Предельная точка - Limit point

В математика, а предельная точка (или же кластерная точка или же точка накопления) из набор ${ displaystyle S}$ в топологическое пространство ${ displaystyle X}$ это точка ${ displaystyle x}$ которые можно «аппроксимировать» точками ${ displaystyle S}$ в том смысле, что каждый район из ${ displaystyle x}$ с уважением к топология на ${ displaystyle X}$ также содержит точку ${ displaystyle S}$ Кроме как ${ displaystyle x}$ сам. Предельная точка набора ${ displaystyle S}$ сам по себе не обязательно должен быть элементом ${ displaystyle S}$ .

Эта концепция выгодно обобщает понятие предел и является основой таких концепций, как закрытый набор и топологическое замыкание. В самом деле, множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, и операцию топологического замыкания можно рассматривать как операцию, которая обогащает множество, объединяя его с его предельными точками.

Что касается обычного Евклидова топология, последовательность рациональных чисел

{ displaystyle x_ {n} = (- 1) ^ {n} { frac {n} {n + 1}}}

не имеет предел (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые считаются предельные точки здесь), а именно. -1 и +1. Таким образом, с точки зрения множеств эти точки являются предельными точками множества.

{ displaystyle {x_ {n} }}

.

Существует также тесно связанная концепция для последовательности. А кластерная точка (или же точка накопления) из последовательность ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ в топологическое пространство ${ displaystyle X}$ это точка ${ displaystyle x}$ так что для каждого района ${ displaystyle V}$ из ${ displaystyle x}$ , натуральных чисел бесконечно много ${ displaystyle n}$ такой, что ${ displaystyle x_ {n} in V}$ . Эта концепция обобщается на сети и фильтры.

Определение

Позволять ${ displaystyle S}$ быть подмножеством топологическое пространство ${ displaystyle X}$ . Точка ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle X}$ это предельная точка (или же кластерная точка или же точка накопления) из ${ displaystyle S}$ если каждый район из ${ displaystyle x}$ содержит хотя бы одну точку ${ displaystyle S}$ отличается от ${ displaystyle x}$ сам.

Обратите внимание, что не имеет значения, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения «открытой окрестности», чтобы показать, что точка является предельной точкой, и форму определения «общей окрестности», чтобы получить факты из известной предельной точки.

Если ${ displaystyle X}$ это ${ displaystyle T_ {1}}$ Космос (который все метрические пространства являются), то ${ displaystyle x in X}$ предельная точка ${ displaystyle S}$ тогда и только тогда, когда каждая окрестность ${ displaystyle x}$ содержит бесконечно много точек ${ displaystyle S}$ . Фактически, ${ displaystyle T_ {1}}$ пространства характеризуются этим свойством.

Если ${ displaystyle X}$ это Пространство Фреше – Урысона (который все метрические пространства и пробелы с первым счетом являются), то ${ displaystyle x in X}$ предельная точка ${ displaystyle S}$ тогда и только тогда, когда есть последовательность очков в ${ Displaystyle S setminus {х }}$ чей предел является ${ displaystyle x}$ . На самом деле этим свойством обладают пространства Фреше – Урысона.

Множество предельных точек ${ displaystyle S}$ называется производный набор из ${ displaystyle S}$ .

Типы предельной точки

Если в каждом районе ${ displaystyle x}$ содержит бесконечно много точек ${ displaystyle S}$ , тогда ${ displaystyle x}$ это особый тип предельной точки, называемый ω-точка накопления из ${ displaystyle S}$ .

Если в каждом районе ${ displaystyle x}$ содержит бесчисленное множество точки ${ displaystyle S}$ , тогда ${ displaystyle x}$ это особый тип предельной точки, называемый точка конденсации из ${ displaystyle S}$ .

Если каждый район ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle x}$ удовлетворяет ${ Displaystyle left | U cap S right | = left | S right |}$ , тогда ${ displaystyle x}$ это особый тип предельной точки, называемый точка полного накопления из ${ displaystyle S}$ .

Для последовательностей и сетей

Последовательность, перечисляющая все положительные рациональное число. Каждый положительный настоящий номер это кластерная точка.

В топологическом пространстве ${ displaystyle X}$ , точка ${ displaystyle x in X}$ считается кластерная точка (или же точка накопления) последовательности ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ если для каждого район ${ displaystyle V}$ из ${ displaystyle x}$ , бесконечно много ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ такой, что ${ displaystyle x_ {n} in V}$ . Это эквивалентно сказать, что для каждого район ${ displaystyle V}$ из ${ displaystyle x}$ и каждый ${ displaystyle n_ {0} in mathbb {N}}$ , существует некоторое ${ displaystyle n geq n_ {0}}$ такой, что ${ displaystyle x_ {n} in V}$ . Если ${ displaystyle X}$ это метрическое пространство или место с первым счетом (или, в более общем смысле, Пространство Фреше – Урысона ), тогда ${ displaystyle x}$ кластерная точка ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ если и только если ${ displaystyle x}$ является пределом некоторой подпоследовательности ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ . Множество всех кластерных точек последовательности иногда называют установленный предел.

Обратите внимание, что уже есть понятие предел последовательности иметь в виду точку ${ displaystyle x}$ к которой сходится последовательность (т.е. каждая окрестность ${ displaystyle x}$ содержит все элементы последовательности, кроме конечного). Вот почему мы не используем термин предельная точка последовательности как синоним точки накопления последовательности.

Концепция сеть обобщает идею последовательность. Сеть - это функция ${ displaystyle f: (P, leq) к X}$ , куда ${ displaystyle (P, leq)}$ это направленный набор и ${ displaystyle X}$ является топологическим пространством. Точка ${ displaystyle x in X}$ считается кластерная точка (или же точка накопления) сети ${ displaystyle f}$ если для каждого район ${ displaystyle V}$ из ${ displaystyle x}$ и каждый ${ displaystyle p_ {0} in P}$ , существует некоторое ${ displaystyle p geq p_ {0}}$ такой, что ${ Displaystyle f (p) in V}$ , эквивалентно, если ${ displaystyle f}$ имеет подсеть который сходится к ${ displaystyle x}$ . Точки скопления в сетях охватывают идею как точек конденсации, так и точек ω-накопления. Кластеризация и предельные точки также определены для связанной темы фильтры.

Характеристики

Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности.

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления набора

К каждой последовательности ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ в топологическом пространстве ${ displaystyle X}$ мы можем связать множество ${ displaystyle A = {x_ {n}: n in { mathbb {N}} }}$ состоящий из всех элементов в последовательности.

Если есть элемент ${ displaystyle x in X}$ которое встречается бесконечно много раз в последовательности, ${ displaystyle x}$ - точка накопления последовательности. Но ${ displaystyle x}$ не обязательно быть точкой накопления соответствующего набора ${ displaystyle A}$ . Например, если последовательность является постоянной последовательностью со значением ${ displaystyle x}$ , у нас есть ${ Displaystyle А = {х }}$ и ${ displaystyle x}$ изолированная точка ${ displaystyle A}$ а не точка накопления ${ displaystyle A}$ .

Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечно много раз, например, если все элементы различны, любая точка накопления последовательности является ${ displaystyle omega}$ -точка накопления связанного набора ${ displaystyle A}$ .

Наоборот, для счетного бесконечного множества ${ Displaystyle A substeq X}$ в ${ displaystyle X}$ , мы можем перечислить все элементы ${ displaystyle A}$ разными способами, даже с повторами, и, таким образом, связать с ним многие последовательности, которые будут иметь ${ displaystyle A}$ как связанный набор элементов.

Любой ${ displaystyle omega}$ -точка накопления ${ displaystyle A}$ является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей (поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечно много элементов ${ displaystyle A}$ а значит, и бесконечно много членов в любой ассоциированной последовательности).

Точка ${ displaystyle x in X}$ то есть нет ан ${ displaystyle omega}$ -точка накопления ${ displaystyle A}$ не может быть точкой накопления любой из связанных последовательностей без бесконечных повторов (потому что ${ displaystyle x}$ имеет окрестность, содержащую только конечное число (даже ни одной) точек ${ displaystyle A}$ и эта окрестность может содержать только конечное число членов таких последовательностей).

Избранные факты

У нас есть следующая характеристика предельных точек: ${ displaystyle x}$ $Икс$ предельная точка ${ displaystyle S}$ $S$ если и только если он находится в закрытие из ${ Displaystyle S setminus {х }}$ ${ Displaystyle S setminus {х }}$ .
- Доказательство: Мы используем тот факт, что точка находится в замыкании множества, тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки соответствует множеству. Сейчас же, ${ displaystyle x}$ предельная точка ${ displaystyle S}$ , тогда и только тогда, когда каждая окрестность ${ displaystyle x}$ содержит точку ${ displaystyle S}$ Кроме как ${ displaystyle x}$ , тогда и только тогда, когда каждая окрестность ${ displaystyle x}$ содержит точку ${ Displaystyle S setminus {х }}$ , если и только если ${ displaystyle x}$ находится в закрытии ${ Displaystyle S setminus {х }}$ .
Если мы используем ${ Displaystyle L (S)}$ ${ Displaystyle L (S)}$ для обозначения множества предельных точек ${ displaystyle S}$ $S$ , то имеем следующую характеристику замыкания ${ displaystyle S}$ $S$ : Закрытие ${ displaystyle S}$ $S$ равно объединению ${ displaystyle S}$ $S$ и ${ Displaystyle L (S)}$ ${ Displaystyle L (S)}$ . Этот факт иногда принимают за определение из закрытие.
- Доказательство: ("Левое подмножество") Предположим ${ displaystyle x}$ находится в закрытии ${ displaystyle S}$ . Если ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle S}$ , мы сделали. Если ${ displaystyle x}$ не в ${ displaystyle S}$ , то каждая окрестность ${ displaystyle x}$ содержит точку ${ displaystyle S}$ , и эта точка не может быть ${ displaystyle x}$ . Другими словами, ${ displaystyle x}$ предельная точка ${ displaystyle S}$ и ${ displaystyle x}$ в ${ Displaystyle L (S)}$ . ("Правое подмножество") Если ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle S}$ , то каждая окрестность ${ displaystyle x}$ ясно встречает ${ displaystyle S}$ , так ${ displaystyle x}$ находится в закрытии ${ displaystyle S}$ . Если ${ displaystyle x}$ в ${ Displaystyle L (S)}$ , то каждая окрестность ${ displaystyle x}$ содержит точку ${ displaystyle S}$ (Кроме как ${ displaystyle x}$ ), так ${ displaystyle x}$ снова в закрытии ${ displaystyle S}$ . Это завершает доказательство.
Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество ${ displaystyle S}$ $S$ замкнут тогда и только тогда, когда он содержит все свои предельные точки.
- Доказательство: ${ displaystyle S}$ закрыто тогда и только тогда, когда ${ displaystyle S}$ равно своему закрытию тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle S = S чашка L (S)}$ если и только если ${ Displaystyle L (S)}$ содержится в ${ displaystyle S}$ .
- Еще одно доказательство: Позволять ${ displaystyle S}$ быть замкнутым множеством и ${ displaystyle x}$ предельная точка ${ displaystyle S}$ . Если ${ displaystyle x}$ не в ${ displaystyle S}$ , то дополнение к ${ displaystyle S}$ включает открытый район ${ displaystyle x}$ . С ${ displaystyle x}$ предельная точка ${ displaystyle S}$ , любая открытая окрестность ${ displaystyle x}$ должен иметь нетривиальное пересечение с ${ displaystyle S}$ . Однако набор не может иметь нетривиального пересечения со своим дополнением. Наоборот, предположим ${ displaystyle S}$ содержит все его предельные точки. Покажем, что дополнение ${ displaystyle S}$ это открытый набор. Позволять ${ displaystyle x}$ быть точкой в дополнении ${ displaystyle S}$ . По предположению, ${ displaystyle x}$ не является предельной точкой, а значит, существует открытая окрестность U из ${ displaystyle x}$ что не пересекается ${ displaystyle S}$ , и так ${ displaystyle U}$ полностью лежит в составе ${ displaystyle S}$ . Поскольку это рассуждение справедливо для произвольных ${ displaystyle x}$ в составе ${ displaystyle S}$ , дополнение ${ displaystyle S}$ можно выразить как объединение открытых окрестностей точек дополнения к ${ displaystyle S}$ . Следовательно, дополнение ${ displaystyle S}$ открыт.
Нет изолированная точка является предельной точкой любого множества.
- Доказательство: Если ${ displaystyle x}$ - изолированная точка, то ${ Displaystyle {х }}$ это район ${ displaystyle x}$ который не содержит точек кроме ${ displaystyle x}$ .
Закрытие ${ displaystyle cl (S)}$ набора ${ displaystyle S}$ является несвязным объединением своих предельных точек ${ Displaystyle L (S)}$ и изолированные точки ${ Displaystyle I (S)}$ :

{ Displaystyle cl (S) = L (S) чашка I (S), L (S) cap I (S) = emptyset.}

Пространство ${ displaystyle X}$ $Икс$ является дискретный тогда и только тогда, когда нет подмножества ${ displaystyle X}$ $Икс$ имеет предел.
- Доказательство: Если ${ displaystyle X}$ дискретно, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой какого-либо множества. Наоборот, если ${ displaystyle X}$ не дискретный, то есть одноэлементный ${ Displaystyle {х }}$ это не открыто. Следовательно, каждая открытая окрестность ${ Displaystyle {х }}$ содержит точку ${ displaystyle y neq x}$ , и так ${ displaystyle x}$ предельная точка ${ displaystyle X}$ .
Если пробел ${ displaystyle X}$ $Икс$ имеет тривиальная топология и ${ displaystyle S}$ $S$ это подмножество ${ displaystyle X}$ $Икс$ с более чем одним элементом, то все элементы ${ displaystyle X}$ $Икс$ являются предельными точками ${ displaystyle S}$ $S$ . Если ${ displaystyle S}$ $S$ синглтон, то каждая точка ${ Displaystyle X setminus S}$ $Х setminus S$ предельная точка ${ displaystyle S}$ $S$ .
- Доказательство: Так долго как ${ Displaystyle S setminus {х }}$ непусто, его закрытие будет ${ displaystyle X}$ . Он пуст только тогда, когда ${ displaystyle S}$ пусто или ${ displaystyle x}$ уникальный элемент ${ displaystyle S}$ .
По определению каждая предельная точка является точка привязки.