Теорема Крылова – Боголюбова. - Krylov–Bogolyubov theorem

В математика, то Теорема Крылова – Боголюбова. (также известный как Теорема о существовании инвариантных мер) может относиться к любому из двух связанных фундаментальных теоремы в рамках теории динамические системы. Теоремы гарантируют существование инвариантные меры для некоторых "хороших" карт, определенных на "хороших" пространствах и названных в честь русский -украинец математики и физики-теоретики Николай Крылов и Николай Боголюбов кто доказал теоремы.^[1]

Формулировка теорем

Инвариантные меры для одиночной карты

Теорема (Крылов – Боголюбов). Позволять (Икс, Т) быть компактный, метризуемый топологическое пространство и F : Икс → Икс а непрерывная карта. потом F допускает инвариант Борель вероятностная мера.

То есть, если Борель (Икс) обозначает Борель σ-алгебра генерируется коллекцией Т из открытые подмножества из Икс, то существует вероятностная мера μ : Борель (Икс) → [0, 1] такое, что для любого подмножества А ∈ Бореля (Икс),

${displaystyle mu left(F^{-1}(A)ight)=mu (A).}$

Что касается продвигать, это гласит, что

${displaystyle F_{*}(mu )=mu .}$

Инвариантные меры для марковского процесса

Позволять Икс быть Польское пространство и разреши ${displaystyle P_{t},tgeq 0,}$ - вероятности перехода для однородного по времени Марков полугруппа на Икс, т.е.

${displaystyle Pr[X_{t}in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).}$

Теорема (Крылов – Боголюбов). Если существует точка ${displaystyle xin X}$ для которого семейство вероятностных мер {п_т(Икс, ·) | т > 0} это равномерно плотный и полугруппа (п_т) удовлетворяет Feller собственности, то существует хотя бы одна инвариантная мера для (п_т), т.е. вероятностная мера μ на Икс такой, что

${displaystyle (P_{t})_{ast }(mu )=mu {mbox{ for all }}t>0.}$

Смотрите также

• Для 1-й теоремы: Я. Г. Синай (Ред.) (1997): Динамические системы II. Эргодическая теория с приложениями к динамическим системам и статистической механике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-17001-4. (Секция 1).
• По второй теореме: Г. Да Прато и Дж. Забчик (1996): Эргодичность для бесконечномерных систем.. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  0-521-57900-7. (Раздел 3).

Заметки

1. Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов (1937). "Общая теория измерений в сыном приложении к динамическим системам механического нон-линейного". Анналы математики. Вторая серия (на французском языке). Анналы математики. 38 (1): 65–113. Дои:10.2307/1968511. JSTOR  1968511. Zbl. 16.86.

В этой статье использованы материалы из Теорема Крылова-Боголюбова на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.