Замыкание (математика) - Closure (mathematics)

В математике набор является закрыто под операция если выполнение этой операции над членами набора всегда производит член этого набора. Например, положительный целые числа закрываются при добавлении, но не при вычитании: 1 − 2 не является положительным целым числом, хотя и 1, и 2 являются положительными целыми числами. Другой пример - множество, содержащее только ноль, которое закрывается при сложении, вычитании и умножении (потому что 0 + 0 = 0, 0 − 0 = 0, и 0 × 0 = 0).

Аналогично, множество называется замкнутым относительно коллекция операций, если он закрыт под каждую операцию отдельно.

Основные свойства

Говорят, что множество, закрытое при выполнении операции или совокупности операций, удовлетворяет закрытие собственности. Часто свойство замыкания вводится как аксиома, который тогда обычно называют аксиома закрытия. Современные теоретико-множественные определения обычно определяют операции как карты между множествами, поэтому добавление замыкания к структуре как аксиомы является излишним; однако на практике операции часто изначально определяются на надмножестве рассматриваемого набора, и требуется доказательство замыкания, чтобы установить, что операция, применяемая к парам из этого набора, производит только элементы этого набора. Например, набор четных целых чисел закрывается при сложении, а набор нечетных чисел - нет.

Когда набор S не закрывается при некоторых операциях, обычно можно найти наименьшее множество, содержащее S что закрыто. Это наименьшее замкнутое множество называется закрытие из S (относительно этих операций).^[1] Например, замыкание при вычитании набора натуральных чисел, рассматриваемого как подмножество действительных чисел, является набором целые числа. Важным примером является пример топологическое замыкание. Понятие замыкания обобщается Связь Галуа, и далее монады.

Набор S должен быть подмножеством закрытого множества, чтобы можно было определить оператор закрытия. В предыдущем примере важно, чтобы действительные числа были закрыты при вычитании; в области натуральных чисел вычитание не всегда определяется.

Не следует путать два использования слова «закрытие». Первое использование относится к свойству быть закрытым, а второе относится к наименьшему закрытому набору, содержащему тот, который не может быть закрыт. Короче говоря, замыкание множества удовлетворяет свойству замыкания.

Закрытые наборы

Набор закрывается при выполнении операции, если операция возвращает член набора при оценке на членах набора.^[2] Иногда требование, чтобы операция оценивалась в наборе, явно указывается, и в этом случае оно известно как аксиома закрытия. Например, можно определить группа как множество с оператором бинарного произведения, подчиняющимся нескольким аксиомам, включая аксиому о том, что произведение любых двух элементов группы снова является элементом. Однако современное определение операции делает эту аксиому излишней; ан п-ари операция на S это просто подмножество S^п+1. По самому своему определению оператор в наборе не может иметь значений вне набора.

Тем не менее свойство замыкания оператора на множестве по-прежнему имеет некоторую полезность. Замыкание набора не обязательно подразумевает замыкание всех подмножеств. Таким образом подгруппа группы - это подмножество, на котором бинарное произведение и унарная операция из инверсия удовлетворяют аксиоме замыкания.

Операция иного рода - это поиск предельные точки подмножества топологическое пространство. Множество, которое закрывается в результате этой операции, обычно называют закрытый набор в контексте топология. Без каких-либо дополнительных уточнений эта фраза обычно означает закрытый в этом смысле. Закрытые интервалы как [1,2] = {Икс : 1 ≤ Икс ≤ 2} в этом смысле замкнуты.

Подмножество частично упорядоченного множества - это закрытый набор вниз (также называемый нижний набор ), если для каждого элемента подмножества все меньшие элементы также находятся в подмножестве. Это относится, например, к действительным интервалам (−∞,п) и (−∞,п], а для порядковый номер п представлен как интервал [0,п). Каждый закрытый вниз набор порядковых чисел сам по себе является порядковым числом. Закрытые наборы вверх (также называемые верхними множествами) определяются аналогично.

Примеры

В топология и связанных с ними филиалов, соответствующая операция принимает ограничения. В топологическое замыкание набора - соответствующий оператор замыкания. В Аксиомы замыкания Куратовского охарактеризуйте этого оператора.
В линейная алгебра, то линейный пролет набора Икс векторов - это закрытие из этого набора; это наименьшее подмножество векторное пространство это включает Икс и закрывается под действием линейная комбинация. Это подмножество подпространство.
В матроид теория, закрытие Икс это самый большой набор Икс который имеет тот же ранг, что и Икс.
В теория множеств, то переходное закрытие из набор.^[3]
В теория множеств, то переходное закрытие из бинарное отношение.^[3]
В алгебра, то алгебраическое замыкание из поле.^[4]
В коммутативная алгебра, операции замыкания идеалов, как целостное закрытие и плотное закрытие.
В геометрия, то выпуклый корпус набора S баллов самый маленький выпуклый набор из которых S это подмножество.^[5]
В формальные языки, то Клини закрытие языка можно описать как набор строк, которые могут быть созданы путем объединения нуля или более строк из этого языка.
В теория групп, то сопряженное замыкание или нормальное закрытие набора группа elements - это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая множество.
В математический анализ И в теория вероятности, закрытие набора подмножеств Икс под счетно много установить операции называется σ-алгебра генерируется коллекцией.

Оператор закрытия

Учитывая операцию на множестве Икс, можно определить замыкание C(S) подмножества S из Икс быть наименьшим подмножеством, закрытым при этой операции, которая содержит S как подмножество, если такие подмножества существуют. Как следствие, C(S) является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих S. Например, замыкание подмножества группы - это подгруппа генерируется этим набором.

Замыкание множеств относительно некоторой операции определяет оператор закрытия на подмножествах Икс. Замкнутые множества могут быть определены с помощью оператора замыкания; набор считается закрытым, если он равен своему собственному замыканию. Типичными структурными свойствами всех операций закрытия являются: ^[6]

Закрытие увеличение или же обширный: закрытие объекта содержит объект.
Закрытие идемпотент: закрытие закрытия равняется закрытию.
Закрытие монотонный, то есть если Икс содержится в Y, то также C(Икс) содержится в C(Y).

Объект, являющийся собственным замыканием, называется закрыто. По идемпотентности объект закрыт если и только если это закрытие какого-то объекта.

Эти три свойства определяют абстрактный оператор закрытия. Обычно абстрактное замыкание действует на класс всех подмножеств набора.

Если Икс содержится в замкнутом относительно операции множестве, то каждое подмножество Икс имеет закрытие.

Замыкания бинарных отношений

Рассмотрим сначала однородные отношения р ⊆ А × А. Если отношение S удовлетворяет aSb ⇒ bSa, то это симметричное отношение. Произвольное однородное отношение р может не быть симметричным, но всегда содержится в некотором симметричном соотношении: р ⊆ S. Операция поиска самый маленький такой S соответствует закрывающему оператору, называемому симметричное закрытие.

А переходное отношение Т удовлетворяет aTb ∧ bTc ⇒ aTc. Произвольное однородное отношение р может не быть транзитивным, но всегда содержится в некотором транзитивном отношении: р ⊆ Т. Операция поиска самый маленький такой Т соответствует закрывающему оператору, называемому переходное закрытие.

Среди разнородные отношения есть свойства дифункциональность и контакт которые приводят к бифункциональное закрытие и замыкание контакта.^[7] Наличие этих операторов замыкания в бинарных отношениях приводит к топология поскольку аксиомы открытого множества могут быть заменены на Аксиомы замыкания Куратовского. Таким образом, каждое свойство п, симметрия, транзитивность, дифункциональность или контакт соответствует реляционной топологии.^[8]

В теории переписывание систем, часто используются более многословные понятия, такие как рефлексивное переходное замыкание р^*-наименьший Предварительный заказ содержащий р, или рефлексивное транзитивное симметричное замыкание р^≡- наименьшее отношение эквивалентности содержащий р, и поэтому также известен как закрытие эквивалентности. При рассмотрении конкретного алгебра терминов, отношение эквивалентности, совместимое со всеми операциями алгебры ^{[примечание 1]} называется отношение конгруэнтности. В закрытие конгруэнтности из р определяется как наименьшее отношение конгруэнтности, содержащее р.

Для произвольных п и р, то п закрытие р не должно существовать. В приведенных выше примерах они существуют, потому что рефлексивность, транзитивность и симметрия замкнуты относительно произвольных пересечений. В таких случаях п замыкание можно напрямую определить как пересечение всех множеств со свойством п содержащий р.^[9]

Некоторые важные частные замыкания могут быть конструктивно получены следующим образом:

cl_ссылка(р) = р ∪ { ⟨Икс,Икс⟩ : Икс ∈ S } это рефлексивное закрытие из р,
cl_сим(р) = р ∪ { ⟨у,Икс⟩ : ⟨Икс,у⟩ ∈ р } - его симметричное замыкание,
cl_трн(р) = р ∪ { ⟨Икс₁,Икс_п⟩ : п >1 ∧ ⟨Икс₁,Икс₂⟩, ..., ⟨Икс_п-1,Икс_п⟩ ∈ р } это его переходное закрытие,
cl_{наб, Σ}(р) = р ∪ { ⟨ж(Икс₁,…,Икс_я-1,Икс_я,Икс_я+1,…,Икс_п), ж(Икс₁,…,Икс_я-1,у,Икс_я+1,…,Икс_п)⟩ : ⟨Икс_я,у⟩ ∈ р ∧ ж ∈ Σ п-арно ∧ 1 ≤ я ≤ п ∧ Икс₁,...,Икс_п ∈ S } - его замыкание вложения относительно заданного множества Σ операций на S, каждый с фиксированной арностью.

Соотношение р считается, что закрывается при некоторых cl_ххх, если р = cl_ххх(р); Например р называется симметричным, если р = cl_сим(р).

Любое из этих четырех замыканий сохраняет симметрию, т. Е. Если р симметричен, как и любой cl_ххх(р). ^{[заметка 2]}Точно так же все четыре сохраняют рефлексивность. cl_трн сохраняет закрытие под cl_{наб, Σ} для произвольного Σ. Как следствие, замыкание эквивалентности произвольного бинарного отношения р можно получить как cl_трн(cl_сим(cl_ссылка(р))), а замыкание сравнения по некоторому Σ можно получить как cl_трн(cl_{наб, Σ}(cl_сим(cl_ссылка(р)))). В последнем случае порядок вложения имеет значение; например если S - множество членов над Σ = { а, б, c, ж } и р = { ⟨а,б⟩, ⟨ж(б),c⟩}, То пара ⟨ж(а),c⟩ Содержится в замыкании сравнения cl_трн(cl_{наб, Σ}(cl_сим(cl_ссылка(р)))) из р, но не в отношении cl_{наб, Σ}(cl_трн(cl_сим(cl_ссылка(р)))).

Смотрите также

Примечания

^ то есть, например, xRy подразумевает ж(Икс,Икс₂) р ж(у,Икс₂) и ж(Икс₁,Икс) р ж(Икс₁,у) для любой бинарной операции ж и произвольный Икс₁,Икс₂ ∈ S
^ формально: если р = cl_сим(р), тогда cl_ххх(р) = cl_сим(cl_ххх(р))