Динамическая система (определение) - Dynamical system (definition)

В этой статье представлено множество способов определения динамической системы. Смотрите основную статью, динамическая система, для обзора темы.

В динамическая система концепция - это математический формализация для любого фиксированного «правила», которое описывает время зависимость положения точки в ее окружении Космос. Эта концепция объединяет очень разные типы таких «правил» в математике: разные варианты измерения времени и особые свойства окружающее пространство может дать представление о необъятности класса объектов, описываемых этим понятием. Время может быть измерено целыми числами, действительными или комплексными числами или может быть более общим алгебраическим объектом, теряющим память о своем физическом происхождении, а окружающее пространство может быть просто набор, без необходимости гладкий на нем определена пространственно-временная структура.

Формальное определение

Существует два класса определений динамической системы: один основан на обыкновенных дифференциальных уравнениях и имеет геометрический характер; а другой мотивирован эргодическая теория и является измерить теоретический в аромате. Теоретические определения меры предполагают существование преобразования, сохраняющего меру. Это исключает диссипативные системы, как и в диссипативной системе, небольшая область фазового пространства сжимается при временной эволюции. Простая конструкция (иногда называемая Теорема Крылова – Боголюбова. ) показывает, что всегда можно построить меру так, чтобы правило эволюции динамической системы оставалось преобразованием, сохраняющим меру. При построении заданная мера пространства состояний суммируется для всех будущих точек траектории, обеспечивая инвариантность.

Трудность построения естественной меры для динамической системы затрудняет развитие эргодической теории, исходя из дифференциальных уравнений, поэтому становится удобным иметь в рамках эргодической теории определение, мотивированное динамическими системами, которое уклоняется от выбора меры.

Общее определение

В самом общем смысле^[1][2]а динамическая система это кортеж (Т, M, Φ) где Т это моноид, написано аддитивно, M непустой набор и Φ является функция

${displaystyle Phi :Usubseteq (T imes M) o M}$

с

${displaystyle mathrm {proj} _{2}(U)=M}$ (куда ${displaystyle mathrm {proj} _{2}}$ второй карта проекции )

${displaystyle I(x)={tin T:(t,x)in U}}$

${displaystyle Phi (0,x)=x}$

${displaystyle Phi (t_{2},Phi (t_{1},x))=Phi (t_{2}+t_{1},x),}$ за ${displaystyle ,t_{1},,t_{2}+t_{1}in I(x)}$ и ${displaystyle t_{2}in I(Phi (t_{1},x))}$

Функция Φ (т,Икс) называется функция эволюции динамической системы: она сопоставляется с каждой точкой множества M уникальное изображение, в зависимости от переменной т, называется параметр эволюции. M называется фазовое пространство или же пространство состояний, а переменная Икс представляет собой начальное состояние системы.

Мы часто пишем

${displaystyle Phi _{x}(t)equiv Phi (t,x)}$

${displaystyle Phi ^{t}(x)equiv Phi (t,x)}$

если взять одну из переменных за постоянную.

${displaystyle Phi _{x}:I(x) o M}$

называется поток через Икс и это график траектория через Икс. Набор

${displaystyle gamma _{x}equiv {Phi (t,x):tin I(x)}}$

называется орбита через Икс.Обратите внимание, что орбита через Икс это изображение потока через ИксПодмножество S государственного пространства M называется Φ-инвариантный если для всех Икс в S и все т в Т

${displaystyle Phi (t,x)in S.}$

Так, в частности, если S Φ-инвариант, ${displaystyle I(x)=T}$ для всех Икс в S. То есть поток через Икс должен быть определен навсегда для каждого элемента S.

Геометрические корпуса

В следующих случаях M это многообразие (или его крайний случай a график ). Динамические системы определяются как кортежи из которых один элемент является многообразием.

Реальная динамическая система

А реальная динамическая система, динамическая система в реальном времени, непрерывное время динамическая система, или же поток является набором (T, M, Φ) с T an открытый интервал в действительные числа R, M a многообразие локально диффеоморфен Банахово пространство, а Φ a непрерывная функция. Если T = R, мы называем систему Глобальный, если T ограничено неотрицательными действительными числами, мы называем систему a полупоток. Если Φ равно непрерывно дифференцируемый мы говорим, что система дифференцируемая динамическая система. Если многообразие M локально диффеоморфно R^п, динамическая система конечномерный; в противном случае динамическая система бесконечномерный. Обратите внимание, что это не предполагает симплектическая структура.

Дискретная динамическая система

А дискретная динамическая система, дискретное время динамическая система, карта или же каскад - набор (T, M, Φ), где T - множество целые числа, M - это многообразие локально диффеоморфен Банахово пространство, а Φ - функция. Если T ограничен неотрицательными целыми числами, мы называем систему a полукаскад.^[3]

Клеточный автомат

А клеточный автомат является набором (T, M, Φ), причем T a решетка такой как целые числа или многомерный целочисленная сетка, M - это набор функций от целочисленной решетки (опять же, с одним или несколькими измерениями) до конечного множества, а Φ - (локально определенная) эволюционная функция. В качестве таких клеточные автоматы являются динамическими системами. Решетка в M представляет собой решетку «пространства», а решетка в T представляет решетку «времени».

Измерьте теоретическое определение

Основная статья: Сохраняющая меру динамическая система

Формально динамическую систему можно определить как сохраняющее меру преобразование сигма-алгебра, тройка (Т, (Икс, Σ, μ), Φ) Здесь Т моноид (обычно неотрицательные целые числа), Икс это набор, и (Икс, Σ, μ) является вероятностное пространство. Карта Φ: Икс → Икс как говорят Σ-измеримый тогда и только тогда, когда для каждого σ из Σ выполняется Φ⁻¹(σ) ∈ Σ. Отображение Φ называется сохранить меру тогда и только тогда, когда для любого σ из Σ выполняется μ (Φ⁻¹(σ)) = μ (σ). Объединяя вышесказанное, отображение Φ называется сохраняющее меру преобразование Икс, если это карта из Икс для самого себя, оно Σ-измеримо и сохраняет меру. Тройка (Т, (Икс, Σ, μ), Φ) для такого Φ определяется как динамическая система.

Отображение Φ воплощает эволюцию динамической системы во времени. Таким образом, для дискретных динамических систем повторяет ${displaystyle scriptstyle phi ^{n}=phi circ phi circ ldots circ phi }$ для каждого целого числа п изучаются. Для непрерывных динамических систем отображение Φ понимается как отображение эволюции за конечное время, и конструкция более сложна.

Отношение к геометрическому определению

С одним правилом эволюции может быть связано множество различных инвариантных мер. В эргодической теории предполагается, что выбор сделан, но если динамическая система задается системой дифференциальных уравнений, необходимо определить соответствующую меру. Некоторые системы имеют естественную меру, например Мера Лиувилля в Гамильтоновы системы, выбранных по сравнению с другими инвариантными мерами, такими как меры с носителем на периодических орбитах гамильтоновой системы. Для многих диссипативных хаотических систем выбор инвариантной меры технически более сложен. Мера должна поддерживаться на аттрактор, но аттракторы не имеют Мера Лебега и инвариантные меры должны быть особенными относительно меры Лебега.

Для гиперболических динамических систем Меры Синая – Рюэля – Боуэна кажется естественным выбором. Они построены на геометрической структуре устойчивых и неустойчивых многообразий динамической системы; они ведут себя физически при малых возмущениях; и они объясняют многие наблюдаемые статистические данные гиперболических систем.

Построение динамических систем

Концепция чего-либо эволюция во времени занимает центральное место в теории динамических систем, как было показано в предыдущих разделах: основная причина этого факта заключается в том, что исходной мотивацией теории было изучение поведения во времени классические механические системы, то есть исследование проблемы начального значения за их описание систем обыкновенные дифференциальные уравнения.

${displaystyle {dot {oldsymbol {x}}}={oldsymbol {v}}(t,{oldsymbol {x}})}$

${displaystyle {oldsymbol {x}}|_{t=0}={oldsymbol {x}}_{0}}$

куда

• ${displaystyle scriptstyle {dot {oldsymbol {x}}}}$ представляет скорость материальной точки Икс
• v: Т × M → M это векторное поле в р^п или же C^п и представляет собой изменение скорость вызванный известными силы действуя на данную материальную точку. В зависимости от свойств этого векторного поля механическая система называется
  • автономный, когда v(т, Икс) = v(Икс)
  • однородный когда v(т, 0) = 0 для всех т

Решением является функция эволюции, уже введенная выше.

${displaystyle {oldsymbol {x}}(t)=Phi (t,{oldsymbol {x}}_{0})}$

Некоторые формальные манипуляции с системой дифференциальные уравнения показанное выше дает более общую форму уравнений, которым динамическая система должна удовлетворять

${displaystyle {dot {oldsymbol {x}}}-{oldsymbol {v}}(t,{oldsymbol {x}})=0qquad Leftrightarrow qquad {mathfrak {G}}left(t,Phi (t,{oldsymbol {x}}_{0})ight)=0}$

куда ${displaystyle {mathfrak {G}}:{{(T imes M)}^{M}} o mathbf {C} }$ это функциональный от набора эволюционных функций к полю комплексных чисел.

Компактификация динамической системы

Учитывая глобальную динамическую систему (р, Икс, Φ) на локально компактный и Хаусдорф топологическое пространство Икс, часто бывает полезно изучить непрерывное продолжение Φ * функции Φ на одноточечная компактификация ИКС* из Икс. Хотя мы теряем дифференциальную структуру исходной системы, теперь мы можем использовать аргументы компактности для анализа новой системы (р, ИКС*, Φ *).

В компактных динамических системах установленный предел любой орбиты непустой, компактный и односвязный.

Рекомендации

1. Джунти М. и Маццола К. (2012 г.) "Динамические системы на моноидах: к общей теории детерминированных систем и движения ". В Minati G., Abram M., Pessa E. (ред.), Методы, модели, моделирование и подходы к общей теории изменений, стр. 173-185, Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-4383-32-5
2. Маццола К. и Джунти М. (2012 г.) "Обратимая динамика и направленность времени ". В Minati G., Abram M., Pessa E. (ред.), Методы, модели, моделирование и подходы к общей теории изменений, стр. 161-171, Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-4383-32-5.
3. Галор, Одед (2010). Дискретные динамические системы. Springer.

• Арнольд, Владимир И. (2006). «Основные понятия». Обыкновенные дифференциальные уравнения.. Берлин: Springer Verlag. ISBN  3-540-34563-9.
• Чуешов, И. Введение в теорию бесконечномерных диссипативных систем.. онлайн-версия первого издания на сайте EMIS [1].
• Темам, Роджер (1997) [1988]. Бесконечномерные динамические системы в механике и физике. Springer Verlag.