Ограничение установлено - Limit set

В математика, особенно при изучении динамические системы, а установленный предел это состояние, которого динамическая система достигает по прошествии бесконечного количества времени, двигаясь вперед или назад во времени. Наборы пределов важны, потому что их можно использовать для понимания долгосрочного поведения динамической системы.

Типы

В общем, наборы пределов могут быть очень сложными, как в случае странные аттракторы, но для двумерных динамических систем Теорема Пуанкаре – Бендиксона обеспечивает простую характеристику всех непустых, компактных ${displaystyle omega}$ -предельные множества, которые содержат не более конечного числа неподвижных точек в виде неподвижной точки, периодической орбиты или объединения неподвижных точек и гомоклиника или же гетероклинический орбиты, соединяющие эти неподвижные точки.

Определение повторяющихся функций

Позволять ${displaystyle X}$ быть метрическое пространство, и разреши ${displaystyle f: Xightarrow X}$ быть непрерывная функция. В ${displaystyle omega}$ -предельный набор ${displaystyle xin X}$ , обозначаемый ${displaystyle omega (x, f)}$ , это набор кластерные точки из прямая орбита ${displaystyle {f ^ {n} (x)} _ {nin mathbb {N}}}$ из повторяющаяся функция ${displaystyle f}$ .^[1] Следовательно, ${displaystyle yin omega (x, f)}$ если и только если есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел ${displaystyle {n_ {k}} _ {kin mathbb {N}}}$ такой, что ${displaystyle f ^ {n_ {k}} (x) ightarrow y}$ в качестве ${displaystyle kightarrow infty}$ . Другой способ выразить это -

{displaystyle omega (x, f) = igcap _ {nin mathbb {N}} {overline {{f ^ {k} (x): k> n}}},}

куда ${displaystyle {overline {S}}}$ обозначает закрытие набора ${displaystyle S}$ . Замыкание здесь необходимо, поскольку мы не предполагали, что лежащее в основе интересующее метрическое пространство является полное метрическое пространство. Точки в наборе пределов не являются блуждающими (но не могут быть повторяющиеся точки). Это также можно сформулировать как внешний предел (Limsup ) последовательности множеств, такой что

{displaystyle omega (x, f) = igcap _ {n = 1} ^ {infty} {overline {igcup _ {k = n} ^ {infty} {f ^ {k} (x)}}}.}

Если ${displaystyle f}$ это гомеоморфизм (т.е. бинепрерывная биекция), то ${displaystyle alpha}$ -предельный набор определяется аналогично, но для обратной орбиты; т.е. ${displaystyle alpha (x, f) = omega (x, f ^ {- 1})}$ .

Оба набора ${displaystyle f}$ -инвариантно, а если ${displaystyle X}$ является компактный, они компактны и непусты.

Определение потоков

Учитывая реальная динамическая система (Т, Икс, φ) с поток ${displaystyle varphi: mathbb {R} imes X o X}$ , точка Икс, мы называем точку у ω-предельная точка из Икс если существует последовательность ${displaystyle (t_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}$ в р так что

{displaystyle lim _ {нет информации} t_ {n} = infty}

{displaystyle lim _ {n o infty} varphi (t_ {n}, x) = y}

.

Для орбита γ из (Т, Икс, φ), мы говорим, что у является ω-предельная точка γ, если это ω-предельная точка какой-то точки на орбите.

Аналогично мы называем у α-предельная точка из Икс если существует последовательность ${displaystyle (t_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}$ в р так что

{displaystyle lim _ {n o infty} t_ {n} = - infty}

{displaystyle lim _ {n o infty} varphi (t_ {n}, x) = y}

.

Для орбита γ из (Т, Икс, φ), мы говорим, что у является α-предельная точка γ, если это α-предельная точка какой-то точки на орбите.

Множество всех ω-предельных точек (α-предельных точек) для данной орбиты γ называется ω-установленный предел (α-установленный предел) для γ и обозначим lim_ω γ (lim_α γ).

Если ω-предельное множество (α-предельное множество) не пересекается с орбитой γ, то есть lim_ω γ ∩ γ = ∅ (lim_α γ ∩ γ = ∅), назовем lim_ω γ (lim_α γ) а ω-предельный цикл (α-предельный цикл).

В качестве альтернативы предельные наборы могут быть определены как

{displaystyle lim _ {omega} gamma: = igcap _ {sin mathbb {R}} {overline {{varphi (x, t): t> s}}}}

и

{displaystyle lim _ {alpha} gamma: = igcap _ {sin mathbb {R}} {overline {{varphi (x, t): t

Примеры

Для любого периодическая орбита γ динамической системы, lim_ω γ = lim_α γ = γ
Для любого фиксированная точка ${displaystyle x_ {0}}$ динамической системы, lim_ω ${displaystyle x_ {0}}$ = lim_α ${displaystyle x_ {0}}$ = ${displaystyle x_ {0}}$

Характеристики

Lim_ω γ и lim_α γ являются закрыто
если Икс компактно, то lim_ω γ и lim_α γ являются непустой, компактный и связаны
Lim_ω γ и lim_α γ являются φ-инвариантными, т.е. φ (р × lim_ω γ) = lim_ω γ и φ (р × lim_α γ) = lim_α γ

Смотрите также

дальнейшее чтение

Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.

В этой статье используется материал из Omega-limit, установленного на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] Аллигуд, Кэтлин Т .; Зауэр, Тим Д .; Йорк, Джеймс А. (1996). Хаос, введение в динамические системы. Springer.

[1]