Теорема Пуанкаре – Бендиксона - Poincaré–Bendixson theorem

В математика, то Теорема Пуанкаре – Бендиксона это утверждение о долгосрочном поведении орбиты из непрерывные динамические системы на плоскости, цилиндре или двусфере.[1]

Теорема

Учитывая дифференцируемая реальная динамическая система определено на открыто подмножество плоскости, каждое непустой компактный ω-предельный набор из орбита, который содержит лишь конечное число неподвижных точек, либо[2]

Более того, существует не более одной орбиты, соединяющей разные фиксированные точки в одном направлении. Однако может быть счетное количество гомоклинических орбит, соединяющих одну неподвижную точку.

Более слабая версия теоремы была первоначально задумана Анри Пуанкаре  (1892 ), хотя ему не хватало полного доказательства, которое позже было дано Ивар Бендиксон  (1901 ).

Обсуждение

Условие нахождения динамической системы на плоскости необходимо для теоремы. На тор например, возможна повторяющаяся непериодическая орбита.[3]Особенно, хаотичный поведение может возникать только в непрерывных динамических системах, фазовое пространство которых имеет три или более измерений. Однако теорема не применяется к дискретные динамические системы, где хаотическое поведение может возникать в двумерных или даже одномерных системах.

Приложения

Одним из важных выводов является то, что двумерная непрерывная динамическая система не может привести к странный аттрактор. Если странный аттрактор C действительно существует в такой системе, то она может быть заключена в замкнутое и ограниченное подмножество фазового пространства. Сделав это подмножество достаточно маленьким, можно исключить любые близлежащие стационарные точки. Но тогда теорема Пуанкаре – Бендиксона говорит, что C вовсе не странный аттрактор - это либо предельный цикл или сходится к предельному циклу.

использованная литература

  1. ^ Коддингтон, Эрл А.; Левинсон, Норман (1955). "Теория Пуанкаре – Бендиксона двумерных автономных систем". Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. стр.389–403. ISBN  978-0-89874-755-3.
  2. ^ Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
  3. ^ D'Heedene, R.N. (1961). «Автономное дифференциальное уравнение третьего порядка с почти периодическими решениями». Журнал математического анализа и приложений. Эльзевир. 3 (2): 344–350. Дои:10.1016 / 0022-247X (61) 90059-2.