не должно быть S; его элементы происходят из за пределами.

Пример внешний бинарная операция скалярное умножение в линейная алгебра. Здесь K это поле и S это векторное пространство над этим полем.

An внешний бинарная операция может также рассматриваться как действие; K действует на S.

В скалярное произведение двух векторных карт из S × S к K, куда K это поле и S это векторное пространство над K. От авторов зависит, считается ли это бинарной операцией.

Смотрите также

Примечания

^ Ротман 1973, стр. 1
^ Харди и Уокер 2002, стр. 176, Определение 67
^ Фрали 1976, стр. 10
^ Холл младший 1959, стр. 1

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Бинарная операция». MathWorld.

[1] Ротман 1973, стр. 1

[2] Харди и Уокер 2002, стр. 176, Определение 67

[3] Фрали 1976, стр. 10

[4] Холл младший 1959, стр. 1

[1]

[2]

[3]

[4]

Математическая логика
Общий	Формальный язык Правило формирования Формальное доказательство Формальная семантика Правильная формула Набор Элемент Учебный класс Классическая логика Аксиома Правило вывода Связь Теорема Логическое следствие Теория типов Символ Синтаксис Теория
Системы	Формальная система Дедуктивная система Аксиоматическая система Системы гильбертовского стиля Естественный вычет Последовательное исчисление
Традиционная логика	Предложение Вывод Аргумент Срок действия Силлогизм Площадь оппозиции Диаграмма Венна
Исчисление высказываний и Логическая логика	Логические функции Исчисление высказываний Пропозициональная формула Логические связки Таблицы истинности Многозначная логика
Логика предикатов	Первый заказ Квантификаторы Предикат Второго порядка Монадическое исчисление предикатов
Наивная теория множеств	Набор Пустой набор Элемент Перечисление Расширяемость Конечный набор Бесконечный набор Подмножество Набор мощности Счетный набор Бесчисленное множество Рекурсивный набор Домен Codomain Изображение карта Функция Связь Упорядоченная пара
Теория множеств	Основы математики Теория множеств Цермело – Френкеля Аксиома выбора Общая теория множеств Теория множеств Крипке – Платека Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. Теория множеств Морса – Келли Теория множеств Тарского – Гротендика
Теория моделей	Модель Интерпретация Нестандартная модель Теория конечных моделей Ценность правды Срок действия
Теория доказательств	Формальное доказательство Дедуктивная система Формальная система Теорема Логическое следствие Правило вывода Синтаксис
Вычислимость теория	Рекурсия Рекурсивный набор Рекурсивно перечислимый набор Проблема решения Тезис Черча – Тьюринга Вычислимая функция Примитивная рекурсивная функция